- (16) 3376-2047
- [email protected]
- Portfólio de Serviços
- AT
A adequação do modelo é realizada essencialmente por meio dos resíduos do modelo ajustado. Uma análise dos resíduos ajuda a determinar se as suposições feitas sobre o modelo são adequadas.
A maior parte da análise de resíduos baseia-se no exame de gráficos. As técnicas gráficas são bastante utilizadas para examinar diferentes aspectos do modelo, um desses aspectos é avaliar a distribuição do erros. A análise dos resíduos não tem como objetivo mostrar que um particular modelo está correto, e sim rejeitar modelos inapropriados.
Nesta seção, tratamos em particular dos resíduos padronizados.
Os resíduos padronizados são úteis para verificar se a distribuição proposta para o modelo está adequada. Esses resíduos são baseados na representação dos modelos log-lineares apresentados na seção Forma Geral do Modelo.
Dessa forma, os resíduos padronizados são calculados por:
$$\widehat{\varepsilon_{i}}=\dfrac{(\log(t_i)-\mathbf{x^{\prime}}_i\hat{\mathbf{\beta}})}{\hat{\sigma}}$$
em que $\widehat{\varepsilon_{i}}$ tem distribuição Valor Extremo padrão, ou seja, quando $\mu = 0$ e $\sigma = 1$ na distribuição Valor Extremo.
Voltamos agora ao Exemplo 6.1.1, para o qual faremos a modelagem e análise estatística dos resultados.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Para fazer o ajuste do modelo Weibull aos dados, consideramos para o tempo de vida dos componentes eletrônicos o seguinte modelo
$$Y = \log(T) = \beta_0 + \beta_1 X + \sigma \epsilon,$$
em que $\epsilon$ tem distribuição Valor Extremo padrão. Ou equivalentemente,
$$T = \exp(\beta_0 + \beta_1 X + \sigma \epsilon),$$
em que $T$ tem distribuição de Weibull com parâmetros $\alpha(x)$ e $\delta.$
Os parâmetros a serem estimados pelo modelo são $\beta_0$, $\beta_1$ e $\sigma$. Note que temos apenas uma variável de estresse nesse caso.
Usando o software estatístico Action, obtemos as seguinte estimativas para os parâmetros do modelo:
Tabela 6.4.1: Estimativas dos parâmetros.
Estimativa | Desvio-padrão | z | p-valor | |
$\beta_0$ | 25,818 | 2,450 | 10,539 | 5,69034E-26 |
$\beta_1$ | -0,739 | 0,082 | -9,042 | 1,53658E-19 |
$\log(\sigma)$ | -0,495 | 0,142 | -3,497 | 0,00047 |
Com isso calculamos os tempos médios até a falha dos componentes eletrônicos para as voltagens 28, 30 e 32 Kilovolts.
Considerando a voltagem x = 28:
$$\hat{\alpha}(x) = \exp(\hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x) = \exp(25,818 - 0,739\times28) = 168,342$$
$$\hat{\delta} = \dfrac{1}{\exp(\log(\mbox{scale}))} = \dfrac{1}{\hat{\sigma}} = \dfrac{1}{0,610} = 1,639$$
Assim, temos que
$$\mbox{MTTF}=\hat{\alpha}\Gamma\left(1+\dfrac{1}{\hat{\delta}}\right)=168,342\times\Gamma(1,610) = 150,092$$
Os resultados para todas as voltagens são apresentados na Tabela 6.4.2.
Tabela 6.4.2: Tempo médio até a falha do componente.
Voltagem | Tempo Médio |
28 | 150,092 |
30 | 34,227 |
32 | 7,805 |
Os valores dos quantis 0,1; 0,5 e 0,9 para as voltagens de 28, 30 e 32 kilovolts são dados na Tabela 6.4.3.
Considerando, por exemplo, a voltagem x = 28, o valor do quantil 0,1 é dado por:
$$t_p = \hat{\alpha}[-\log(1 - p)]^{1/\widehat{\delta}},$$
então,
$$t_{0,1} = 168,342\times[-\log(1 - 0,1)]^{1/1,639} = 42,564$$
Tabela 6.4.3: Quantis do tempo até a falha do componente.
Voltagem | Percentual de Falhas | Tempo |
28 | 0,1 | 42,564 |
28 | 0,5 | 134,184 |
28 | 0,9 | 278,926 |
30 | 0,1 | 9,706 |
30 | 0,5 | 30,600 |
30 | 0,9 | 63,606 |
32 | 0,1 | 2,213 |
32 | 0,5 | 6,978 |
32 | 0,9 | 14,505 |
Os percentuais de falha para as voltagens 28, 30 e 32 kilovolts são apresentados na Tabela 6.4.4 e calculados como segue.
Considerando o tempo de falha 128 minutos e a voltagem x= 28, temos:
$$\hat{R}(t) = \exp\left\{-\left(\dfrac{t}{\hat{\alpha}}\right)^{\widehat{\delta}}\right\}$$
assim,
$$\hat{R}(128) = \exp\left\{-\left(\dfrac{128}{168,342}\right)^{1,639}\right\} = 0,528$$
Logo, o percentual de falha para o tempo de 128 minutos na voltagem de 28 kV é dado por:
$$1 - \hat{R}(128) = 0,474.$$
Tabela 6.4.4: Percentuais de falha do componente.
Voltagem | Tempo | Percentual de Falhas |
28 | 128 | 0,474 |
28 | 68,85 | 0,207 |
28 | 150 | 0,565 |
28 | 110,29 | 0,395 |
28 | 108,29 | 0,386 |
28 | 180 | 0,674 |
28 | 70 | 0,212 |
28 | 135 | 0,503 |
28 | 174 | 0,654 |
28 | 76,65 | 0,242 |
28 | 170,06 | 0,640 |
30 | 81 | 0,967 |
30 | 47,05 | 0,754 |
30 | 35,66 | 0,590 |
30 | 72 | 0,941 |
30 | 39,85 | 0,657 |
30 | 54 | 0,828 |
30 | 35,76 | 0,591 |
30 | 40,25 | 0,663 |
30 | 83 | 0,972 |
30 | 40 | 0,659 |
30 | 32,76 | 0,539 |
32 | 12 | 0,815 |
32 | 0,4 | 0,006 |
32 | 3,91 | 0,235 |
32 | 9,88 | 0,707 |
32 | 0,69 | 0,015 |
32 | 2,75 | 0,140 |
32 | 15,93 | 0,932 |
32 | 5,75 | 0,396 |
32 | 4,25 | 0,265 |
32 | 3,75 | 0,221 |
32 | 0,7 | 0,016 |
As curvas de sobrevivência e taxa de falha para as voltagens de 28, 30 e 32 KV estimadas pelo modelo Weibull são dadas pelas Figuras 6.4.1 e 6.4.2.
Figura 6.4.1: Gráfico da confiabilidade.
Note que na Figura 6.4.1 o tempo de vida dos componentes eletrônicos submetidos à uma menor tensão é superior ao dos componentes submetidos à maior tensão durante o tempo de acompanhamento. Para os componentes submetidos à tensão de 28 kV, o tempo para que cerca de 50% (tempo mediano) deles falham é de 135 minutos, enquanto que, para os componentes submetidos à tensão de 30 kV é de 31 minutos e para os submetidos à tensão de 32 kV o tempos é de 7 minutos. Uma outra informação importante é o percentual de componentes que ainda funcionam até um determinado tempo de interesse. Por exemplo, para os componentes submetidos à 28 kV de tensão, cerca de 80% deles ainda funcionam após 70 minutos do início da contagem do tempo, já para aqueles submetidos à 30 kV de tensão, aproximadamente 6% ainda funcionam, e para os componentes submetidos à 32 kV de tensão, nenhum continuou funcionando.
Figura 6.4.2: Gráfico da Taxa de Falha.
Podemos observar na Figura 6.4.2 que a função taxa de falha para o tempo de vida dos componentes eletrônicos é crescente, principalmente para valores maiores de tensão, ou seja, os componentes tendem a falhar mais com o aumento da tensão.
Por fim, para avaliar se a distribuição proposta com o modelo está adequada ao conjunto de dados devemos fazer uma análise dos resíduos.
Os resíduos padronizados com distribuição Valor Extremo padrão são calculados como segue e apresentados na Tabela 6.4.5.
Considerando o tempo de 128 minutos e a voltagem x = 28 kV, o resíduo padronizado é dado por:
$$\widehat{\varepsilon_{i}}=\dfrac{(\log(t_i)-\mathbf{x^{\prime}}_i\hat{\mathbf{\beta}})}{\hat{\sigma}} =\dfrac{(\log(t_i)-(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}x))}{\hat{\sigma}}$$
logo,
$$\widehat{\varepsilon_{i}}=\dfrac{\log(128)-(25,818-0,739\times28)}{0,610}=-0,4439.$$
Tabela 6.4.5: Resíduos padronizados com distribuição Valor Extremo padrão ajustados para os dados dos componentes eletrônicos.
Tempo | Voltagem | Resíduos |
128 | 28 | -0,4439 |
68,85 | 28 | -14,613 |
150 | 28 | -0,1837 |
110,29 | 28 | -0,6883 |
108,29 | 28 | -0,7183 |
180 | 28 | 0,11543 |
70 | 28 | -14,341 |
135 | 28 | -0,3566 |
174 | 28 | 0,05981 |
76,65 | 28 | -12,852 |
170,06 | 28 | 0,02223 |
81 | 30 | 123,064 |
47,05 | 30 | 0,33936 |
35,66 | 30 | -0,1154 |
72 | 30 | 10,374 |
39,85 | 30 | 0,06686 |
54 | 30 | 0,5654 |
35,76 | 30 | -0,1108 |
40,25 | 30 | 0,08325 |
83 | 30 | 127,066 |
40 | 30 | 0,07302 |
32,76 | 30 | -0,2546 |
12 | 32 | 0,523 |
0,4 | 32 | -50,573 |
3,91 | 32 | -13,168 |
9,88 | 32 | 0,20406 |
0,69 | 32 | -41,627 |
2,75 | 32 | -18,942 |
15,93 | 32 | 0,9878 |
5,75 | 32 | -0,6841 |
4,25 | 32 | -1,18 |
3,75 | 32 | -13,854 |
0,7 | 32 | -41,391 |
Equivalentemente, os resíduos padronizados do modelo Weibull ajustado são apresentados na Tabela 6.4.6 e calculados por:
$$\exp(\widehat{\varepsilon_{i}})=\exp\left\{\dfrac{(\log(t_i)-\mathbf{x^{\prime}}_i\hat{\mathbf{\beta}})}{\hat{\sigma}}\right\}=\exp\left\{\dfrac{\log(128)-(25,818-0,739\times28)}{0,610}\right\}=0,6415.$$
Tabela 6.4.6: Resíduos padronizados do modelo Weibull ajustado para os dados dos componentes eletrônicos.
Tempo | Voltagem | Resíduos |
128 | 28 | 0,6415 |
68,85 | 28 | 0,2319 |
150 | 28 | 0,8322 |
110,29 | 28 | 0,5025 |
108,29 | 28 | 0,4876 |
180 | 28 | 11,224 |
70 | 28 | 0,2383 |
135 | 28 | 0,7001 |
174 | 28 | 10,616 |
76,65 | 28 | 0,2766 |
170,06 | 28 | 10,225 |
81 | 30 | 34,234 |
47,05 | 30 | 14,040 |
35,66 | 30 | 0,8910 |
72 | 30 | 28,219 |
39,85 | 30 | 10,691 |
54 | 30 | 17,602 |
35,76 | 30 | 0,8951 |
40,25 | 30 | 10,868 |
83 | 30 | 35,632 |
40 | 30 | 10,758 |
32,76 | 30 | 0,7752 |
12 | 32 | 16,871 |
0,4 | 32 | 0,0064 |
3,91 | 32 | 0,268 |
9,88 | 32 | 12,264 |
0,69 | 32 | 0,0156 |
2,75 | 32 | 0,1504 |
15,93 | 32 | 26,853 |
5,75 | 32 | 0,5046 |
4,25 | 32 | 0,3073 |
3,75 | 32 | 0,2502 |
0,7 | 32 | 0,0159 |
A Figura 6.4.3 apresenta o gráfico dos resíduos padronizados com distribuição Valor Extremo padrão ajustados para os dados dos componentes eletrônicos.
Figura 6.4.3: Análise dos resíduos padronizados com distribuição Valor Extremo padrão ajustados para os dados dos componentes eletrônicos.
A partir da Figura 6.4.3 é possível observar que as estimativas das curvas de sobrevivência dos resíduos obtidas por Kaplan-Meier e pelo modelo Weibull estão bem próximas, o que indica que a distribuição Weibull proposta pelo modelo é adequada ao conjunto de dados e, portanto as estimativas feitas através desse modelo são aceitáveis.
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.