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Consideremos o "Modelo 2.2" na forma matricial. Pelo Teorema de Gauss-Markov temos que o estimador de mínimos quadrados é não viciado e tem variância mínima entre todos os estimadores não viciados que são combinações lineares dos
. Assim,
1. Valor esperado (média) de :
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em que e
(matriz identidade).
2. Matriz de covariâncias de :
Para calcular a variância de vamos primeiramente destacar a definição de variância no caso matricial, ou seja, se
é um vetor de variáveis aleatórias, então a matriz de covariâncias de W é dado por
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que na forma matricial é escrita como
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Com isso, a matriz de covariâncias é
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Fazendo e também que
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3. Estimador não viciado para :
Consideremos a soma de quadrados dos resíduos dada por Anchor
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Desde que segue que
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Portanto,
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Veremos a SQE com mais detalhes em "Análise de Variância".
Teorema - Distribuição de forma quadrática: Se , então,
(Qui-quadrado não central) se, e somente se,
é idempotente, em que
Como assumimos que o vetor de erro , segue que
e então,
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Desta forma, utilizando o teorema obtemos que
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já que a matriz é idempotente. Como
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então
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Portanto, um estimador não viciado para é dado por
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4. Matriz de covariâncias estimada de :
em que é uma matriz
, sendo
o número de variáveis explicativas do modelo.
Sendo a diagonal da matriz
, isto é,
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podemos escrever a variância estimada dos como
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Calcular a matriz de covariâncias estimada considerando os dados transformados do "Exemplo 2.2.3".
A matriz neste caso é dada por
Temos também que
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Logo,
Podemos também utilizar a matriz , dada por
Neste caso, a variância estimada dos estimadores é
O desvio padrão dos estimadores é
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Usando o software Action temos os seguintes resultados:
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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
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