4.1.1 - Distribuição Exponencial

A distribuição exponencial se caracteriza por uma função taxa de falha constante, sendo a única distribuição absolutamente contínua com essa propriedade. Ela é considerada uma das mais simples em termos matemáticos. Esta distribuição tem sido extensivamente utilizada para modelar o tempo de vida de certos produtos e materiais, tais como óleos isolantes, dielétricos, entre outros. A função densidade de probabilidade para um tempo de falha T com distribuição exponencial é dada por


$$f(t)= \alpha e^{-\alpha t}, ~~~~~t~\textgreater~0,$$

sendo $ 1/\alpha~\textgreater~0 $ o tempo médio de vida (MTTF), por isso o parâmetro $ \alpha $ tem a mesma unidade do tempo de vida. Isto é, se o tempo é medido em horas, o valor de $ 1/\alpha $ representa o tempo médio em horas. Algumas formas típicas da função densidade de probabilidade da distribuição exponencial são mostradas na Figura 4.1.1.1.

Figura 4.1.1.1: Funções densidade de probabilidade da distribuição exponencial.

 

A função de confiabilidade R(t), que é a probabilidade do produto continuar funcionando além do tempo $ t $ é dada por


$$R(t)= 1- F(t) = e^{-\alpha t},~~~~~t~\textgreater~0.$$

A Figura 4.1.1.2 mostra formas típicas da função confiabilidade da distribuição exponencial.

Figura 4.1.1.2: Funções de confiabilidade para a distribuição exponencial.

 

A função taxa de falha associada a distribuição Exponencial é constante e é dada por


$$h(t) = \alpha,~~~~~t~\textgreater~0,$$

isto é, tanto uma unidade que está em operação a 20 horas quanto uma unidade que está em operação a 40 horas tem a mesma chance de falharem em um intervalo futuro de mesmo comprimento. Esta propriedade é chamada de falta de memória da distribuição.

Outras características importantes que dizem respeito a durabilidade de um componente são: a média (MTTF), a variância e os percentis da distribuição do tempo de falha. A média da distribuição exponencial (MTTF) e a variância são dadas por


$$E(T)=\mbox{MTTF}=\dfrac{1}{\alpha}~~~~~~~\mbox{e}~~~~~~~Var(T)=\dfrac{1}{\alpha^2}.$$

O quantil 100×p% corresponde ao tempo esperado em que 100×p% dos produtos falham, sendo obtido a partir da função de confiabilidade como


$$t_{p} = - \dfrac{1}{\alpha} \log(1-p)~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.1.1)$$

Muitas vezes, em estudos de durabilidade queremos conhecer percentis pequenos como 1%, que informam sobre tempos de falhas prematuras. Outro quantil importante é a mediana ou quantil 50%, que informa sobre o tempo em que metade das unidades falham. A média da distribuição exponencial corresponde ao quantil 63%.

Exemplo 4.1.1.1:

 Considere que o tempo até a falha do ventilador de motores a diesel segue uma distribuição exponencial com $ \alpha=1/28.700 $ horas. Vamos calcular a probabilidade de um destes ventiladores não falhar nas primeiras 8.000 horas de funcionamento. Dessa forma, usando a função de confiabilidade R(t) para t = 8.000 temos


$$R(8.000) = \exp\left(-\dfrac{8.000}{28.700}\right) = 0,76.$$

Se 8.000 horas for o tempo de garantia dado pelo fabricante, então espera-se que 24% dos ventiladores falhem antes do término da garantia.

O quantil 1% é obtido a partir da equação (4.1.1.1) como


$$t_{0,01} = -28.700 \times \log\left(1- 0,01\right) = 288,44.$$

Logo, espera-se que 1% dos ventiladores falhem nas primeiras 288 horas de uso. De forma similar, obtemos a mediana como sendo 19.893 horas.

Para uma visão geral das características da distribuição exponencial utilizadas em confiabilidade você pode utilizar também o Software Action, mais especificamente a ferramenta Overview para confiabilidade.

 

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