4.4 - Método Delta

Muitas vezes temos interesse em calcular intervalos de confiança para funções dos parâmetros de uma determinada distribuição. Por exemplo, no caso de uma distribuição Weibull, intervalos de confiança para o MTTF, intervalos de confiança para os percentis ou para a mediana. Todos essas quantidades são do tipo $\phi=g(\alpha,\delta)$ e para estimar $\phi$ basta tomar os estimadores de máxima verossimilhança e substituir em $\phi$, obtendo $\widehat{\phi}=g(\widehat{\alpha},\widehat{\delta})$. Essa é a propriedade de invariância conhecida dos estimadores de máxima verossimilhança. Para calcular o intervalo de confiança para $\phi=g(\alpha,\delta)$ teremos que calcular o erro padrão de $\widehat{\phi}=g(\widehat{\alpha},\widehat{\delta})$.

Tomando $g(\widehat{\alpha},\widehat{\delta})$ e expandindo em série de Taylor até a primeira ordem, temos

$$g(\widehat{\alpha},\widehat{\delta}) \approx g(\alpha,\delta)+(\widehat{\alpha}-\alpha) \left(\dfrac{\partial g(\alpha,\delta)}{\partial \alpha}\right)+(\widehat{\delta}-\delta) \left(\dfrac{\partial g(\alpha,\delta)}{\partial\delta}\right)+2(\widehat{\alpha}-\alpha)(\widehat{\delta}-\delta)\left(\dfrac{\partial^2 g(\alpha,\delta)}{\partial \alpha~\partial\delta}\right).$$

Assim, temos

$$Var\left(g(\widehat{\alpha},\widehat{\delta})\right)\approx Var\left(\widehat{\alpha}\right)\left(\dfrac{\partial g(\alpha,\widehat{\delta})}{\partial \alpha}\right)^2 + Var\left(\widehat{\delta}\right)\left(\dfrac{\partial g(\alpha,\delta)}{\partial \delta}\right)^2 + 2~Cov\left(\widehat{\alpha},\widehat{\delta}\right)\left(\dfrac{\partial^2g(\alpha,\delta)}{\partial \alpha ~\partial \delta}\right)$$

$$\approx Var\left(\widehat{\alpha}\right)\left(\dfrac{\partial \widehat{\phi}}{\partial \alpha}\right)^2 + Var\left(\widehat{\delta}\right)\left(\dfrac{\partial \widehat{\phi}}{\partial \delta}\right)^2 + 2~Cov\left(\widehat{\alpha},\widehat{\delta}\right)\left(\dfrac{\partial \widehat{\phi}}{\partial \alpha}\dfrac{\partial \widehat{\phi}}{\partial \delta}\right)$$

Vamos utilizar o método delta para calcular um intervalo de confiança com nível de significância de 5% (nível de confiança 95%) para o quantil da distribuição Weibull, utilizando os dados do Exemplo 4.3.3.1. Como estimador do quantil temos a seguinte função dos parâmetros

$$\widehat{t_p} = \widehat{\alpha} \left(-\log(1 - p)\right)^{1/\widehat{\delta}}$$

Com isso,

$$\widehat{Var\left(\widehat{t_p}\right) } = Var(\widehat{\alpha}) \ast A^2 + Var(\widehat{\delta}) \ast B^2 + 2 \ast Cov(\widehat{\alpha},\widehat{\delta}) \ast A \ast B$$

em que

$$A= \left(-\log(1 - p)\right)^{1/\widehat{\delta}}$$

$$B= \dfrac{\displaystyle \widehat{\alpha}\left(\left(-\log(1 - p)\right)^{1/\widehat{\delta}}\log\left( \left(-\log(1 - p)\right )^{1/\widehat{\delta}}\right)\right)}{\displaystyle \widehat{\delta}^2}=\dfrac{\displaystyle \widehat{\alpha} \ast A \ast \log(A)}{\displaystyle \widehat{\delta}^2}$$