4.5 - Resumo das Principais Distribuições e Propriedades

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A seguir apresentamos um resumo das principais distribuições e suas propriedades.

1. Distribuição Exponencial

1.1 Função densidade de probabilidade


$$f(t) = \alpha \exp\left(-\alpha t\right),~~~~~~t~\textgreater~0$$

em que $ \alpha~\textgreater~0 $ é o parâmetro de escala.

1.2 Função de confiabilidade


$$R(t)=\exp\left(-\alpha t\right).$$

1.3 Função taxa de falha


$$h(t)=\alpha.$$

1.4 MTTF e variância


$$\textrm{MTTF}=\dfrac{1}{\alpha}$$


$$Var(T)=\dfrac{1}{\alpha^2}.$$

1.5 Quantil 100×p%:


$$t_p=-\dfrac{1}{\alpha} \log(1 - p).$$

1.6 Relação com a distribuição de Valor Extremo

Se T tem distribuição exponencial com parâmetro $ \alpha $ então log(T) tem distribuição de Valor Extremo com parâmetros $ \mu= \log(\alpha)~ $ e $ ~\sigma=1. $

1.7 Linearização de R(t)


$$\log[-\log(R(t))]=\log(t)+\log(\alpha).$$

 

2. Distribuição de Weibull

2.1 Função densidade de probabilidade


$$f(t)=\dfrac{\delta}{\alpha^\delta}~t^{\delta-1}\exp\left[-\left(\dfrac{t}{\alpha}\right)^\delta\right],~~~~~~t~\textgreater~0$$

em que $ \delta~\textgreater~0 $ e $ \alpha~\textgreater~0 $ são, respectivamente, os parâmetro de forma e escala.

2.2 Função de confiabilidade


$$R(t)=\exp\left[-\left(\dfrac{t}{\alpha}\right)^\delta\right].$$

2.3 Função taxa de falha


$$h(t)=\dfrac{\delta}{\alpha^\delta}~t^{\delta-1}.$$

2.4 MTTF e variância


$$\textrm{MTTF}=\alpha \, \Gamma\left[1 + \dfrac{1}{\delta}\right]$$


$$Var(T)=\alpha^2\,\left\{\Gamma\left[1+\dfrac{2}{\delta}\right]-\Gamma^2\left[1+\dfrac{1}{\delta}\right]\right\}.$$

2.5 Quantil 100×p%


$$t_p=\alpha[-\log(1- p)]^{1/\delta}.$$

2.6 Relação com a distribuição de Valor Extremo

Se T tem distribuição Weibull ($ \alpha, \delta $) então log(T) tem distribuição de Valor Extremo com parâmetros $ \mu = \log(\alpha )~ $ e $ ~\sigma = \dfrac{1}{\delta} $.

2.7 Relação com a distribuição Exponencial

Se T tem distribuição de Weibull com parâmetro de escala $ \alpha $ e de forma $ \delta = 1 $ então T tem distribuição Exponencial com parâmetro de escala $ \alpha $.

2.8 Linearização de R(t)


$$\log[-\log(R(t)]=\delta \log(t)-\delta \log(\alpha).$$

 

3. Distribuição Log-normal

3.1 Função densidade de probabilidade


$$f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}\, \, t \sigma} \, \exp\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\log(t)-\mu}{\sigma} \right)^2\right],~~~~~~t~\textgreater~0.$$

em que $ -\infty~\textless~\mu~\textless~\infty~ $ e $ ~\sigma~\textgreater0. $

3.2 Função de confiabilidade


$$R(t)=\Phi \left(-\dfrac{\log(t)-\mu}{\sigma}\right)$$

3.3 Função taxa de falha


$$h(t)=\dfrac{f(t)}{R(t)},~~~~~~t~\textgreater~0.$$

3.4 MTTF e variância


$$\textrm{MTTF}=\exp\left(\mu + \dfrac{\sigma^2}{2}\right)$$


$$Var(T)=\exp(2\mu + \sigma^2) [\exp(\sigma^2)-1].$$

3.5 Quantil 100×p%


$$t_p=\exp(z_p~\sigma+\mu).$$

3.6 Relação com a distribuição Normal

Se T tem distribuição Log-normal com parâmetros $ \mu $ e $ \sigma $ então log(T) tem distribuição Normal com média $ \mu $ e desvio-padrão $ \sigma. $

3.7 Linearização de R(t)


$$\Phi^{-1}(R(t))=-\dfrac{\log(t)}{\sigma}+\dfrac{\mu}{\sigma}.$$

 

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