6.3 - Estimando os parâmetros do modelo

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Para a estimação dos parâmetros do modelo utilizamos o Método de Máxima Verossimilhança, introduzido anteriormente.

Suponha que um teste acelerado foi realizado, submetendo-se os itens a uma variável de estresse "x", e que "m" níveis foram escolhidos para esta variável (i = 1, 2, 3, ..., m). No caso do Exemplo 6.1.1, a variável "x" é a "voltagem" em 3 níveis (i = 1, 2, 3), isto é, 28, 30 e 32 Kilovolts. Suponha ainda que, em cada nível "i" da variável estresse, nitens são submetidos a teste. No final do teste, ri tempos de falha são observados, enquanto que os ni - ri restantes são censurados.

Como trabalhamos com o logaritmo do tempo de falha, então yij = log(tij) é a j-ésima observação (censurada ou não) no i-ésimo nível da variável de estresse "x" (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., ni). Para simplificar a representação, supomos que no i-ésimo nível da variável de estresse, as ri primeiras observações são não censuradas, enquanto que as ni - ri restantes são censuradas.

Voltando ao Exemplo 6.1.1, temos

  • x = voltagem (kV);
  • i = 1, 2, 3 níveis (28 kV, 30 kV, 32 kV) e j = 1, 2, ..., ni, com n1 = 11, n2 = 11 e n3 = 11 observações.

Considerando o modelo


$$y_{ij}=\log(t_{ij})=\mu (x_i)+\sigma\varepsilon_{ij}=\beta_0+\beta_{1}x_{i}+\sigma\varepsilon_{ij},~~~~~~i = 1, 2,\ldots,m~~~\mbox{e}~~~j = 1, 2,\ldots,n_{i},$$

o vetor de parâmetros a ser estimado é dado por


$$\theta=(\mu(x_{i}),\sigma)=(\beta_0,\beta_1,\sigma).$$

A seguir apresentamos os cálculos para a obtenção dos estimadores dos parâmetros do modelo para o caso em que a distribuição dos tempos de falha é Exponencial ou de Weilbul. Em todos os casos, assumimos que em cada nível as $ r_{i} $ primeiras observações são não censuradas (falhas) enquanto as $ n_{i}-r_{i} $ restantes são censuradas.

 

• Distribuição Exponencial

No caso da distribuição exponencial, yij = log (tij) tem distribuição valor extremo com parâmetros $ \mu(x_i)=\beta_0+\beta_1x_i $ (locação) e $ \sigma=1 $ (escala), cujas funções densidade de probabilidade e confiabilidade são dadas, respectivamente, por


$$f(y_{ij})=\exp[(y_{ij}-\beta_0-\beta_1x_i)-\exp(y_{ij}-\beta_0 -\beta_{1}x_i)]\quad\mbox{e}\quad R(y_{ij})=\exp[-\exp(y_{ij}-\beta_0-\beta_1x_i)],$$

em que $ \theta=(\beta_0,\beta_1). $

Dessa forma, o logaritmo da função de verossimilhança L(θ), é dado por


$$\log L(\theta)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{r_{i}}(y_{ij}-\beta_0-\beta_{1}x_i)-\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_{i}}\exp[y_{ij}-\beta_0-\beta_1x_i].$$

As equações de máxima verossimilhança


$$\partial \log L(\theta)/ \partial \beta_0 = 0 ~~\mbox{e}~~ \partial \log L (\theta)/ \partial \beta_1 = 0$$

podem ser resolvidas, por exemplo, utilizando o método de Newton-Raphson ou algum outro método numérico.

Ainda, as derivadas segundas do logaritmo da função de verossimilhançca são dadas por


$$\dfrac{\partial^{2} \log L(\theta)}{\partial \beta_{0}^{2}} = -\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}\exp(z_{ij})$$


$$\dfrac{\partial^{2} \log L(\theta)}{\partial \beta_{0}\partial \beta_{1}}=\dfrac{\partial^{2} \log L(\theta)}{\partial \beta_{1}\partial \beta_{0}}=-\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}x_{i} \exp(z_{ij})$$


$$\dfrac{\partial^{2} \log L(\theta)}{\partial \beta_{1}^{2}} = -\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}x_{i}^2 \exp(z_{ij})$$

em que $ z_{ij}=y_{ij}-\beta_0-\beta_{1}x_{i}. $

• Distribuição Weilbul

Quando supomos que os tempos de falha tij (censurados ou não) são oriundos de uma distribuição de Weibull com parâmetros de escala e forma, respectivamente, $ \alpha(x_i) $ e $ \delta, $ temos que yij = log (tij) tem distribuição valor extremo com parâmetro de locação $ \mu(x_i) = \log(\alpha(x_i))= \beta_0 + \beta_{1}x_{i} $ e parâmetro de escala $ \sigma=1/ \delta $.

As funções densidade de probabilidade e de confiabilidade para yij são dadas, respectivamente, por


$$f(y_{ij})=\dfrac{1}{\sigma}\exp\left[\dfrac{y_{ij}-\beta_0+\beta_{1}x_i}{\sigma}-\exp\left(\dfrac{y_{ij}-\beta_0+\beta_{1}x_{i}}{\sigma}\right)\right]$$


$$R(y_{ij})=\exp\left[-\exp\left(\dfrac{y_{ij}-\beta_0+\beta_{1}x_{i}}{\sigma}\right)\right].$$

A função de log-verossimilhança para dados provenientes de uma distribuição de Weilbull pode ser escrita como


$$\log L(\theta)=-r \log(\sigma)+\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{r_i}\left(\dfrac{y_{ij}-\beta_0-\beta_{1}x_{i}}{\sigma}\right) -\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}\exp\left(\dfrac{y_{ij}-\beta_0-\beta_{1}x_{i}}{\sigma}\right),$$

em que $ r =\displaystyle \sum_{i=1}^{m}r_{i}~ $ e $ ~\theta=(\beta_{0},\beta_{1},\sigma). $

As equações de máxima verossimilhança são


$$\partial \log L(\theta)/ \partial \beta_{0}=0, ~~ \partial \log L(\theta)/ \partial \beta_{1}=0 ~~\mbox{e}~~ \partial \log L(\theta) / \partial \sigma=0$$

e podem ser resolvidas através do método de Newton-Raphson ou algum outro método numérico.

Por fim, as derivadas segundas da função log-verossimilhança são dadas por


$$\dfrac{\partial^{2} \log L(\theta)}{\partial \beta_{0}^{2}}=-\dfrac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}\exp(z_{ij})$$


$$\dfrac{\partial^{2} \log L(\theta)}{\partial \beta_{1}^{2}}=-\dfrac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}x_{i}^{2} \exp(z_{ij})$$


$$\dfrac{\partial^{2} \log L(\theta)}{\partial \sigma^{2}}=\dfrac{1}{\sigma^2}\left(r+2\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}z_{ij}-\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}z_{ij}^{2} \exp(z_{ij})\right)$$


$$\dfrac{\partial^{2} \log L(\theta)}{\partial \beta_{0} \partial \beta_{1}}=\dfrac{\partial^{2} \log L(\theta)}{\partial \beta_{1} \partial \beta_{0}}=\dfrac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}x_{i} \exp(z_{ij})$$


$$\dfrac{\partial^{2} \log L(\theta)}{\partial \beta_{0} \partial \sigma}=\dfrac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{m}~\sum_{j=1}^{n_i}x_i \exp(z_{ij})z_{ij}$$


$$\dfrac{\partial^{2} \log L(\theta)}{\partial \beta_{1} \partial \sigma}=\dfrac{1}{\sigma^2}\left(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}z_{ij}^2 \exp(z_{ij})\right).$$

 

Precisão das Estimativas e Intervalos de Confiança

 

Se $ \widehat{\theta} $ é o estimador de máxima verossimilhança dos parâmetros do modelo, então temos que


$$Var(\widehat{\theta}) \approx [E(-F)]^{-1}$$

em que F é a matriz de derivadas segunda de log(L(θ)).

A seguir, apresentamos o intervalo de 95% de confiança para os parâmetros do modelo no caso das distribuições exponencial e Weibull.

• Distribuição Exponencial

No caso da distribuição exponencial, o modelo é dado por


$$y_{ij} - \beta_0 - \beta_1x_i + \varepsilon_{ij},$$

sendo o vetor de parâmetros dado por $ \theta=(\beta_0,\beta_1) $.

Se $ \widehat{\theta}=(\widehat{\beta_0},\widehat{\beta_1}) $ o estimador de máxima verossimilhança de $ \theta, $ então um intervalo de 95% de confiança para $ \beta_1 $ é dado por


$$\widehat{\beta_1} \pm 1,96 \times (f_{22})^{1/2},$$

em que $ f_{22} $ é o elemento da matriz (-F)-1 que corresponde a $ \partial^{2} \log L(\theta)/\partial \beta_{1}^{2}. $

Analogamente, um intervalo 95% de confiança para $ \beta_0 $ é dado por


$$\widehat{\beta_0} \pm 1,96 \times (f_{11})^{1/2},$$

em que $ f_{11} $ é o elemento da matriz (-F)-1 que corresponde a $ \partial^{2} \log L(\theta)/\partial \beta_{0}^{2}. $

• Distribuição Weibull

No caso da distribuição Weibull, o modelo é dado por


$$y_{ij}-\beta_0-\beta_1x_i+\sigma~\varepsilon_{ij},$$

sendo o vetor de parâmetros dado por  $ \theta=(\beta_0,\beta_1,\sigma ). $

Se $ \widehat{\theta}=(\widehat{\beta_0},\widehat{\beta_1},\widehat{\sigma}) $ é o estimador de máxima verossimilhança de $ \theta $, então um intervalo de 95% de confiança para $ \beta_1 $ é dado por


$$\widehat{\beta_1} \pm 1,96 \times (f_{22})^{1/2}$$

em que $ f_{22} $ é o elemento da matriz (-F)-1.

 

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