8 - Exercícios

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Exercício 8.1:

Os dados na Tabela 8.1 representam o tempo até a ruptura de um certo tipo de isolante elétrico sujeito a uma tensão de estresse de 35 kvolts. O teste consistiu em deixar 25 destes isolantes funcionando até que 15 deles falhassem (censura do tipo II), obtendo-se os seguintes resultados (em minutos).

Tabela 8.1: Tempo até a ruptura de um tipo de isolante elétrico.

0,19 0,78 0,96 1,31 2,78 3,16 4,67 4,85
6,5 7,35 8,27 12,07 32,52 33,91 36,71  

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A partir dos dados amostrais, deseja-se obter as seguintes informações:

(a) uma estimativa para o tempo mediano de vida deste tipo de isolante elétrico funcionando a 35 Kvolts;

(b) uma estimativa (pontual e intervalar) para a fração de defeituosos esperada nos dois primeiros minutos de funcionamento;

(c) uma estimativa pontual para o tempo médio de vida dos isolantes funcionando a 35 Kvolts (limitado em 40 minutos) e;

(d) o tempo necessário para que 20% dos isolantes estejam fora de operação.

Exercício 8.2: 

Um produtor de requeijão realiza um teste de durabilidade de seu produto. O produto dele é vendido a temperatura ambiente e sem conservantes. O evento de interesse é o aparecimento de algum fungo no produto. Os dados são apresentados na Tabela 8.2, em que o tempo é medido em horas. O símbolo + indica censura.

Tabela 8.2: Tempos de durabilidade (em horas).

31 40 43 44 46 46 47 48 48 49
50 50 60 60 60 60 60+ 60+ 60+ 60+

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Caracterize a durabilidade do produto (quantil 10%, mediana e média) para os dados acima utilizando o Estimador de Kaplan-Meier.

Exercício 8.3:

 O fabricante de um determinado tipo de isolador elétrico deseja analisar o comportamento de seu produto funcionando a uma temperatura de 200ºC. Um teste de vida com 60 isoladores elétrcios foi realizado nas condições desejadas. O teste terminou quando 45 dos isoladores falharam (censura do tipo II). As 15 unidades restantes (que não haviam falhado ao final do teste) foram censuradas no tempo t = 2.729 horas. O fabricante tem interesse em estimar o tempo médio e mediano de vida do isolador e também o percentual de falhas após 500 horas de uso. Os tempos (em horas) obtidos são apresentados na Tabela 8.3. O símbolo + indica censura.

Responda às questões de interesse do fabricante utilizando um modelo paramétrico que se apresentar mais apropriado para descrever os dados.

Tabela 8.3: Tempos de funcionamento isolador elétrico.

151 164 336 365 403 454 455 473 538 577 592
628 632 647 675 727 785 801 811 816 867 893
930 937 976 1008 1040 1051 1060 1183 1329 1334 1379
1380 1633 1769 1827 1831 1849 2016 2282 2415 2430 2686
2729 2729+ 2729+ 2729+ 2729+ 2729+ 2729+ 2729+ 2729+ 2729+ 2729+
2729+ 2729+ 2729+ 2729+ 2729+            

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Exercício 8.4: 

Um fabricante de eletrodomésticos está desenvolvendo uma nova tecnologia para um de seus produtos. O sucesso dessa nova tecnologia depende da performance de um novo componente, o qual não é fabricado pela própria empresa. Com essa finalidade, foi realizado um teste acelerado utilizando-se 120 componentes e três níveis de temperatura: 75ºC, 95ºC e 115ºC. Quarenta componentes foram submetidos a teste em cada nível de temperatura. Os testes tiveram a duração de 10 semanas (1.680 horas). Os dados são apresentados na Tabela 8.4.

Verifique qual o percentual de falhas esperado no primeiro ano de uso.

Tabela 8.4: Tempos de falha (em horas) para os componentes em teste.

75ºC 95ºC 115ºC
8 8 943 1 202 (2) 925
109 67 1236 11 215 958
219 155 1266 12 224 (2) 1413
423 160 1287 24 239  
514 161 1307 32 299  
973 196 1351 59 352  
1013 204 1379 63 362  
1100 308 1521 75 365  
1246 518 1607 81 382  
1503 523 1639 84 390  
1607 551 1653 86 471  
  560   130 570  
  639   133 584  
  734   135 600  
  802   142 (2) 730  
  855   195 850  

11 falhas

29 censuras

(t = 1.680 h)

27 falhas

13 censuras

(t = 1.680 h)

39 falhas

1 censura

(t = 1.680 h)

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Exercício 8.5: 

Considere os dados referentes ao número de ciclagens até a falha de uma mola submetida às tensões 1030, 1062, 1100, 1144, 1188, 1232, 1275, 1320. Os dados são apresentados na Tabela 8.5. Deseja-se saber quais os valores médios e os quantis 0,1; 0,5 e 0,9 do tempo até a falha da mola para as tensões 1.100, 1.200, 1.300 e 1.400, bem como as proporções de falha nos tempos 100.000, 500.000, 1.000.000, 2.000.000 para estes mesmos valores de tensão.

Faça o ajuste dos dados ao modelo Potência Inversa - LogNormal utilizando o software Action.

Tabela 8.5: Número de ciclos até a falha de uma mola.

ciclagem tensão censura
47820 1320 1
60370 1320 1
95750 1320 1
289310 1320 1
71405 1320 1
60370 1320 1
256665 1275 1
95770 1275 1
95770 1275 1
47820 1275 1
71405 1275 1
95770 1275 1
118510 1232 1
345060 1232 1
168815 1232 1
279470 1232 1
95770 1232 1
144655 1232 1
598340 1188 1
466130 1188 1
466130 1188 1
245720 1188 1
118510 1188 1
144655 1188 1
2538580 1144 1
3391970 1144 1
1074895 1144 1
2095270 1144 1
195515 1144 1
430395 1144 1
4543250 1100 0
1821075 1100 1
628090 1100 1
4342515 1100 1
1074895 1100 1
1572425 1100 1
4543250 1062 0
3857210 1062 1
4543250 1062 0
4543250 1062 0
3546195 1062 1
4543250 1062 0
4543250 1030 0
4543250 1030 0
4543250 1030 0
4543250 1030 0
4543250 1030 0
4543250 1030 0
$ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $

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Exercício 8.6: 

Considere o número de ciclagens até a falha de uma mola submetida à duas variáveis de estresse, tensão1 e tensão2. Os dados estão dispostos na Tabela 8.6. Deseja-se saber quais os valores médios para os quantis 0,01; 0,05; 0,1; 0,5 e 0,9 do tempo até a falha da mola para as variáveis tensão1 de 10, 15 e 35 e tensão2 de 5, 20 e 50, bem como as proporções de falha nos tempos 500.000, 1.500.000, 3.000.000 e 4.000.000 para os mesmos valores de tensão1 e tensão2.

Tabela 8.6: Número de ciclos até a falha da mola.

ciclagem tensão1 tensão2 censura
2530525 10 15 0
664100 20 25 1
629945 10 35 1
747781 20 40 1
1358272 10 15 0
1814392 20 25 0
843591 10 35 1
910924 20 40 1
113234 10 15 1
513800 20 25 1
1320830 10 35 0
362559 20 40 1
745203 10 15 1
733616 20 25 1
498722 10 35 1
1111116 20 40 0
1122238 10 15 0
815159 20 25 1
686347 10 35 1
1115291 20 40 0
$ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $

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Exercício 8.7: 

Uma equipe de engenharia de produto realizou um ensaio para avaliar a carga que um determinado componente do motor suporta utilizando diferentes materiais e temperatura(ºC) de ensaio. OS dados obtidos são apresentados na Tabela 8.7.

Faça o ajuste dos dados utilizando o software Action.

Tabela 8.7: Carga suportada pelo componente do motor.

Carga Censura Material Temperatura
500 0 A 100
500 0 A 100
500 0 A 100
500 0 A 100
500 0 A 100
500 0 A 100
500 0 A 100
500 0 A 100
500 0 A 100
500 0 A 100
500 0 A 100
500 0 A 100
500 0 A 100
481 1 A 100
450 1 A 100
500 0 A 200
500 0 A 200
500 0 A 200
500 0 A 200
500 0 A 200
500 0 A 200
391 1 A 200
355 1 A 200
343 1 A 200
335 1 A 200
306 1 A 200
306 1 A 200
289 1 A 200
277 1 A 200
230 1 A 200
500 0 A 400
500 0 A 400
500 0 A 400
500 0 A 400
500 0 A 400
500 0 A 400
500 0 A 400
500 0 A 400
371 1 A 400
367 1 A 400
322 1 A 400
285 1 A 400
268 1 A 400
268 1 A 400
234 1 A 400
$ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $

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Exercício 8.8: 

Uma empresa realizou um ensaio para avaliar os tempos de durabilidade (tempos até a falha) de um componente do motor submetido à cargas de 0,5 e 0,4. Os dados são apresentados na Tabela 8.8.

Faça o ajuste desses dados utilizando o software Action.

Tabela 8.8: Tempos até a falha do componente.

Carga Tempos Censura
0,5 400000 1
0,5 104052 1
0,4 1000000 0
0,4 1000000 0
0,4 1000000 0
0,4 908209 1
0,4 1000000 0
0,4 1000000 0
0,5 480000 1
0,5 520000 1
0,5 350000 1
0,4 934000 1
0,4 1000000 0

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Exercício 8.9: 

Uma equipe de engenharia de produtos realizou um ensaio para avaliar a carga que um componente do motor suporta utilizando diferentes materiais. Os dados são apresentados na Tabela 8.9. O símbolo + indica censura.

Existe diferença entre os materiais com relação à carga que o componente do motor suporta? Compare estas cargas utilizando o teste Log-Rank disponível no software Action.

Tabela 8.9: Carga suportada pelo componente.

Material Cargas        
A 500+ 500+ 500+ 500+ 500+ 500+ 481 375
355 322 318 285 273 264 226  
B 500+ 500+ 500+ 500+ 500+ 500+ 500+ 500+
500+ 500+ 500+ 500+ 500+ 500+ 339   

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Exercício 8.10:

Para avaliar a confiabilidade do freio de um avião foram selecionados 45 unidades que foram colocadas em teste até que 15 freios falhem, sendo registrado o número de ciclos até a falha. Estes testes (rápidos) são realizados quando estamos interessados em avaliar o tempo de falha dos primeiros anos de uso. Para testar o freio, foi montado um dispositivo que simula sua utilização em condições reais. Os dados são apresentados na Tabela 8.10.

Nº Falhas Censura Tempos
1 F 19
2 F 43
1 F 148
1 F 169
1 F 171
1 F 205
1 F 232
1 F 248
1 F 250
1 F 263
1 F 271
1 F 282
1 F 290
1 F 347
1 F 349
1 F 398
1 F 477
1 F 514
1 F 595
1 F 603
1 F 662
2 F 700
1 F 706
2 F 709
1 F 763
1 F 777
1 F 869
15 C 869

Tabela 8.10: Número de ciclos até a falha de freios de avião.

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O fabricante estima que o avião realiza 6 pousos diários, 6 dias por semana. Qual a probabilidade de um freio não falhar antes de 100 dias de uso? Qual é o número esperado de ciclos para o qual 25 % dos freio falham?

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