6.2 - Forma geral do modelo

Os modelos utilizados na análise de dados de confiabilidade são construídos utilizando-se o logaritmo do tempo de falha, ou seja, Y = log(T). Nesses modelos supomos que Y tem distribuição com parâmetro de locação (escala) $ \mu(x) $ e parâmetro de forma $ \sigma~\textgreater~0. $ Utilizamos a notação $ \mu(x) $ ao invés de $ \mu $ para indicar que o parâmetro de locação da distribuição de Y depende da variável de estresse x. Em outras palavras, $ \mu(x) $ é a relação estresse-resposta. Esse é o procedimento geral, qualquer que seja a distribuição considerados para Y, isto é, sempre escrevemos o parâmetro de locação da distribuição de Y = log(T) em função da variável de estresse x.

Com isso, podemos considerar o modelo com a seguinte forma geral


$$Y=\log(T)=\mu(x)+\sigma\varepsilon.~~~~~~~~~~~~~~~(6.2.1)$$

em que $ \varepsilon $ tem distribuição que independe da variável de estresse x.

Existem várias opções de escolha para a forma funcional da dependência de $ \mu $ na variável de estresse x. A forma mais simples e mais utilizada é a forma linear


$$\mu(x)=\beta_0+\beta_{1}x.$$

Nesse caso, podemos reescrever o modelo (6.2.1) como


$$Y=\log(T)=\beta_0+\beta_{1}x+\sigma\varepsilon,~~~~~~~~~~~~~~~(6.2.2)$$

ainda, considerando a presença de n covariáveis temos


$$Y=\log(T)=\beta_0+\beta_{1}x_1+\ldots+\beta_{n}x_n+\sigma\varepsilon=\mathbf{x^{\prime}}\mathbf{\beta}+\sigma\varepsilon,~~~~~~~~~~~~~~~(6.2.3)$$

em que

  • $ \mathbf{x^{\prime}}=(1,x_1,\ldots,x_n); $
  • $ \mathbf{\beta}=(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_n)^{\prime}. $

Note que o modelo (6.2.2) assume a forma de regressão linear simples quando supomos Y = log(T) com distribuição Normal (Gaussiana), com média (parâmetro de locação) $ \mu(x)= \beta_0+\beta_{1}x $ e variância (parâmetro de escala) $ \sigma^2. $ De maneira equivalente, dizemos que $ \varepsilon $ tem distribuição normal padrão.

Nos casos onde não há censura, esse modelo pode ser ajustado com base na metodologia de Análise de Regressão. Entretanto, na presença de censuras essa metodologia não é adequada.

A seguir apresentamos os modelos baseados na distribuição de Weibull e na distribuição Log-Normal. Como já discutimos, ambos assumem a forma log-linear dada pela expressão (6.2.3). Entretanto, o que difere uns dos outros é a distribuição que supomos para log(T) e a forma como a variável de estresse x é utilizada no modelo.

Modelo Weibull

Esse modelo parte dos seguintes pressupostos

  1. no estresse x, o tempo de falha T tem distribuição de Weibull $ (\alpha(\mathbf{x});\delta) $ ou de maneira equivalente, Y = log(T) tem distribuição de Valor Extremo $ (\log(\alpha(\mathbf{x}));\sigma); $
  2. o parâmetro de forma da distribuição do tempo de falha T (Weibull) é constante, isto é, independe da variável de estresse x. Isso equivale dizer que a distribuição de Y = log(T) (Valor Extremo) tem parâmetro de escala $ \sigma=1/\delta, $ que é o mesmo para todos os níveis de estresse. Assim, o modelo é dado por: 
    $$Y=\log(T)=\mathbf{x^{\prime}\beta}+\sigma\varepsilon.~~~~~~~~~~~~~~~(6.2.4)$$

    em que $ \varepsilon $ tem distribuição do Valor Extremo padrão, ou seja, quando $ \mu=0 $ e $ \sigma=1 $ na distribuição do Valor Extremo;

  3. de forma equivalente,
    $$T=\exp(\mathbf{x^{\prime}\beta})\exp(\sigma\varepsilon),$$

    tal que T tem distribuição de Weibull com parâmetros $ \alpha(\mathbf{x}) $ e $ \delta, $ dados por: 

    $$\alpha(\mathbf{x})=\exp(\mathbf{x^{\prime}\beta})~~~~~\mbox{e}~~~~~\delta=\dfrac{1}{\exp(\log(\mbox{scale}))}=\dfrac{1}{\sigma}.$$

Modelo Log-Normal

De maneira equivalente, definimos os modelos baseados na distribuição Log-Normal através das seguintes suposições

  1. no estresse x, o tempo de falha, T, do produto tem distribuição Log-Normal com parâmetros $ (\mu(\mathbf{x}), \sigma) $, ou de maneira equivalente Y = log(T) tem distribuição Normal com média $ \mu(\mathbf{x}) $ e variância $ \sigma^{2} $ constante;
  2. o desvio padrão da distribuição de Y = log(T) é constante, isto é, independe da variável  de estresse. Portanto, nesse caso o modelo assume a forma
    $$Y=\log(T)=\mathbf{x^{\prime}\beta}+\sigma\varepsilon,$$

    em que $ \varepsilon $ tem distribuição Normal padrão.

  3. a média e o desvio padrão da distribuição de Y = log(T) são dados por 
    $$\mu(\mathbf{x})=\mathbf{x^{\prime}\beta}~~~~~\mbox{e}~~~~~\sigma=\exp(\log(\mbox{scale})) = \mbox{escala}.$$

    Logo, os parâmetros da distribuição de T são $ \mu(\mathbf{x}) $ e $ \sigma $ dados acima.

Para esses modelos valem as mesmas observações feitas anteriormente, isto é, ao estimarmos os parâmetros $ \beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_n $ do modelo, estamos automaticamente estimando as constantes das relações estresse-resposta.

Ainda, vale ressaltar que nos modelos apresentados anteriormente, assumimos que o parâmetro de escala, $ \sigma, $ da distribuição de $ Y = \log(T) $ é constante. No entanto, em algumas aplicações práticas essa suposição pode não ser adequada.

 

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