6.5 - Comparação entre curvas de sobrevivência

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Muitas vezes é importante determinar se duas curvas de sobrevivência apresentam diferenças significativas entre si. Como exemplo, considere que o objetivo seja comparar um processo novo com um antigo, ou ainda comparar dois produtos diferentes com relação ao tempo de vida. Para este fim, consideramos nessa seção o teste logrank (Mantel, 1996), que é um dos mais conhecidos e usados na área de confiabilidade.

A estatística do teste é a diferença entre o número observado de falhas em cada grupo e uma quantidade que, para muitos propósitos, pode ser pensada como o correspondente número esperado de falhas sob a hipótese nula. Considere inicialmente, o teste de igualdade de duas funções de sobrevivência S1(t) e S2(t). Sejam t1 t2 ... tk os tempos de falha distintos da amostra formada pela combinação das duas amostras individuais. Suponha que no tempo tocorram dj falhas e que nj indivíduos estejam sob risco em um tempo imediatamente inferior a tj na amostra combinada e, respectivamente, dij e nij na amostra i = 1, 2 e j = 1, ..., k. Em cada tempo de falha tj, os dados podem ser dispostos em forma de tabela de contingência 2 x 2 com dij falhas e nij - dij sobreviventes na coluna i, como mostra a Tabela 6.5.1.

Tabela 6.5.1: Tabela de contingência gerada no tempo tj.

  Grupos  
  1 2  
Falha d1j d2j dj
Não Falha n1j - d1j n2j - d2j nj - dj
  n1j n2j nj

Condicionado às ocorrências de falha e censura até o tempo anterior a t(fixando as marginais de coluna) e ao número de falhas no tempo t(fixando as marginais de linha), a distribuição de d2j é uma hipergeométrica:


$$\dfrac{\displaystyle\binom{n_{1j}}{d_{1j}}\binom{n_{2j}}{d_{2j}}}{\displaystyle\binom{n_j}{d_j}}.$$

A média de d2j é w2j = n2j×dj×nj-1, o que equivale a dizer que, se não houver diferença entre as duas populações no tempo tj, o número total de falhas dj pode ser dividido entre as duas amostras de acordo com a razão entre o número de indivíduos sob risco em cada amostra e o número total de indivíduos sob risco. A variância de d2j obtida a partir da distribuição hipergeométrica é dada por


$$(V_{j})_2 = d_j \left( \frac{n_{1j} n_{2j}}{n_{j}^2} \right) \left( \frac{n_j - d_j }{n_j - 1} \right).$$

Então, a estatística d2j - w2j tem média zero e variância (Vj)2. Se as k primeiras tabelas de contingência forem condicionalmente independentes, um teste aproximado para a igualdade das duas funções de sobrevivência pode ser baseado na estatística


$$T=\dfrac{\left[\sum_{j=1}^{k}(d_{2j}-w_{2j})\right]^2}{\sum_{j=1}^{k}\left(V_j\right)_2},$$

em que sob a hipótese nula H0: S1(t) = S2(t), para todo t no período de acompanhamento, tem uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade para grandes amostras.

Exemplo 6.5.1: 

Um produtor de requeijão realiza um teste de durabilidade de seu produto. O produto é vendido a temperatura ambiente e sem conservantes. O evento de interesse é o aparecimento de algum fungo no produto. Os dados são apresentados na tabela a seguir, em que o tempo é medido em horas. O símbolo + indica censura.

Existe diferença entre as duas embalagens com relação à durabilidade do produto?

Embalagens
A 31 40 43 44 46 46 47 48 48 49
50 50 60 60 60 60 60+ 60+ 60+ 60+
B 48 48 49 49 49 49 50 50 50 50
53 53 54 54 54 55 55+ 55+ 55+ 55+

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Resolução:

Vamos comparar os tempos de durabilidade utilizando o teste Log-Rank disponível no Software Action.

O teste Log-Rank é utilizado para testar a hipótese nula de que não há diferença entre os grupos. De acordo com o p-valor obtido, 0,9362, podemos concluir que não há diferença significativa entre as duas embalagens com relação à durabilidade do produto. 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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