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1.1 Modelo

Modelo para os dados

Para uma boa análise é necessário descrever os dados através de um modelo apropriado. Um dos mais simples é o modelo de efeitos, descrito por:

$$y_{ij}=\mu +\alpha_i+\varepsilon_{ij} $$

em que, $ j = 1, \cdots ,n_i $ e $ i = 1;2, \cdots ,k $.

Para este modelo $ \mu $ é um parâmetro comum a todos os tratamentos e representa a média geral dos dados, $ \alpha_{i} $ é o efeito que o nível i do fator provoca na variável resposta. A variável aleatória $ \varepsilon_{ij} $ corresponde ao erro aleatório experimental, isto é, a variabilidade devido aos outros fatores que influenciam no processo, produto ou serviço e que não foram considerados no experimento. O erro experimental representa as variações não explicada pelo modelo, que tem como causa as variações presentes em diversas fontes não consideradas no estudo.

Resumindo,

$ y_{ij} $= j-ésima observação do nível i do fator A;

$ \mu $ = média geral dos dados;

$ \alpha_i $ = efeito do nível i do fator;

$ \varepsilon_{ij} $ = componente aleatória do erro.

A partir dos dados, utilizaremos a seguinte notação:

$ y_{i.}=\displaystyle \sum_{j=1}^{n_{i}} y_{ij} $: soma das observações do nível i do fator A,

$ \overline{y}_{i.}=\cfrac{\displaystyle\sum_{j=1}^{n_{i}} y_{ij}}{\displaystyle n_{i}} $: média das observações do nível i do fator A,

$ y_{..}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n_{i}}y_{ij} $: soma de todas as observações, e

$ \overline{y}_{..}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n_{i}} y_{ij}}{\displaystyle N} $: média geral das observações,

sendo $ N=\displaystyle\sum^{k}_{i=1}n_{i}, $ total de observações.

Além disso, faremos a hipótese de que o erro experimental são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição normal com média zero e variância $ \sigma^2 $, isto é, assumimos que $ \varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2) $. Desta forma, concluímos que $ y_{ij} $ também tem distribuição normal com média $ \mu + \alpha_i $ e variância $ \sigma^2 $, para todo $ j=1, \cdots , n_i $ e $ i=1, \cdots , k $.

Na prática estamos interessado em avaliar o impacto do fator na resposta. Para isto, queremos avaliar o efeito que os diferentes níveis do fator provoca na variável resposta. Se denotarmos por $ \mu_i = \mu + \alpha_i $, queremos testar as hipóteses:

$$\left\{\begin{array}{ll}\mbox{H}_{0}:\mu_{1}=\ldots=\mu_{k} \\\mbox{H}_{1}:\mu_{i}\neq \mu_{j}~(i\neq j) \\ \end{array}\right. $$

$ \Leftrightarrow $

$$\left\{\begin{array}{ll}\mbox{H}_{0}:\mu_{1}=\ldots=\mu_{k} \\\mbox{H}_{1}:\mbox{pelo menos um é diferente.} \\ \end{array}\right. $$

No modelo de efeito fixo, temos:

$ \displaystyle\mu=\cfrac{\displaystyle \sum^n_{i=1} n_{i} \mu_{i} }{\displaystyle\sum^n_{i=1}n_{i}}=\cfrac{\displaystyle\sum^n_{i=1}n_{i} (\mu+\alpha_{i})}{\displaystyle\sum^n_{i=1} n_{i}}=\mu + \cfrac{\displaystyle\sum^n_{i=1}n_{i} \alpha_{i}}{\displaystyle\sum^n_{i=1}n_{i}}, $

esta definição implica que:

$ \displaystyle\sum^n_{i=1}n_{i} \alpha_{i}=0. $

Assim, podemos escrever as hipóteses, como:

$$\left\{\begin{array}{ll} H_{0}:\alpha_{1}=...=\alpha_{k}=0 \\H_{1}:\alpha_{i}\neq 0~(\text{para algum} ~i=1,\cdots ,k) \\\end{array}\right. $$