6.4 - Adequação do Modelo

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A adequação do modelo é realizada essencialmente por meio dos resíduos do modelo ajustado. Uma análise dos resíduos ajuda a determinar se as suposições feitas sobre o modelo são adequadas. 

 A maior parte da análise de resíduos baseia-se no exame de gráficos. As técnicas gráficas são bastante utilizadas para examinar diferentes aspectos do modelo, um desses aspectos é avaliar a distribuição do erros. A análise dos resíduos não tem como objetivo mostrar que um particular modelo está correto, e sim rejeitar modelos inapropriados. 

Nesta seção, tratamos em particular dos resíduos padronizados.

 

Resíduos Padronizados

 

Os resíduos padronizados são úteis para verificar se a distribuição proposta para o modelo está adequada. Esses resíduos são baseados na representação dos modelos log-lineares apresentados na seção Forma Geral do Modelo.

Dessa forma, os resíduos padronizados são calculados por:


$$\widehat{\varepsilon_{i}}=\dfrac{(\log(t_i)-\mathbf{x^{\prime}}_i\hat{\mathbf{\beta}})}{\hat{\sigma}}$$

em que $ \widehat{\varepsilon_{i}} $ tem distribuição Valor Extremo padrão, ou seja, quando $ \mu = 0 $ e $ \sigma = 1 $ na distribuição Valor Extremo.

Exemplo 6.4.1:

Voltamos agora ao Exemplo 6.1.1, para o qual faremos a modelagem e análise estatística dos resultados.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para fazer o ajuste do modelo Weibull aos dados, consideramos para o tempo de vida dos componentes eletrônicos o seguinte modelo


$$Y = \log(T) = \beta_0 + \beta_1 X + \sigma \epsilon,$$

em que $ \epsilon $ tem distribuição Valor Extremo padrão. Ou equivalentemente,


$$T = \exp(\beta_0 + \beta_1 X + \sigma \epsilon),$$

em que $ T $ tem distribuição de Weibull com parâmetros $ \alpha(x) $ e $ \delta. $

Os parâmetros a serem estimados pelo modelo são $ \beta_0 $, $ \beta_1 $ e $ \sigma $. Note que temos apenas uma variável de estresse nesse caso.

Usando o software estatístico Action, obtemos as seguinte estimativas para os parâmetros do modelo:

Tabela 6.4.1: Estimativas dos parâmetros.

  Estimativa Desvio-padrão z p-valor
$ \beta_0 $ 25,818 2,450 10,539 5,69034E-26
$ \beta_1 $ -0,739 0,082 -9,042 1,53658E-19
$ \log(\sigma) $ -0,495 0,142 -3,497 0,00047

Com isso calculamos os tempos médios até a falha dos componentes eletrônicos para as voltagens 28, 30 e 32 Kilovolts.

Considerando a voltagem x = 28:


$$\hat{\alpha}(x) = \exp(\hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x) = \exp(25,818 - 0,739\times28) = 168,342$$


$$\hat{\delta} = \dfrac{1}{\exp(\log(\mbox{scale}))} = \dfrac{1}{\hat{\sigma}} = \dfrac{1}{0,610} = 1,639$$

Assim, temos que


$$\mbox{MTTF}=\hat{\alpha}\Gamma\left(1+\dfrac{1}{\hat{\delta}}\right)=168,342\times\Gamma(1,610) = 150,092$$

Os resultados para todas as voltagens são apresentados na Tabela 6.4.2.

Tabela 6.4.2: Tempo médio até a falha do componente.

Voltagem Tempo Médio
28 150,092
30 34,227
32 7,805

Os valores dos quantis 0,1; 0,5 e 0,9 para as voltagens de 28, 30 e 32 kilovolts são dados na Tabela 6.4.3.

Considerando, por exemplo, a voltagem x = 28, o valor do quantil 0,1 é dado por:


$$t_p = \hat{\alpha}[-\log(1 - p)]^{1/\widehat{\delta}},$$

então,


$$t_{0,1} = 168,342\times[-\log(1 - 0,1)]^{1/1,639} = 42,564$$

Tabela 6.4.3: Quantis do tempo até a falha do componente.

Voltagem Percentual de Falhas Tempo
28 0,1 42,564
28 0,5 134,184
28 0,9 278,926
30 0,1 9,706
30 0,5 30,600
30 0,9 63,606
32 0,1 2,213
32 0,5 6,978
32 0,9 14,505

Os percentuais de falha para as voltagens 28, 30 e 32 kilovolts são apresentados na Tabela 6.4.4 e calculados como segue.

Considerando o tempo de falha 128 minutos e a voltagem x= 28, temos:


$$\hat{R}(t) = \exp\left\{-\left(\dfrac{t}{\hat{\alpha}}\right)^{\widehat{\delta}}\right\}$$

assim,


$$\hat{R}(128) = \exp\left\{-\left(\dfrac{128}{168,342}\right)^{1,639}\right\} = 0,528$$

Logo, o percentual de falha para o tempo de 128 minutos na voltagem de 28 kV é dado por:


$$1 - \hat{R}(128) = 0,474.$$

Tabela 6.4.4: Percentuais de falha do componente. 

Voltagem Tempo Percentual de Falhas
28 128 0,474
28 68,85 0,207
28 150 0,565
28 110,29 0,395
28 108,29 0,386
28 180 0,674
28 70 0,212
28 135 0,503
28 174 0,654
28 76,65 0,242
28 170,06 0,640
30 81 0,967
30 47,05 0,754
30 35,66 0,590
30 72 0,941
30 39,85 0,657
30 54 0,828
30 35,76 0,591
30 40,25 0,663
30 83 0,972
30 40 0,659
30 32,76 0,539
32 12 0,815
32 0,4 0,006
32 3,91 0,235
32 9,88 0,707
32 0,69 0,015
32 2,75 0,140
32 15,93 0,932
32 5,75 0,396
32 4,25 0,265
32 3,75 0,221
32 0,7 0,016

As curvas de sobrevivência e taxa de falha para as voltagens de 28, 30 e 32 KV estimadas pelo modelo Weibull são dadas pelas Figuras 6.4.1 e 6.4.2.

Figura 6.4.1: Gráfico da confiabilidade.

Note que na Figura 6.4.1 o tempo de vida dos componentes eletrônicos submetidos à uma menor tensão é superior ao dos componentes submetidos à maior tensão durante o tempo de acompanhamento. Para os componentes submetidos à tensão de 28 kV, o tempo para que cerca de 50% (tempo mediano) deles falham é de 135 minutos, enquanto que, para os componentes submetidos à tensão de 30 kV é de 31 minutos e para os submetidos à tensão de 32 kV o tempos é de 7 minutos. Uma outra informação importante é o percentual de componentes que ainda funcionam até um determinado tempo de interesse. Por exemplo, para os componentes submetidos à 28 kV de tensão, cerca de 80% deles ainda funcionam após 70 minutos do início da contagem do tempo, já para aqueles submetidos à 30 kV de tensão, aproximadamente 6% ainda funcionam, e para os componentes submetidos à 32 kV de tensão, nenhum continuou funcionando.

Figura 6.4.2: Gráfico da Taxa de Falha.

Podemos observar na Figura 6.4.2 que a função taxa de falha para o tempo de vida dos componentes eletrônicos é crescente, principalmente para valores maiores de tensão, ou seja, os componentes tendem a falhar mais com o aumento da tensão.

Por fim, para avaliar se a distribuição proposta com o modelo está adequada ao conjunto de dados devemos fazer uma análise dos resíduos.

Os resíduos padronizados com distribuição Valor Extremo padrão são calculados como segue e apresentados na Tabela 6.4.5.

Considerando o tempo de 128 minutos e a voltagem x = 28 kV, o resíduo padronizado é dado por:


$$\widehat{\varepsilon_{i}}=\dfrac{(\log(t_i)-\mathbf{x^{\prime}}_i\hat{\mathbf{\beta}})}{\hat{\sigma}} =\dfrac{(\log(t_i)-(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}x))}{\hat{\sigma}}$$

logo,


$$\widehat{\varepsilon_{i}}=\dfrac{\log(128)-(25,818-0,739\times28)}{0,610}=-0,4439.$$

Tabela 6.4.5: Resíduos padronizados com distribuição Valor Extremo padrão ajustados para os dados dos componentes eletrônicos.

Tempo Voltagem Resíduos
128 28 -0,4439
68,85 28 -14,613
150 28 -0,1837
110,29 28 -0,6883
108,29 28 -0,7183
180 28 0,11543
70 28 -14,341
135 28 -0,3566
174 28 0,05981
76,65 28 -12,852
170,06 28 0,02223
81 30 123,064
47,05 30 0,33936
35,66 30 -0,1154
72 30 10,374
39,85 30 0,06686
54 30 0,5654
35,76 30 -0,1108
40,25 30 0,08325
83 30 127,066
40 30 0,07302
32,76 30 -0,2546
12 32 0,523
0,4 32 -50,573
3,91 32 -13,168
9,88 32 0,20406
0,69 32 -41,627
2,75 32 -18,942
15,93 32 0,9878
5,75 32 -0,6841
4,25 32 -1,18
3,75 32 -13,854
0,7 32 -41,391

Equivalentemente, os resíduos padronizados do modelo Weibull ajustado são apresentados na Tabela 6.4.6 e calculados por:


$$\exp(\widehat{\varepsilon_{i}})=\exp\left\{\dfrac{(\log(t_i)-\mathbf{x^{\prime}}_i\hat{\mathbf{\beta}})}{\hat{\sigma}}\right\}=\exp\left\{\dfrac{\log(128)-(25,818-0,739\times28)}{0,610}\right\}=0,6415.$$

Tabela 6.4.6: Resíduos padronizados do modelo Weibull ajustado para os dados dos componentes eletrônicos. 

Tempo Voltagem Resíduos
128 28 0,6415
68,85 28 0,2319
150 28 0,8322
110,29 28 0,5025
108,29 28 0,4876
180 28 11,224
70 28 0,2383
135 28 0,7001
174 28 10,616
76,65 28 0,2766
170,06 28 10,225
81 30 34,234
47,05 30 14,040
35,66 30 0,8910
72 30 28,219
39,85 30 10,691
54 30 17,602
35,76 30 0,8951
40,25 30 10,868
83 30 35,632
40 30 10,758
32,76 30 0,7752
12 32 16,871
0,4 32 0,0064
3,91 32 0,268
9,88 32 12,264
0,69 32 0,0156
2,75 32 0,1504
15,93 32 26,853
5,75 32 0,5046
4,25 32 0,3073
3,75 32 0,2502
0,7 32 0,0159

A Figura 6.4.3 apresenta o gráfico dos resíduos padronizados com distribuição Valor Extremo padrão ajustados para os dados dos componentes eletrônicos.

Figura 6.4.3: Análise dos resíduos padronizados com distribuição Valor Extremo padrão ajustados para os dados dos componentes eletrônicos.

A partir da Figura 6.4.3 é possível observar que as estimativas das curvas de sobrevivência dos resíduos obtidas por Kaplan-Meier e pelo modelo Weibull estão bem próximas, o que indica que a distribuição Weibull proposta pelo modelo é adequada ao conjunto de dados e, portanto as estimativas feitas através desse modelo são aceitáveis.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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