3.5 - Comparação entre os Estimadores

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Ambos os estimadores não-paramétricos estudados até aqui fornecem respostas às perguntas de interesse. Entretanto, os valores obtidos podem ser diferentes. Diante disso, introduzimos nesse tópico uma comparação entre esses estimadores, discutindo suas principais propriedades.

A principal diferença entre os estimadores Tabela de vida e Kaplan-Meier está no número de intervalos considerados. Os intervalos usados pelo estimador de Kaplan-Meier são determinados a partir dos tempos de falha distintos, enquanto que na Tabela de vida esses intervalos são escolhidos diretamente pelo pesquisador. O estimador de Kaplan-Meier utiliza, em geral, um número maior de intervalos do que o estimador Tabela de vida.

Uma característica importante da Tabela de vida é a influência da escolha dos intervalos nas estimativas obtidas. Para o Exemplo 2.1 estudado anteriormente, foram usados 5 intervalos pelo método da Tabela de vida e 19 intervalos pelo método Kaplan-Meier. É natural esperar que quanto maior o número de intervalos utilizados melhor será a descrição da distribuição do tempo de falha.

Então, por que não utilizar na Tabela de vida um número de intervalos igual ou maior do que o método de Kaplan-Meier? Na verdade, se isso ocorrer na presença de um esquema de censura do tipo I ou II, as estimativas obtidas pela Tabela de vida e pelo método de Kaplan-Meier serão idênticas. Por exemplo, considerando novamente o Exemplo 2.1, quando aplicamos o método da Tabela de vida escolhendo os mesmos 19 intervalos de tempo considerados pelo método de Kaplan-Meier, a estimativa da função de confiabilidade é exatamente a mesma. Entretanto, se o esquema de censura é aleatório, as estimativas não coincidem.

Historicamente, o método da Tabela de vida foi proposto por demógrafos e atuariais no início do século passado e usado em geral para grandes amostras, como por exemplo dados provenientes de censos demográficos. No caso de amostras grandes, a escolha dos intervalos tem pouca influência na estimativa da função de confiabilidade. Esse estimador também é adequado em situações nas quais os tempos de falha não são completamente conhecidos, sabe-se apenas em quais intervalos ocorrem. No entanto, em teste de durabilidade de produtos não é comum o uso de amostras grandes, principalmente devido aos custos envolvidos. Dessa forma, para o caso de amostras pequenas ou médias, existe uma evidência empírica a respeito da superioridade do estimador de Kaplan-Meier em relação ao estimador da Tabela de vida.

Também para o caso de grandes amostras, alguns autores mostraram que o estimador de Kaplan-Meier é superior ao estimador da Tabela de vida. Por exemplo, o estimador de Kaplan-Meier é não viciado para a função de confiabilidade, com um vício que tende a zero à medida que o tamanho amostral cresce, enquanto que o estimador da Tabela de vida é viciado. Portanto, o estimador de Kaplan-Meier é o mais indicado quando estamos tratando dados provenientes de testes de durabilidade, não importando o tamanho da amostra.

Exercício 3.5.1: 

Para avaliar a confiabilidade do freio de um avião foram selecionadas 45 unidades que foram colocadas em teste até que 15 freios falhassem, sendo registrado o número de ciclos até a falha. Esses testes (rápidos) são realizados quando estamos interessados em avaliar o tempo de falha dos primeiros anos de uso. Para testar o freio foi montado um dispositivo que simula sua utilização em condições reais. Os dados são apresentados na Tabela 3.5.1.

Tabela 3.5.1: Número de ciclos até a falha de freios de avião.

Número de falhas Censura Tempo da falha ou censura
1 F 19
2 F 43
1 F 148
1 F 169
1 F 171
1 F 205
1 F 232
1 F 248
1 F 250
1 F 263
1 F 271
1 F 282
1 F 290
1 F 347
1 F 349
1 F 398
1 F 477
1 F 514
1 F 595
1 F 603
1 F 662
2 F 700
1 F 706
2 F 709
1 F 763
1 F 777
1 F 869
15 C 869

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

O fabricante estima que o avião realiza 6 pousos diários, 6 dias por semana. Qual a probabilidade de um freio não falhar antes de 100 dias de uso? Qual é o número esperado de ciclos para o qual 25% dos freio falham?

Usando o estimador de Kaplan-Meier, complete a tabela:

$ t_{j} $ $ d_{j} $ $ n_{j} $ $ \widehat{R}(t_{j}^{+}) $
19 1 45 0,977778
43 2 44 0,933333
148 1 42 0,911111
169 1 41 0,888889
171 1    
205 1    
232 1    
248 1    
250 1    
263 1    
271 1    
282 1    
290 1    
347 1    
349 1    
398 1    
477 1    
514 1    
595 1    
603 1    
662 1    
700 2    
706 1    
709 2    
763 1    
777 1    
869 1    

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