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A seguir apresentamos um resumo das principais distribuições e suas propriedades.
1.1 Função densidade de probabilidade
$$f(t) = \alpha \exp\left(-\alpha t\right),~~~~~~t~\textgreater~0$$
em que $\alpha~\textgreater~0$ é o parâmetro de escala.
1.2 Função de confiabilidade
$$R(t)=\exp\left(-\alpha t\right).$$
1.3 Função taxa de falha
$$h(t)=\alpha.$$
1.4 MTTF e variância
$$\textrm{MTTF}=\dfrac{1}{\alpha}$$
$$Var(T)=\dfrac{1}{\alpha^2}.$$
1.5 Quantil 100×p%:
$$t_p=-\dfrac{1}{\alpha} \log(1 - p).$$
1.6 Relação com a distribuição de Valor Extremo
Se T tem distribuição exponencial com parâmetro $\alpha$ então log(T) tem distribuição de Valor Extremo com parâmetros $\mu= \log(\alpha)~$ e $~\sigma=1.$
1.7 Linearização de R(t)
$$\log[-\log(R(t))]=\log(t)+\log(\alpha).$$
2.1 Função densidade de probabilidade
$$f(t)=\dfrac{\delta}{\alpha^\delta}~t^{\delta-1}\exp\left[-\left(\dfrac{t}{\alpha}\right)^\delta\right],~~~~~~t~\textgreater~0$$
em que $\delta~\textgreater~0$ e $\alpha~\textgreater~0$ são, respectivamente, os parâmetro de forma e escala.
2.2 Função de confiabilidade
$$R(t)=\exp\left[-\left(\dfrac{t}{\alpha}\right)^\delta\right].$$
2.3 Função taxa de falha
$$h(t)=\dfrac{\delta}{\alpha^\delta}~t^{\delta-1}.$$
2.4 MTTF e variância
$$\textrm{MTTF}=\alpha \, \Gamma\left[1 + \dfrac{1}{\delta}\right]$$
$$Var(T)=\alpha^2\,\left\{\Gamma\left[1+\dfrac{2}{\delta}\right]-\Gamma^2\left[1+\dfrac{1}{\delta}\right]\right\}.$$
2.5 Quantil 100×p%
$$t_p=\alpha[-\log(1- p)]^{1/\delta}.$$
2.6 Relação com a distribuição de Valor Extremo
Se T tem distribuição Weibull ($\alpha, \delta$) então log(T) tem distribuição de Valor Extremo com parâmetros $\mu = \log(\alpha )~$ e $~\sigma = \dfrac{1}{\delta}$.
2.7 Relação com a distribuição Exponencial
Se T tem distribuição de Weibull com parâmetro de escala $\alpha$ e de forma $\delta = 1$ então T tem distribuição Exponencial com parâmetro de escala $\alpha$.
2.8 Linearização de R(t)
$$\log[-\log(R(t)]=\delta \log(t)-\delta \log(\alpha).$$
3.1 Função densidade de probabilidade
$$f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}\, \, t \sigma} \, \exp\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\log(t)-\mu}{\sigma} \right)^2\right],~~~~~~t~\textgreater~0.$$
em que $-\infty~\textless~\mu~\textless~\infty~$ e $~\sigma~\textgreater0.$
3.2 Função de confiabilidade
$$R(t)=\Phi \left(-\dfrac{\log(t)-\mu}{\sigma}\right)$$
3.3 Função taxa de falha
$$h(t)=\dfrac{f(t)}{R(t)},~~~~~~t~\textgreater~0.$$
3.4 MTTF e variância
$$\textrm{MTTF}=\exp\left(\mu + \dfrac{\sigma^2}{2}\right)$$
$$Var(T)=\exp(2\mu + \sigma^2) [\exp(\sigma^2)-1].$$
3.5 Quantil 100×p%
$$t_p=\exp(z_p~\sigma+\mu).$$
3.6 Relação com a distribuição Normal
Se T tem distribuição Log-normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma$ então log(T) tem distribuição Normal com média $\mu$ e desvio-padrão $\sigma.$
3.7 Linearização de R(t)
$$\Phi^{-1}(R(t))=-\dfrac{\log(t)}{\sigma}+\dfrac{\mu}{\sigma}.$$
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