4.4 - Método Delta

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Muitas vezes temos interesse em calcular intervalos de confiança para funções dos parâmetros de uma determinada distribuição. Por exemplo, no caso de uma distribuição Weibull, intervalos de confiança para o MTTF, intervalos de confiança para os percentis ou para a mediana. Todos essas quantidades são do tipo $ \phi=g(\alpha,\delta) $ e para estimar $ \phi $ basta tomar os estimadores de máxima verossimilhança e substituir em $ \phi $, obtendo $ \widehat{\phi}=g(\widehat{\alpha},\widehat{\delta}) $. Essa é a propriedade de invariância conhecida dos estimadores de máxima verossimilhança. Para calcular o intervalo de confiança para $ \phi=g(\alpha,\delta) $ teremos que calcular o erro padrão de $ \widehat{\phi}=g(\widehat{\alpha},\widehat{\delta}) $.

Tomando $ g(\widehat{\alpha},\widehat{\delta}) $ e expandindo em série de Taylor até a primeira ordem, temos


$$g(\widehat{\alpha},\widehat{\delta}) \approx g(\alpha,\delta)+(\widehat{\alpha}-\alpha) \left(\dfrac{\partial g(\alpha,\delta)}{\partial \alpha}\right)+(\widehat{\delta}-\delta) \left(\dfrac{\partial g(\alpha,\delta)}{\partial\delta}\right)+2(\widehat{\alpha}-\alpha)(\widehat{\delta}-\delta)\left(\dfrac{\partial^2 g(\alpha,\delta)}{\partial \alpha~\partial\delta}\right).$$

Assim, temos


$$Var\left(g(\widehat{\alpha},\widehat{\delta})\right)\approx Var\left(\widehat{\alpha}\right)\left(\dfrac{\partial g(\alpha,\widehat{\delta})}{\partial \alpha}\right)^2 + Var\left(\widehat{\delta}\right)\left(\dfrac{\partial g(\alpha,\delta)}{\partial \delta}\right)^2 + 2~Cov\left(\widehat{\alpha},\widehat{\delta}\right)\left(\dfrac{\partial^2g(\alpha,\delta)}{\partial \alpha ~\partial \delta}\right)$$


$$\approx Var\left(\widehat{\alpha}\right)\left(\dfrac{\partial \widehat{\phi}}{\partial \alpha}\right)^2 + Var\left(\widehat{\delta}\right)\left(\dfrac{\partial \widehat{\phi}}{\partial \delta}\right)^2 + 2~Cov\left(\widehat{\alpha},\widehat{\delta}\right)\left(\dfrac{\partial \widehat{\phi}}{\partial \alpha}\dfrac{\partial \widehat{\phi}}{\partial \delta}\right)$$

Vamos utilizar o método delta para calcular um intervalo de confiança com nível de significância de 5% (nível de confiança 95%) para o quantil da distribuição Weibull, utilizando os dados do Exemplo 4.3.3.1. Como estimador do quantil temos a seguinte função dos parâmetros


$$\widehat{t_p} = \widehat{\alpha} \left(-\log(1 - p)\right)^{1/\widehat{\delta}}$$

Com isso,


$$\widehat{Var\left(\widehat{t_p}\right) } = Var(\widehat{\alpha}) \ast A^2 + Var(\widehat{\delta}) \ast B^2 + 2 \ast Cov(\widehat{\alpha},\widehat{\delta}) \ast A \ast B$$

em que


$$A= \left(-\log(1 - p)\right)^{1/\widehat{\delta}}$$


$$B= \dfrac{\displaystyle \widehat{\alpha}\left(\left(-\log(1 - p)\right)^{1/\widehat{\delta}}\log\left( \left(-\log(1 - p)\right )^{1/\widehat{\delta}}\right)\right)}{\displaystyle \widehat{\delta}^2}=\dfrac{\displaystyle \widehat{\alpha} \ast A \ast \log(A)}{\displaystyle \widehat{\delta}^2}$$

 

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