4.1.3 - Distribuição de Valor Extremo (ou de Gumbel)

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Neste tópico, introduzimos uma distribuição que é bastante relacionada à distribuição de Weibull. Ela é chamada de distribuição de Valor Extremo (ou de Gumbel) e surge quando se considera o logaritmo natural de uma variável aleatória com distribuição de Weibull. Isto é, se uma variável T tem distribuição de Weibull com parâmetros $ \alpha $ (escala) e $ \delta $ (forma), então a variável Y = log(T) tem uma distribuição de Valor Extremo com função densidade de probabilidade dada por


$$f(y)= \dfrac{1}{\sigma}\exp\left[\dfrac{y-\mu}{\sigma}-\exp\left(\dfrac{y-\mu}{\sigma}\right)\right],~~~~~~\infty~\textless~y~\textless~\infty~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.3.1)$$

sendo $ \mu = \log(\alpha ) $ e $  \sigma = \dfrac{1}{\delta} $ os parâmetros de locação e escala, respectivamente.

Se $ \mu = 0 $ e $ \sigma = 1 $ temos a distribuição do Valor Extremo padrão.

Figura 4.1.3.1: Funções densidade de probabilidade da distribuição de Valor Extremo com $ \mu=0. $

A função de confiabilidade da variável Y é dada por


$$R(y) = \exp \left[-\exp \left(\dfrac{y-\mu}{\sigma}\right)\right], \qquad -\infty~\textless~y~\textless~\infty~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.3.2)$$

Figura 4.1.3.2: Funções de confiabilidade para a distribuição de Valor Extremo para $ \mu=0. $

Considerando as funções dadas pelas equações (4.1.3.1) e (4.1.3.2), segue que a função de risco da distribuição de Valor Extremo é dada por


$$h(y) = \dfrac{1}{\sigma} \exp \left[ \dfrac{y - \mu}{\sigma}\right], \qquad -\infty~\textless~y~\textless~\infty~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.3.3).$$

Figura 4.1.3.3: Taxas de falha da distribuição de Valor Extremo com $ \mu=0. $

O tempo médio de vida (MTTF) e a variância de Y são dados por


$$\mbox{MTTF} = \mu - \gamma \, \sigma$$


$$Var(Y) = \dfrac{\pi^2 \, \sigma^2}{6},$$

sendo $ \gamma \simeq 0,5772 $ denominada constante de Euler.

O quantil 100×p% é dado por


$$t_p = \mu + \sigma \log \left[-\log(1-p) \right].$$

Na análise de dados de durabilidade muitas vezes é conveniente trabalhar com o logaritmo dos tempos de vida observados. Esse fato será bastante explorado na Seção 6, em que os modelos de regressão são usados para analisar os dados provenientes de testes de vida acelerados. Dessa forma, se os dados tiverem uma distribuição de Weibull, a distribuição de Valor Extremo aparecerá naturalmente na modelagem.

Para uma visão geral das características da distribuição de valor extremo utilizadas em confiabilidade você pode utilizar também o Software Action, mais especificamente a ferramenta Overview para confiabilidade.

 

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