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1.6 Modelo Heterocedástico

Considere o modelo de médias

$$ y_{i,j} = \mu_i + \varepsilon_{ij} $$

no qual $ \mu_i $ é a média do nível $ i $ do fator e $ \varepsilon_{ij} $ são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal com média 0 e variância $ \sigma^2_i $, para todo $ j=1, \cdots , n_i $ e $ i=1, \cdots , k $. Neste caso, não necessariamente temos que as variâncias sejam iguais. Da mesma forma que no modelo de variâncias iguais (homocedástico), os estimadores para os parâmetros do modelo são dados por

 

$$ \hat{\mu}_i = \bar{Y}_{i .} \quad \text{e} \quad \hat{\sigma}_i^2 = s_i^2 =\frac{\displaystyle\sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i .})^2}{n_i - 1}.$$

 

Além disso, sabemos que $ \hat{\mu}_i $ tem distribuição normal com média $ \mu_i $ e variância $ \sigma_i^2/n_i $ e são independentes, para todo $ i=1, \cdots , k $. Também sabemos que

 

$$\frac{(n_i -1)\hat{\sigma}_i^2}{\sigma_i^2}$$

tem distribuição qui-quadrada con $ n_i-1 $ graus de liberdade e são independentes, para todo $ i=1, \cdots , k $.