1.8 Modelo de Regressão sem Intercepto

Suponha que dispomos de $n$ pares de observações $(x_i, y_i),$ $i=1,\ldots,n.$ O modelo de regressão linear simples, sem intercepto, é definido por

$\begin{equation*}Y_i =\beta_1 x_i + \varepsilon_i, \quad i=1,\ldots, n.\end{equation*}$

Neste caso, a função de mínimos quadrados é

$L=\sum_{i=1}^n\varepsilon^2_i=\sum_{i=1}^n(Y_i-\beta_1x_i)^2,$

que derivando em relação a $\beta_1$ resulta em

$\dfrac{\partial L(\beta_1)}{\partial \beta_1}=-2\sum_{i=1}^n(Y_i-\beta_1 x_i)(-x_i).$

Substituindo $\beta_1$ por $\widehat\beta_1$ e igualando a zero, obtemos

$\sum_{i=1}^n(Y_i -\widehat{\beta}_1x_i)(x_i)=\sum_{i=1}^n x_iY_i -\widehat{\beta}_1\sum_{i=1}^n x_i^2=0,$

que resolvendo em relação a $\widehat{\beta}_1$ resulta em

$\widehat{\beta}_1 = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x_i Y_i}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}.$

Podemos mostrar que

$E(\widehat{\beta}_1)=\beta_1 \mbox{\ e\ que}$

$\mbox{Var}(\widehat{\beta}_1)=\dfrac{\sigma^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}.$

Sendo $\varepsilon_i \ensuremath{\stackrel{\mbox{\footnotesize iid}}{\sim}} N(0, \sigma^2),$ temos que

i) $\dfrac{\widehat{\beta}_1 - \beta_1}{\sqrt{\dfrac{\sigma^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}} \sim N(0, 1);$

ii) Um estimador não viciado para $\sigma^2$ é dado por

$\widehat{\sigma}^2 = \frac{SQE}{n - 1};$

iii) $\dfrac{(n-1)\widehat{\sigma}^2}{\sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2;$

iv) $T = \dfrac{\widehat{\beta}_1 - \beta_1}{\sqrt{\dfrac{\widehat{\sigma}^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}} \sim t_{(n-1)}.$

Um intervalo de $100(1-\alpha)\%$ de confiança para $\beta_1$ é dado por

$\left[\widehat{\beta}_1 - t_{\left(\dfrac{\alpha}{2}, n - 1\right)} \sqrt{\dfrac{\widehat{\sigma}^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}~~;~~\widehat{\beta}_1 + t_{\left(\dfrac{\alpha}{2}, n - 1\right)}\sqrt{\dfrac{\widehat{\sigma}^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}\right].$

Um intervalo de $100(1-\alpha)\%$ de confiança para a resposta média em $X=x_0$ é dado por

$\left[\widehat{\mu}_{Y\mid x_0}-t_{\left(\dfrac{\alpha}{2},n-1\right)}\sqrt{\dfrac{\widehat{\sigma}^2 x_0^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}~~;~~\widehat{\mu}_{Y\mid x_0} + t_{\left(\dfrac{\alpha}{2},n-1\right)} \sqrt{\dfrac{\widehat{\sigma}^2 x_0^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}\right],$

em que $\widehat{\mu}_{Y\mid x_0} = \widehat{\beta}_1x_0.$

Um intervalo de $100(1-\alpha)\%$ de confiança para a predição de $Y_h$ dado $X=x_h$ é

$\left[\widehat{Y}_{h}-t_{\left(\dfrac{\alpha}{2},n-1\right)}\sqrt{\widehat{\sigma}^2+\dfrac{\widehat{\sigma}^2 x_0}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}~~;~~\widehat{Y}_{h}+t_{\left(\dfrac{\alpha}{2},n-1\right)}\sqrt{\widehat{\sigma}^2+\dfrac{\widehat{\sigma}^2 x_0}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}\right],$

em que $\widehat{Y}_{h} = \widehat{\beta}_1 x_h.$

Exemplo 1.8.1

Voltando à "Motivação 1", em que queríamos determinar os valores de temperatura em $°C$ que otimizam a dureza do material, calculemos a estimativa de $\beta_1$ considerando o modelo sem intercepto.