1.10.3.2 - Incerteza devido a curva de calibração: Método da Projeção

Nesta seção vamos deduzir outra metodologia para calcularmos a incerteza devido à curva de calibração, que denominamos método da projeção  do intervalo de confiança da resposta média. Para ilustrarmos esta denominação, observe o exemplo da motivação.

A estimativa de um intervalo de confiança para $\mathbb{E}\left(Y \mid X=x_0 \right)=\mu_{Y \mid x_0}= \beta_0+\beta_1 x_0$ é de grande interesse.

Um estimador pontual de $\mu_{Y \mid x_0}$ pode ser obtido a partir do modelo ajustado, isto é,

$$\widehat{\mu}_{Y \mid x_0}=\widehat{\beta}_0+\widehat{\beta}_1 x_0=\widehat{Y}(x_0)\quad\quad (1.10.3.2.1).$$

Notemos que $\widehat{\mu}_{Y \mid x_0}$ é uma variável aleatória normalmente distribuida já que é uma combinação linear das observações $Y_i$. Além disso, temos que

$$\mathbb{E}(\widehat{\mu}_{Y \mid x_0})=\beta_0+\beta_1 x_0 =\mu_{Y\mid x_0}\,\quad\mbox{e}$$

$$\text{Var}(\widehat{\mu}_{Y\mid x_0})=\text{Var}[\overline{Y}+\widehat{\beta}_1(x_0-\overline{x})]=\dfrac{\sigma^2}{n}+(x_0-\overline{x})^2\dfrac{\sigma^2}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}=\sigma^2\left[\dfrac{1}{n}+\dfrac{(x_0-\overline{x})^2}{S_{xx}}\right],$$

Portanto, o intervalo de confiança para $\mu_{Y \mid x_0}=E[Y \mid X=x_0]$ é dado por

$$\left[\widehat{Y}(x_0)-t_{\left(1-\dfrac{\alpha}{2};n-2\right)}\sqrt{QME\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{(x_0-\overline{x})^2}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}\right)}\right.~;$$

$$\left.\widehat{Y}(x_0)+t_{\left(1-\dfrac{\alpha}{2};n-2\right)}\sqrt{QME\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{(x_0-\overline{x})^2}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}\right)}\right],$$

em que $\widehat{Y}(x_0)$ é a resposta média estimada para o nível x=x₀. Observe a figura (1.10.3.2.1) que ilustra o intervalo de predição

Figura 1.10.3.2.1: Banda de confiança do intervalo de predição.

$$ \mathbb{E}[ Y | X=x_{LI} ] = \widehat{y}_{0} - t_{(1-\alpha/2;n-2)} \sqrt{ QME\left( \dfrac{1}{n} + \dfrac{ ( x_{LI} - \overline{x} )^2 }{ S_{xx} } \right) } \quad (1.10.3.2.2)$$

$$\mathbb{E}[ Y | X=x_{LS} ] = \widehat{y}_{0} + t_{(1-\alpha/2;n-2)} \sqrt{ QME\left( \dfrac{1}{n} + \dfrac{ ( x_{LS} - \overline{x} )^2 }{ S_{xx} } \right) }\quad (1.10.3.2.3)$$

Primeiramente, traçamos uma linha paralela ao eixo $X$ na altura de $Y$ estimado em $\widehat{x_0}$, que denominaremos por $Y_0$. Projetamos linhas à partir das bandas de confiança, em seguida, traçamos uma reta perpendicular ao eixo $Y$ para obtermos os os valores de $x_{LI}$ e $x_{LS}$.

Igualando as equações (1.10.3.2.1) e (1.10.3.2.2), temos:

   $\widehat{\beta_0} + \widehat{\beta_1} \widehat{x_0} = \widehat{y}_{0} - t \sqrt{ QME\left( \dfrac{1}{n} + \dfrac{ ( x_{LI} - \overline{x} )^2 }{ S_{xx} } \right) }$

   $\widehat{\beta_0} + \widehat{\beta_1} \widehat{x_0} = \widehat{\beta_0} + \widehat{\beta_1}x_{LI} - t \sqrt{ QME\left( \dfrac{1}{n} + \dfrac{ ( x_{LI} - \overline{x} )^2 }{ S_{xx} } \right) },$ elevando ambos os lados ao quadrado,

   $( \widehat{\beta}_1 \widehat{x}_0 - \widehat{\beta}_1 x_{LI} )^2 = t^2 QME \left( \dfrac{1}{n} + \dfrac{(x_{LI} - \overline{x})^2}{S_{xx}} \right)$

    $\widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0^2 - 2\widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0 x_{LI} + \widehat{\beta}_1^2 x_{LI}^2 = \dfrac{t^2 QME}{n} + \dfrac{t^2 QME ( x_{LI}^2 - 2 x{inf} \overline{x} + \overline{x}^2 ) }{S_{xx} }$

   $\widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0^2 - 2\widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0 x_{LI} + \widehat{\beta}_1^2 x_{LI}^2 = \dfrac{t^2 QME}{n} + \dfrac{x_{LI}^2 t^2 QME}{S_{xx}} - \dfrac{ \overline{x}^2 t^2 QME }{S_{xx} }$

Colocando em evidência $x_{LI}^2$ e $x_{LI}$, temos,

    $$ x_{LI}^2 \underbrace{\left( \widehat{\beta}_1^2 - \dfrac{t^2 QME}{S_{xx}} \right)}_{a} + x_{LI} \underbrace{2\left( \dfrac{\overline{x} t^2 QME }{S_{xx}} - \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0 \right)}_{b} +\underbrace{\widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0^2 - \dfrac{t^2 QME}{n} - \dfrac{ \overline{x}^2 - t^2 QME }{S_{xx}}}_{c} = 0$$

(1.10.3.2.4)

Vale lembrar que (1.10.3.2.4) é uma equação do segundo grau do tipo $ a x^2 + b x + c = 0 $ (Bhaskara) com:

    $a = \widehat{\beta}_1^2 - \dfrac{t^2 QME}{S_{xx}}$

    $b = 2 \left( \dfrac{ \overline{x} t^2 QME }{S_{xx}} - \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0 \right)$

    $c = \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0^2 - \dfrac{t^2 QME}{n} - \dfrac{ \overline{x}^2 - t^2 QME }{S_{xx}}$

Assim, resolvendo a equação (1.10.3.2.4) em $x$ encontramos $x_{LS}$ e $x_{LI}$. Com isso, temos que

   $ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $

Resolvendo $\delta$, temos

   $ \Delta = b^2 - 4ac $

   $ \Delta = \left[ 2 \left( \dfrac{ \overline{x} t^2 QME }{S_{xx}} - \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0 \right) \right]^2 - 4 \left( \widehat{\beta}_1^2 - \dfrac{t^2 QME}{S_{xx}} \right) \left( \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0^2 - \dfrac{t^2 QME}{n} - \dfrac{ \overline{x}^2 - t^2 QME }{S_{xx}} \right) $

   $ \Delta = 4 \left[ \left( \dfrac{\overline{x}t^2 QME}{S_{xx}} \right)^2 -\dfrac{2 \overline{x} t^2 QME \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0 }{S_{xx} } + \widehat{\beta}_1^4 \widehat{x}_0^2 \right] $

          $- 4 \left[ \widehat{\beta}_1^4 \widehat{x}_0^2 - \dfrac{ \widehat{\beta}_1^2 t^2 QME }{n} -\dfrac{ \widehat{\beta}_1^2 \overline{x}^2 t^2 QME }{S_{xx}} - \dfrac{ \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0^2 t^2 QME }{S_{xx}} + \left( \dfrac{ t^2 QME}{ n S_{xx} } \right)^2 + \left( \dfrac{\overline{x}t^2 QME}{S_{xx}} \right)^2 \right] $

    $\Delta = 4 \left\lbrace -\dfrac{2 \overline{x} t^2 QME \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0 }{S_{xx} } + \dfrac{ \widehat{\beta}_1^2 t^2 QME }{n} + \dfrac{ \widehat{\beta}_1^2 \overline{x}^2 t^2 QME }{S_{xx}} + \dfrac{ \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0^2 t^2 QME }{S_{xx}} - \left( \dfrac{ t^2 QME}{ n S_{xx} } \right)^2 \right\rbrace $

    $ \Delta = 4 \left\lbrace \widehat{\beta}_1^2 t^2 QME \left( -\dfrac{ 2\overline{x} \widehat{x}_0 }{ S_{xx} } + \dfrac{1}{n} + \dfrac{ \overline{x}^2 }{ S_{xx} } + \dfrac{\widehat{x}_0^2}{ S_{xx} } - \dfrac{ t^2 QME }{ \widehat{\beta}_1^2 n S_{xx} } \right) \right\rbrace $

    $ \Delta = 4 \widehat{\beta}_1^2 t^2 QME \left( \dfrac{( \overline{x} - \widehat{x}_0)^2}{ S_{xx} } + \dfrac{1}{n} - \dfrac{t^2 QME}{ \widehat{\beta}_1^2 n S_{xx} } \right) $

Dessa maneira, temos

   $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ 

   $x = \dfrac{ -2\left( \dfrac{\overline{x} t^2 QME}{ S_{xx} } - \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0 \right) \pm \sqrt{ 4 \widehat{\beta}_1^2 t^2 \underbrace{ QME \left( \dfrac{( \overline{x} - \widehat{x}_0)^2}{ S_{xx} } + \dfrac{1}{n} - \dfrac{t^2 QME}{ \widehat{\beta}_1^2 n S_{xx} } \right)}_{ \delta* } } }{ 2 \left( \widehat{\beta}_1^2 - \dfrac{t^2 QME}{S_{xx}} \right) }$

   $x = \dfrac{ -\left( \dfrac{\overline{x} t^2 QME}{ S_{xx} } - \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0 \right) \pm \widehat{\beta}_1 t \sqrt{ \delta* } }{ \left( \widehat{\beta}_1^2 - \dfrac{t^2 QME}{S_{xx}} \right) }$

Somamos e subtraímos $\widehat{x}_0$, e obtemos

   $x = \widehat{x}_0 - \widehat{x}_0 + \dfrac{ -\dfrac{\overline{x} t^2 QME}{ S_{xx} } + \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0 \pm \widehat{\beta}_1 t \sqrt{ \delta* } }{ \widehat{\beta}_1^2 - \dfrac{t^2 QME}{S_{xx}} }$

    $x = \widehat{x}_0 + \dfrac{ -\widehat{x}_0 \widehat{\beta}_1^2 + \dfrac{ t^2 QME \widehat{x}_0 }{S_{xx}} - \dfrac{\overline{x} t^2 QME}{ S_{xx} } + \widehat{\beta}_1^2 \widehat{x}_0 \pm \widehat{\beta}_1 t \sqrt{ \delta* } }{ \widehat{\beta}_1^2 - \dfrac{t^2 QME}{S_{xx}} }$

    $x = \widehat{x}_0 + \dfrac{ t^2 QME \dfrac{ ( \widehat{x}_0 - \overline{x} ) }{S_{xx}} \pm \widehat{\beta}_1 t \sqrt{ \delta* } }{ \widehat{\beta}_1^2 - \dfrac{t^2 QME}{S_{xx}} }$

Multiplicamos e dividimos o segundo termo do lado direito da igualdade por $1 / \widehat{\beta}_1^2 $

 

   $x = \widehat{x}_0 + \dfrac{ \left( t^2 QME \dfrac{ ( \widehat{x}_0 - \overline{x} ) }{S_{xx}} \pm \widehat{\beta}_1 t \sqrt{ \delta* } \right) / \widehat{\beta}_1^2 }{ \left( \widehat{\beta}_1^2 - \dfrac{t^2 QME}{S_{xx}} \right) / \widehat{\beta}_1^2 }$

 

   $x = \widehat{x}_0 + \dfrac{ \dfrac{ t^2 QME( \widehat{x}_0 - \overline{x} ) }{ \widehat{\beta}_1^2 S_{xx}} \pm \dfrac{t}{\widehat{\beta}_1} \sqrt{ \delta* } }{ 1 - \dfrac{t^2 QME}{\widehat{\beta}_1^2 S_{xx}} } $

 

Substituímos g por $\dfrac{t^2 QME}{\widehat{\beta}_1^2 S_{xx} }$

 

    $x=\widehat{x}_0 + \dfrac{(\widehat{x}_0 - \overline{x} )g}{1-g} \pm \dfrac{t}{ \widehat{\beta}_1 (1-g) } \sqrt{ \delta* }, $

 

  $x=\widehat{x}_0 + \dfrac{(\widehat{x}_0 - \overline{x} )g}{1-g} \pm \dfrac{t}{ \widehat{\beta}_1 }\sqrt{\dfrac{ \delta*}{(1-g)^2} }$

 

  $x=\widehat{x}_0 + \dfrac{(\widehat{x}_0 - \overline{x} )g}{1-g} \pm \dfrac{t}{ \widehat{\beta}_1 }\sqrt{QME \left( \dfrac{ ( \widehat{x}_0 - \overline{x} )^2 }{ S_{xx}(1-g)^2 } + \dfrac{1}{n(1-g)} \right) }$

 

Vamos escrever  $h=\dfrac{(\widehat{x}_0 - \overline{x} )}{1-g}.$ Com isso temos

 

  $x=\widehat{x}_0 + g h \pm \dfrac{t}{ \widehat{\beta}_1 }\sqrt{QME \left( \dfrac{ h^2 }{ S_{xx} } + \dfrac{1}{n(1-g)} \right) }$ para $g\neq 1$

 

em que $ g = \dfrac{t^2 QME}{\widehat{\beta}_1^2 S_{xx} }. $ Quando g é zero para $x$ , temos os limites para $\widehat{x}_0.$ Com isso temos que

 

  $x=\widehat{x}_0 \pm \dfrac{t}{ \widehat{\beta}_1 }\sqrt{QME \left( \dfrac{ (x_0-\overline{x})^2 }{ S_{xx} } + \dfrac{1}{n} \right) },$ que são os limites do intervalo de confiança da resposta média dividido pelo parâmetro $\widehat{\beta}_1.$

 

 

Podemos encontrar dois tipos de problemas quando calculamos o intervalo de confiança por este método.

 

• $QME \left( \dfrac{ h^2 }{ S_{xx} } + \dfrac{1}{n(1-g)} \right)$ pode ser negativo. Quando isso acontece, não existe um intervalo de confiança real para $\widehat{x}_0$, pois as soluções das equações não são números reais e sim números complexos. A Figura (1.10.3.2.2) ilustra o que ocorre.

 

Figura 1.10.3.2.2: Caso em que as soluções de $x_{LI}$ e $x_{LS}$ são complexas. Assim, não existe um intervalo de confiança para $\widehat{x}_0$.

• É possível encontrar $x_{LI}$ e $x_{LS}$ ambas menores ou ambas maiores que $\widehat{x}_0$. Quando isso acontece, a incerteza calculada por este método não é válido. A Figura (1.10.3.2.3) ilustra o que ocorre nesse caso.

Figura 1.10.3.2.3: Caso em $x_{LI}$ e $x_{LS}$ são ambos menores que $\widehat{x}_0$

 

Portanto, a incerteza devido à curva de calibração devido ao método da projeção do intervalo de confiança da resposta média é dada por

 

$u(\widehat{x}_0) = \dfrac{1}{ \widehat{\beta}_1 }\sqrt{QME \left( \dfrac{ (\widehat{x}_0-\overline{x})^2 }{ S_{xx}} + \dfrac{1}{n} \right) }=\dfrac{1}{\widehat{\beta}_1}\sqrt{\text{Var}(\widehat{y}_0)}$

 

Exemplo 1.10.3.2.1:

 

Voltando ao exemplo de motivação da seção 1.10.1 - Modelo Estatístico para Curva de Calibração. Já temos calculado:

 

• $\overline{x} = 0,73 $
• $S_{xx} = 7,794$
• $S_{yy} = 1,73 \times 10^{-6}$
• $S_{xy} = 0,0036$
• $\widehat{\beta_1} = 0,00047$
• $\widehat{\beta_0} = -1,95 \times 10^{-5}$
• $QME = 3,98 \times 10^{-10}$

 

Tomamos o ponto $\widehat{x}_0=1.$ Logo, a incerteza devido à curva de calibração devido ao método da projeção do intervalo de confiança da resposta média é dada por

$$u(\widehat{x}_0) = \dfrac{1}{ \widehat{\beta}_1 }\sqrt{QME \left( \dfrac{ (\widehat{x}_0-\overline{x})^2 }{ S_{xx}} + \dfrac{1}{n} \right) }=\dfrac{1}{0,00047}\sqrt{3,98\times 10^{-10} \left( \dfrac{ (1-0,73)^2 }{ 7,794} + \dfrac{1}{15} \right) }=0,01168$$

A seguir apresentamos os resultados obtidos pelo software Action:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Na próxima seção, vamos descrever o método delta.