4.5 - Resumo das Principais Distribuições e Propriedades

A seguir apresentamos um resumo das principais distribuições e suas propriedades.

1. Distribuição Exponencial

1.1 Função densidade de probabilidade

$$f(t) = \alpha \exp\left(-\alpha t\right),~~~~~~t~\textgreater~0$$

em que $\alpha~\textgreater~0$ é o parâmetro de escala.

1.2 Função de confiabilidade

$$R(t)=\exp\left(-\alpha t\right).$$

1.3 Função taxa de falha

$$h(t)=\alpha.$$

1.4 MTTF e variância

$$\textrm{MTTF}=\dfrac{1}{\alpha}$$

$$Var(T)=\dfrac{1}{\alpha^2}.$$

1.5 Quantil 100×p%:

$$t_p=-\dfrac{1}{\alpha} \log(1 - p).$$

1.6 Relação com a distribuição de Valor Extremo

Se T tem distribuição exponencial com parâmetro $\alpha$ então log(T) tem distribuição de Valor Extremo com parâmetros $\mu= \log(\alpha)~$ e $~\sigma=1.$

1.7 Linearização de R(t)

$$\log[-\log(R(t))]=\log(t)+\log(\alpha).$$

2. Distribuição de Weibull

2.1 Função densidade de probabilidade

$$f(t)=\dfrac{\delta}{\alpha^\delta}~t^{\delta-1}\exp\left[-\left(\dfrac{t}{\alpha}\right)^\delta\right],~~~~~~t~\textgreater~0$$

em que $\delta~\textgreater~0$ e $\alpha~\textgreater~0$ são, respectivamente, os parâmetro de forma e escala.

2.2 Função de confiabilidade

$$R(t)=\exp\left[-\left(\dfrac{t}{\alpha}\right)^\delta\right].$$

2.3 Função taxa de falha

$$h(t)=\dfrac{\delta}{\alpha^\delta}~t^{\delta-1}.$$

2.4 MTTF e variância

$$\textrm{MTTF}=\alpha \, \Gamma\left[1 + \dfrac{1}{\delta}\right]$$

$$Var(T)=\alpha^2\,\left\{\Gamma\left[1+\dfrac{2}{\delta}\right]-\Gamma^2\left[1+\dfrac{1}{\delta}\right]\right\}.$$

2.5 Quantil 100×p%

$$t_p=\alpha[-\log(1- p)]^{1/\delta}.$$

2.6 Relação com a distribuição de Valor Extremo

Se T tem distribuição Weibull ($\alpha, \delta$) então log(T) tem distribuição de Valor Extremo com parâmetros $\mu = \log(\alpha )~$ e $~\sigma = \dfrac{1}{\delta}$.

2.7 Relação com a distribuição Exponencial

Se T tem distribuição de Weibull com parâmetro de escala $\alpha$ e de forma $\delta = 1$ então T tem distribuição Exponencial com parâmetro de escala $\alpha$.

2.8 Linearização de R(t)

$$\log[-\log(R(t)]=\delta \log(t)-\delta \log(\alpha).$$

3. Distribuição Log-normal

3.1 Função densidade de probabilidade

$$f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}\, \, t \sigma} \, \exp\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\log(t)-\mu}{\sigma} \right)^2\right],~~~~~~t~\textgreater~0.$$

em que $-\infty~\textless~\mu~\textless~\infty~$ e $~\sigma~\textgreater0.$

3.2 Função de confiabilidade

$$R(t)=\Phi \left(-\dfrac{\log(t)-\mu}{\sigma}\right)$$

3.3 Função taxa de falha

$$h(t)=\dfrac{f(t)}{R(t)},~~~~~~t~\textgreater~0.$$

3.4 MTTF e variância

$$\textrm{MTTF}=\exp\left(\mu + \dfrac{\sigma^2}{2}\right)$$

$$Var(T)=\exp(2\mu + \sigma^2) [\exp(\sigma^2)-1].$$

3.5 Quantil 100×p%

$$t_p=\exp(z_p~\sigma+\mu).$$

3.6 Relação com a distribuição Normal

Se T tem distribuição Log-normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma$ então log(T) tem distribuição Normal com média $\mu$ e desvio-padrão $\sigma.$

3.7 Linearização de R(t)

$$\Phi^{-1}(R(t))=-\dfrac{\log(t)}{\sigma}+\dfrac{\mu}{\sigma}.$$