4.3.3 - Aplicação

Exemplo 4.3.3.1:

O fabricante de um tipo de isolador elétrico quer conhecer o comportamento de seu produto funcionando na temperatura de 150ºC. Um teste de vida foi realizado nestas condições usando 45 isoladores elétricos. O teste terminou quando 30 deles haviam falhado (censura do tipo II). As 15 unidades restantes que não haviam falhado foram censuradas no tempo t = 836. Os tempos das falhas (em horas) estão dispostos na tabela abaixo, onde o símbolo + denota censura.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

123 230 250 261 276 291 296 299 311 332
338 379 387 425 448 472 479 488 489 502
565 589 603 603 605 626 635 660 661 836
836+ 836+ 836+ 836+ 836+ 836+ 836+ 836+ 836+ 836+
836+ 836+ 836+ 836+ 836+          

O fabricante tem interesse em estimar o tempo médio (MTTF) de vida do isolador e o percentual de falhas até 300 horas de uso.

Para isso, devemos seguir os passos abaixo:

1. Escolher o modelo probabilístico: vamos utilizar o Método 2, estudado no tópico anterior.

O Papel de Probabilidade para as distribuições Normal, Exponencial, Weibull e Log-normal é apresentado na Figura 4.3.3.1.

Figura 4.3.3.1: Papel de Probabilidade.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

O valor da estatística e do p-valor do teste de Anderson-Darling é dado na Tabela 4.3.3.1. Note que não temos um valor exato para o p-valor da distribuição de Weibull (sabemos apenas que é maior que 0,25) no entanto, podemos observar que para essa distribuição o valor da estatística de Anderson-Darling é o menor dentre todos. Logo, concluímos que a distribuição de Weibull é a mais adequada para esse conjunto de dados.

Tabela 4.3.3.1: Valor da estatística e do p-valor do teste de Anderson-Darling.

Distribuição Anderson-Darling P-valor
Normal 0,4206 0,3045
Exponencial 5,5979 < 0,005
Weibull 0,3989 > 0,250
Log-Normal 0,5312 0,1605

 

2. Análise do tempo de falha utilizando a distribuição de Weibull

Usando o software Action e o método de estimação de máxima verossimilhança obtemos as seguintes estimativas dos parâmetros:

Parâmetros Estimativas Desvio-padrão Lim. Inferior Lim. Superior
Forma ($ \delta $) 1,9361 0,0943 1,7512 2,1209
Escala ($ \alpha $) 762,0024 5283,0479 0,0000 11116,5860

Com os valores da tabela acima, a estimativa de máxima verossimilhança para o MTTF é dada por


$$\widehat{MTTF}=\widehat{\alpha} \, \Gamma\left[1 + \dfrac{1}{\widehat{\delta}}\right]$$


$$=762,0024\times\Gamma\left[1+\dfrac{1}{1,9361} \right]=762,0024\times\Gamma\left[1,5165 \right]$$


$$=762,0024 \times 0,8869 = 675,8199.$$

Analogamente, a estimativa de máxima verossimilhança para a função de confiabilidade R(t) é dada por


$$\widehat{R}(t)=\exp\left[-\left(\dfrac{t}{\widehat{\alpha}}\right)^{\widehat{\delta}}\right]=\exp\left[-\left(\dfrac{t}{762,0024}\right)^{1,9361}\right].$$

Portanto,


$$\widehat{R}(300)=\exp\left[-\left(\dfrac{300}{762,0024}\right)^{1,9361}\right]$$


$$=\exp\left[-\left(0,3937\right)^{1,9361}\right]=\exp\left[-0,1645\right]=0,8483,$$

isto é, estima-se que a probabilidade de um isolador elétrico operar por mais de 300 horas é de 84,83%. Portanto, a probabilidade de um isolador falhar antes de 300 horas é de aproximadamente 15%.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exercício 4.3.3.1:

No Exemplo 2.1, envolvendo um teste de vida com as válvulas, o fabricante estava interessado em estimar as seguintes características de seu produto:

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  • o tempo médio de falha (MTTF);
  • o tempo no qual 10% dos mecanismos estão fora de operação;
  • o percentual esperado de falha nos dois primeiros anos de uso.

Escolha um modelo probabilístico adequado e responda às questões do fornecedor.

 

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