4.1.4 - Distribuição Log-Normal

Assim como a distribuição de Weibull, a distribuição log-normal é muito usada para caracterizar tempo de vida de produtos e materiais. Isso inclui fadiga de metal, semicondutores, diodos e isolação elétrica.

A função densidade de probabilidade da distribuição log-normal é dada por

$$f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}\, \, t \sigma} \, \exp \left[-\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\log (t) - \mu}{\sigma} \right)^2\right] ,\qquad t~\textgreater~0,~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.4.1)$$

sendo $-\infty~\textless~\mu~\textless~\infty$ e $\sigma~\textgreater~0$.

Figura 4.1.4.1: Funções densidade de probabilidade da distribuição log-Normal com $\mu=0.$

Existe uma relação entre as distribuições log-normal e normal, similar à existente entre as distribuições de Weibull e de valor extremo. O logaritmo de uma variável que segue distribuição log-normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma$ tem distribuição normal com média $\mu$ e desvio-padrão $\sigma$. Essa relação significa que dados provenientes de uma distribuição log-normal podem ser analisados segundo uma distribuição normal, se considerarmos o logaritmo dos dados ao invés dos valores originais.

A função de confiabilidade de uma distribuição log-normal é dada por

$$R(t) = \Phi \left(-\dfrac{\log(t)-\mu}{\sigma} \right),~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.4.2)$$

em que $\Phi(.)$ é a função de distribuição acumulada de uma distribuição normal padrão.

Figura 4.1.4.2: Funções de confiabilidade para a distribuição log-Normal com $\mu=1.$

A taxa de falha é dada por

$$h(t) = \dfrac{f(t)}{R(t)}, \qquad t~\textgreater~0~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.4.3)$$

Figura 4.1.4.3: Taxas de falha da distribuição log-Normal com $\mu=1.$

O tempo médio de vida e a variância da distribuição log-normal são dados, respectivamente, por

$$\mbox{MTTF} = \exp \left(\mu + \dfrac{\sigma^2}{2} \right),~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.4.4)$$

$$Var(T) = \exp (2 \mu + \sigma^2) [\exp(\sigma^2) - 1].~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.4.5)$$

O quantil 100×p% da distribuição Log-normal é dado pela expressão

$$t_p = \exp(z_p \sigma + \mu),~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.4.6)$$

sendo $z_p$ o quantil 100×p% da distribuição normal padrão.

Exemplo 4.1.4.1:

Para ilustrar o uso da distribuição log-normal, considere o tempo de vida de isolações da classe H. Supomos que o tempo de vida de uma isolação, na temperatura de uso, tem uma distribuição log-normal com parâmetros $\mu = 9,65$ e $\sigma = 0,1053$.

A confiabilidade de uma isolação nas 20.000 primeiras horas de uso é obtida a partir da equação (4.1.4.2) como

$$R(20.000) = \Phi \left( -\dfrac{\log(20.000) - 9,65}{0,1053}\right) = \Phi (-2,4073) = 0,008.$$

Isso significa que a grande maioria (99,2%) das isolações falham nas 20.000 primeiras horas de uso.

O tempo médio de vida (MTTF) de uma isolação é obtido a partir da equação (4.1.4.4) como

$$\mbox{MTTF} = \exp \left(9,65 + \dfrac{0,1053^2}{2}\right) = \exp \left(9,6555\right) = 15.607,39.$$

A partir da equação (4.1.4.6) podemos obter a mediana, ou seja, o quantil 50% da distribuição como sendo

$$t_{0,5} = \exp (0 \times 0,1053 + 9,65) = \exp (9,65) = 15.521,79.$$

Para uma visão geral das características da distribuição log-normal utilizadas em confiabilidade você pode utilizar também o Software Action, mais especificamente a ferramenta Overview para confiabilidade.