Início » ANOVA » 2. ANOVA - Dois Fatores

2.1 Modelos

Modelo para os dados

Para que possamos analisar os resultados do experimento, precisamos de um modelo que descreva os dados. Para facilitar a notação, apresentamos um modelo de dados balanceados (o número de réplicas (r) não depende do tratamento (ij)). Neste caso, tomamos:

$$Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\tau_{ij}+\varepsilon_{ijk}~~\left\{\begin{array}{cc}i=1,\ldots,a~~~\mbox{Fator A}\\j=1,\ldots, b ~~~\mbox{Fator B}\\k=1,\ldots,r~~~\mbox{Réplica}\end{array}\right.~~~~(2.1.1)$$

restrito a

$$\alpha_{.}=\sum_{i=1}^{a}\alpha_i=0~,~\beta_{.}=\sum_{j=1}^{b}\beta_j=0~~~(2.1.2)$$

$$\tau_{.j}=\sum_{i=1}^{a}\tau_{ij}=0~,~\tau_{i.}=\sum_{j=1}^{b}\tau_{ij}=0~~ (2.1.2)$$

Durante o desenvolvimento deste módulo utilizaremos a seguinte notação:

$$y_{i..} = \sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{.j.}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{ij.}=\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{...}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}$$

$$\overline{y}_{i..}=\frac{1}{b~r}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~\overline{y}_{.j.}=\frac{1}{a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~\overline{y}_{ij.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk},$$

$$\overline{y}_{...}=\frac{1}{b~a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}$$

Assumimos que os erros $ \varepsilon_{ijk} $ são independentes e têm distribuição normal com média 0 e variância $ \sigma^2 $.

Como os erros $ \varepsilon_{ijk} $ são independentes, obtemos que as observações $ Y_{ijk} $ também são independentes. Logo

$$\varepsilon_{ijk}\sim N(0;~\sigma^2)~~~\mbox{e}~~Y_{ijk}\sim N(\mu +\alpha_i+\beta_j+\tau_{ij};~\sigma^2).$$

 

Notação:

  • $ Y_{ijk} $ representa a k-ésima leitura no i-ésimo nível do fator A e j-ésimo nível do fator B;
  • $ \mu $ é a média geral dos dados;
  • $ \alpha_i $ é o efeito do nível $ i $ do fator A;
  • $ \beta_j $ é o efeito do nível $ j $ do fator B;
  • $ \tau_{ij} $ é o efeito da interação $ ij $ entre os fatores;
  • $ \varepsilon_{ijk} $ é o erro aleatório.

 

Em um experimento com dois fatores, temos diversos interesses. Em primeiro lugar, precisamos avaliar se existe interação entre os fatores. Como vimos anteriormente, o gráfico de interação nos apresenta evidências da interação. Aqui, vamos avaliar o efeito da interação através de um teste de hipóteses. Caso o efeito da interação não seja significativo, avaliamos os efeitos principais (individuais), também através de testes de hipóteses apropriados. Na tabela abaixo, apresentamos um resumo dos testes de hipóteses.

 

Objetivo

 Hipótese
efeito do fator A (A)$ \left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\alpha_{1}=...=\alpha_{a}=0\\H_{a}:\alpha_{i}\neq 0~(i=1,\ldots,a)\\\end{array}\right. $
efeito do fator B (B)$ \left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\beta_{1}=...=\beta_{b}=0\\H_{a}:\beta_{j}\neq 0~(j=1,\ldots,b)\\\end{array}\right. $
efeito da Interação($ A\times B $) (C)$ \left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\tau_{ij}=0~\mbox{para todos os valores de i e j}\\H_{a}:\tau_{ij}\neq 0\\\end{array}\right. $