7 - Plano de determinação

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A utilização de uma amostra em um determinado estudo implica, inevitavelmente, na aceitação de uma margem de erro, que denominamos erro amostral. Não é possível evitar a ocorrência do erro amostral, no entanto podemos limitar o seu valor escolhendo uma amostra de tamanho adequado.

Dessa forma, o plano de determinação é usado quando desejamos determinar o tamanho da amostra (n) que nos assegura uma probabilidade de erro adequada.

Suponha que Bq seja o tempo para o qual q×100% das peças em um estudo falham. Queremos, então, determinar uma estratégia para avaliar se um determinado produto atende ao requisito Bq.

Para isso, devemos considerar as seguintes suposições:

  • Ensaiar n peças por t unidades de tempo;
  • O produto atende ao requisito Bq se nenhuma peça falhar durante o ensaio, ou seja, "zero defeito".

A questão agora é como determinar o tamanho da amostra n que nos assegura uma probabilidade de erro adequada. Para isso, consideramos dois possíveis casos que são apresentados a seguir.

 

Caso 1: Ensaiar o produto por t = Bq unidades de tempo.

Para tratar este caso, definimos as seguintes hipóteses:

~\hbox{o produto atende ao requisito}~B_q.\end{array}\right~~~~~~~~(7.1)$$

Como cada produto pode falhar ou não durante o ensaio, a distribuição binomial é um bom modelo probabilístico para determinarmos o tamanho da amostra.

Consideramos n peças em estudo e para cada peça associamos uma variável aleatória Xi tal que

$$\left\{\begin{array}{ll}X_{i}=1,~\hbox{se o produto $i$ falhar}\\X_{i}=0,~\hbox{se o produto $i$ não falhar}.\end{array}\right$$

Neste caso obtemos que $ X_i \sim $ Bernoulli(p).

Consideramos agora uma variável Y que denota o número de peças que falharam durante o ensaio. Com isso, obtemos que $ Y \sim $ Binomial(n, p), em que p representa a probabilidade real de defeitos no tempo especificado (Bq).

Dessa forma, podemos reescrever as hipóteses (7.1) como

~p~\textless~ q,~~~~\hbox{atende ao requisito}.\end{array}\right$$

A probabilidade do erro do Tipo I é dada por

$$\alpha = \mbox{P}[\mbox{rejeitar}~H_{0}~|~H_{0}~\mbox{verdadeiro}]$$

Então, considerando que o produto atende ao requisito Bq se nenhuma peça falhar durante o ensaio (zero defeito) temos

$$\alpha = \mbox{P}[\mbox{zero~defeito}~|~p = q] = \left(\begin{array}{c}n\\0\\\end{array}\right) q^0(1-q)^{n-0}.$$

Logo,

$$\alpha=(1-q)^n \Rightarrow \ln(\alpha)=n\ln(1-q).$$

Portanto, isolando n obtemos

$$n=\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q)}.$$

Exemplo 7.1: 

Determinar o tamanho da amostra para avaliarmos o requisito B0,1 = 320.000 ciclos.

Neste caso, para determinar o tamanho da amostra basta fixarmos uma probabilidade do erro de tipo I ($ \alpha $).

Assim, se considerarmos $ \alpha=0,1 $ obtemos

$$n =\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q)}=\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(1-0,1)}=21,85=22.$$

Para $ \alpha=0,4 $ obtemos

$$n=\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q)}=\dfrac{\ln(0,4)}{\ln(1-0,1)}=8,7=9.$$

Na Tabela 7.1 apresentamos os tamanhos de amostra para diferentes valores de $ \alpha. $ Podemos observar que quanto maior o tamanho da amostra, menor é a probabilidade de erro.

Tabela 7.1: Tamanhos de amostra (n) para diferentes valores de $ \alpha. $ 

$ \alpha $

n

0,05 29
0,1 22
0,15 19
0,2 16
0,25 14
0,3 12
0,35 10
0,4 9
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Caso 2: Ensaiar o produto por t $ ~\neq~ $ Bq unidades de tempo.

Neste caso, ensaiamos o produto por t unidades de tempo diferente do requisito Bq. Para isso, admitimos que o tempo até a ocorrência da falha segue distribuição de Weibull(a, δ), em que δ é um parâmetro conhecido.

Dessa forma, temos

$$1-q = \mbox{P}[T \geq B_q] = \exp\left\{-\left(\dfrac{B_q}{a}\right)^{\delta}\right\},$$

em que T é o tempo até a ocorrência da falha.

Assim, ao isolarmos $ a $ obtemos,

$$\ln(1-q)=-\left(\dfrac{B_q}{a}\right)^{\delta} \Rightarrow \ln(1-q)=-\dfrac{B_q^{\delta}}{a^{\delta}}.$$

Logo,

$$a^{\delta}=\dfrac{B_q^{\delta}}{-\ln(1-q)} \Rightarrow a=\left(\dfrac{B_q^{\delta}}{-\ln(1-q)}\right)^{1/\delta}.$$

Portanto,

$$a=\dfrac{B_q}{(-\ln(1-q))^{1/\delta}}.$$

Com o valor de $ a $ obtido acima, podemos calcular a proporção esperada de falha para um determinado tempo t. Com isso, segue que

$$q_t = \mbox{P}[T~\textless~t]=1-\exp\left\{-\left(\dfrac{t}{a}\right)^{\delta}\right\},$$

sendo $ q_t $ a proporção esperada de falha no tempo t.

Com este $ q_t $ executamos os passos (modelo probabilístico) descritos no Caso 1 e obtemos, assim, o tamanho da amostra (n), expresso por

$$n=\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q_t)}.$$

Exemplo 7.2: 

Queremos avaliar se um determinado produto atende ao requisito B0,1 = 320.000 ciclos. Porém, vamos ensaiar o produto por t = 600.000 ciclos. Qual deve ser o tamanho da amostra?

Note que para a resolução deste problema precisamos seguir os passos descritos no Caso 2.

Assim, temos Bq = B0,1 = 320.000 ciclos, em que q = 0,1 = 10%. Suponha que T, o tempo até a ocorrência da falha, segue uma distribuição de Weibull com parâmetro δ = 2. Utilizando as expressões obtidas no Caso 2 temos

$$1-q = \mbox{P}[T \geq B_q]=\exp\left\{-\left(\dfrac{B_q}{a}\right)^{\delta}\right\}.$$

Então, fazendo as devidas substituições segue que

$$1-0,1 = \mbox{P}[T \geq B_{0,1}]=\exp\left\{-\left(\dfrac{320.000}{a}\right)^{2}\right\}.$$

Logo, isolando $ a $ obtemos

$$a=\dfrac{320.000}{(-\ln(1 - 0,1))^{1/2}} = 985850,4399.$$

Com o valor de a = 985850,4399, podemos encontrar a proporção esperada de falha para o tempo t = 600.000 ciclos. Dessa forma,

$$q_t = P[T~\textless~t] = 1 - \exp\left\{-\left(\dfrac{t}{a}\right)^{\delta}\right\} = 1 - \exp\left\{-\left(\dfrac{600000}{985850,4399}\right)^{2}\right\} = 0,309547475.$$

Assim, se considerarmos $ \alpha =0,1 $ obtemos

$$n=\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q_t)}=\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(1-0,309547475)}=6,216347115 = 7.$$

Para $ \alpha =0,4 $ obtemos

$$n=\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q_t)} = \dfrac{\ln(0,4)}{\ln(1-0,309547475)}=2,473733225 = 3.$$

Na Tabela 7.2 apresentamos os tamanhos de amostra para diferentes valores de $ \alpha. $ Análogo ao Caso 1, quanto maior o tamanho da amostra menor é a probabilidade de erro.

Tabela 7.2: Tamanhos de amostra (n) para diferentes valores de $ \alpha. $ 

$ \alpha $ n
0,05 9
0,1 7
0,15 6
0,2 5
0,25 4
0,3 4
0,35 3
0,4 3

Note que, seguindo o procedimento descrito pelo Caso 2 obtemos tamanhos de amostra (n) menores do que pelo Caso 1. No entanto, os dois possíveis casos são adequados para a determinação do tamanho da amostra, sendo utilizado o procedimento (Caso 1 ou Caso 2) que melhor se adapta à situação em questão.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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