5.3 - Relação Estresse-Resposta

Você está aqui

Iniciamos esse tópico com algumas ideias que são de fundamental importância para o entendimento dos conceitos introduzidos a seguir. Mesmo já familiarizados com experimentos, qualquer que seja sua finalidade, já nos deparamos com situações na qual, mesmo mantendo as condições de experimento fixas, por exemplo temperatura ou tensão, nem sempre obtemos os mesmos resultados. Essa constatação pode ter suas origens nas causas mais variadas, desde problemas com o aparelho de medição até o fato de não podermos controlar todas as fontes de variabilidade envolvidas em um experimento, seja por desconhecimento das mesmas ou pela impossibilidade prática de se executar tal controle. Dado estas condições de variabilidade, podemos dizer que o tempo até a falha (resposta) está relacionado com o estresse (variável de estresse) segundo um modelo dado por

Tempo = f(estresse) + erro

A função "f" deve ter uma forma funcional tal que expresse uma tendência decrescente. Essa função é a que chamamos de "relação estresse-resposta", e poderia ter qualquer forma, como por exemplo

  • tempo = (estresse)-2
  • tempo = (estresse)-3

Na verdade, utilizamos como relação estresse-resposta os modelos que tenham algum significado físico ou químico. Os mais comum são os de Arrhenius e Potência Inversa, discutidos a seguir. Podemos notar que a relação estresse-resposta é um modelo determinístico, ou seja, para um dado valor da variável de estresse obtemos um único valor para o tempo até a falha. Entretanto, utilizando apenas essa relação determinística não somos capazes de explicar a variabilidade de valores encontrados para a variável resposta em um mesmo nível de estresse. Portanto, é necessário acrescentar ao componente determinístico (relação estresse-resposta) um componente probabilístico, que seja capaz de explicar a variabilidade dos tempos de falha das unidades sob teste em um mesmo nível de estresse. Assim, para cada nível de estresse, os tempos de falha das unidades seguem uma dada distribuição de probabilidade, sendo o componente probabilístico do modelo descrito por esta distribuição. Contudo, os modelos aqui discutidos possuem um componente determinístico e um componente probabilístico, definido de acordo com a distribuição do tempo até a falha. A seguir apresentamos duas relações estresse-resposta mais utilizadas na prática em modelos para testes de vida acelerados.

Relação de Arrhenius

A relação de Arrhenius é utilizada para relacionar o tempo de falha do produto e a variável de estresse temperatura. Alguns exemplos de aplicação incluem:

  • dielétricos;
  • plásticos;
  • filamentos de lâmpadas incandescentes.

Essa relação é baseada na Lei de Arrhenius. De acordo com essa lei, a taxa de uma reação química simples (de 1ª ordem) depende da temperatura segundo a expressão


$$\mbox{Taxa} = A^{\prime}\exp\left[-\dfrac{E}{k \times \mbox{Temp}}\right]~~~~~~~~~~~~~~~(5.3.1)$$

em que

  • E é a energia de ativação, normalmente em elétrons-volts;
  • k é a constante de Boltzmann: 8,6171 × 10-5 por K (Kelvin);
  • Temp é a temperatura absoluta Kelvin (273,16 +  ºC) e
  • A' é uma constante que é característica do mecanismo de falha do produto e das condições de teste.

Assim, podemos explicar a falha devido a uma reação química ou difusão através de uma relação bem simples. Assumindo que o produto falhou quando uma quantidade crítica do produto químico reagiu, uma visão simplificada dessa situação pode ser dada por:


$$\mbox{Quantidade~Crítica} = \mbox{Taxa} \times \mbox{Tempo~até~a~Falha}$$

ou de maneira equivalente,


$$\mbox{Tempo~até~a~Falha}=\dfrac{\mbox{Quantidade~Crítica}}{\mbox{Taxa}}.~~~~~~~~~~~~~~~(5.3.2)$$

Com isso, temos que o tempo até a falha T é inversamente proporcional à taxa (5.3.1). O uso combinado de (5.3.1) e (5.3.2) dá origem à Relação de Arrhenius, dada por


$$T = A \exp\left(\dfrac{E}{K \times \mbox{Temp}}\right),~~~~~~~~~~~~~~~(5.3.3)$$

em que $ A = (\mbox{Quantidade~Crítica})/A^\prime $.

Aplicando o logaritmo em ambos os lados de (5.3.3) obtemos a forma linearizada


$$\log(T) = \beta_0 + \dfrac{\beta_1}{T}$$

ou ainda,


$$\log(T) = \beta_0 + \beta_1x,~~~~~~~~~~~~~~~(5.3.4)$$

sendo que

$ \beta_0 = \log(A),~\beta_1 = \left( \dfrac{E}{k} \right)~\mbox{e}~x = \dfrac{1}{T}. $

Note que x = 1/T é o inverso da temperatura absoluta. No entanto, muitas vezes trabalhamos com x = 1000/T para evitar problemas computacionais oriundos do uso de números muito pequenos.

A relação de Arrhenius mostra que o logaritmo do tempo de falha, log(T), é uma função linear do inverso da temperatura absoluta, x = 1/T. Nas aplicações, é comum utilizarmos, ao invés do tempo de falha T, um percentil especificado ou a média da distribuição do logaritmo do tempo de falha. As escolhas mais comuns são 50º (tempo mediano), 63,2º (tempo médio) e 10º percentis. Da relação de Arrhenius na forma (5.3.3) derivamos o Fator de Aceleração de Arrhenius, que é a razão entre o tempo de falha T1 na temperatura D1 e o tempo de falha T2 em uma temperatura de referência D2. Esse fator é dado por


$$A_c=\dfrac{T_1}{T_2}= \exp\left\{\dfrac{E}{K}\left[\dfrac{1}{D_1}-\dfrac{1}{D_2}\right]\right\}$$

Exemplo 5.3.1:

Considere uma classe H de isolantes, E $ \thickapprox $ 0,65 eV. O fator de aceleração Ac, entre T1 = 453,16 K (temperatura de projeto, equivalente a 180ºC) e T2 = 533,16 K (260ºC) é dada por


$$A_c=\exp\left\{\dfrac{0,65}{8,61\times10^{-5}}\left[\dfrac{1}{453,16}-\dfrac{1}{533,16}\right]\right\}=12.$$

Portanto, Ac = 12 significa que os itens em operação a 180ºC duram cerca de 12 vezes mais do que aqueles em operação a 260ºC. 

Note que o cálculo do fator de aceleração é determinístico, ou seja, ele não leva em conta a variabilidade implícita em dados experimentais.

 

Relação de Potência Inversa

Essa relação é utilizada para modelar o tempo de falha em funções de qualquer tipo de variável de estresse. Alguns exemplos de aplicações incluem:

  • lâmpadas incandescentes
  • fadiga de metais
  • isolantes, dielétricos, entre outros.

Suponha que a variável de estresse V seja positiva (como acontece na maioria das situações). A relação de potência inversa tem a seguinte forma


$$T = \dfrac{A}{V^{\beta_1}},~~~~~~~~~~~~~~~(5.3.5)$$

em que T é o tempo até a falha, A e $ \beta_1 $ são parâmetros característicos do produto, geometria, fabricação, método de teste, etc.

Ainda, podemos escrever


$$\log(T) = \beta_0 + \beta_1[-\log(V)] = \beta_0 + \beta_1x,~~~~~~~~~~~~~~~(5.3.6)$$

em que $ \beta_0 = log(A)~ $ e $ ~x = -\log(V) $. Da expressão (5.3.5) derivamos o Fator de Aceleração entre o tempo de falha T1 no nível de estresse V1 e o tempo de falha Tno nível de estresse de referência V2, dado por


$$A_c = (V_2/V_1)^{\beta_{1}}.$$

Das expressões (5.3.4) e (5.3.6) podemos derivar uma forma geral para a relação estresse-resposta, dada por


$$\log(T)=\beta_0 +\beta_1x,$$

em que

  • se $ x=\left(\dfrac{1}{T}\right), $ sendo T a temperatura absoluta, temos a relação de Arrhenius e
  • se $ x=-\log(V), $ sendo V uma variável de estresse qualquer, temos a relação de Potência Inversa.

 

Obs.: No Apêndice apresentamos um resumo das relações estresse-resposta na forma log-linear, mostrando a equivalência entre os parâmetros.

 

 

Confiabilidade

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]