4.3.1 - Métodos Gráficos

Método 1:  Comparação da Função de Confiabilidade do Modelo Proposto com o Estimador de Kaplan-Meier

Aqui ajustamos os modelos propostos ao conjunto de dados (digamos, os modelos lognormal e de Weibull) e a partir das estimativas dos parâmetros de cada modelo estimamos a função de confiabilidade. Comparamos graficamente a função de confiabilidade de cada modelo proposto com a função de confiabilidade de Kaplan-Meier. Assim, o "melhor" modelo é aquele cujos pontos da função de confiabilidade estão mais próximos dos valores obtidos pela estimativa de Kaplan-Meier.

Método 2: Linearização da função de Confiabilidade - Papel de Probabilidade

Nesse caso, a ideia básica consiste em construir gráficos que devem ser aproximadamente lineares caso o modelo proposto seja apropriado. Violações da linearidade podem ser verificadas visualmente. A seguir, são apresentadas as técnicas de linearização para os modelos de Weibull e Log-normal.

Modelos Weibull e Exponencial

A partir da equação de confiabilidade da distribuição de Weibull, obtemos a seguinte relação

$$\log[-\log(R(t))]=\delta \log(t) - \delta \log(\alpha).$$

Portanto, uma maneira de verificar a adequação da distribuição de Weibull aos dados é plotar o gráfico de $\log[-\log(\widehat{R}(t)]$ contra log(t) e verificar se ele é aproximadamente linear, sendo $\widehat{R}(t)$ a estimativa de Kaplan-Meier para a função de confiabilidade.

Modelo Log-Normal

Analogamente, a partir da equação de confiabilidade da distribuição log-normal concluímos que

$$\Phi^{-1}[R(t)]= -\dfrac{1}{\sigma} \log(t) + \dfrac{\mu}{\sigma},~~~~~~~~~~~~~~~(4.3.1.1)$$

sendo que $\Phi^{-1}(\cdot)$ é uma função que associa a cada 0 < p < 1 o quantil 100×p% da distribuição Normal padrão. Os valores de $\Phi^{-1}(p)$ para cada p podem ser obtidos a partir de uma tabela ou por meio de algum software estatístico.

Da equação (4.3.1.1) concluímos que se o modelo log-normal for adequado então o gráfico $\Phi^{-1}[\widehat{R}(t)]$ contra log(t) deve ser aproximadamente linear.

Observe que, a partir dos dois gráficos é possível obter estimativas grosseiras para os parâmetros dos modelos. Por exemplo, no caso do modelo de Weibull podemos encontrar uma reta que melhor se ajusta aos pontos do gráfico $\log[-\log(\widehat{R} (t)]$ contra log(t). A inclinação dessa reta é uma estimativa para δ e o intercepto uma estimativa para $\delta \log(\alpha)$. Analogamente, para o caso do modelo log-normal a inclinação do gráfico $\Phi^{-1}[\widehat{R}(t)]$ contra log(t) é uma estimativa para -1/σ e o intercepto uma estimativa para μ/σ.

A forma mais apropriada para se obter estimativas dos parâmetros após selecionar o modelo é aplicar o método da máxima verossimilhança. Entretanto, em muitos casos a obtenção das estimativas de máxima verossimilhança dependem da utilização de métodos computacionais que funcionam melhor quando se fornecem valores iniciais para os parâmetros. Com isso, é usual a obtenção desses valores iniciais a partir de estimativas baseadas na reta de regressão de $\log[-\log(\widehat{R}(t)]$ contra log(t).