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2.2 - Medidas de dispersão

Dispersão é sinônimo de variação ou variabilidade. Para medir a dispersão são usadas mais frequentemente duas medidas: a amplitude e o desvio padrão.


Amplitude

A amplitude é definida como sendo a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Denotaremos a amplitude por R.

Exemplo 2.2.1: Considere o Exemplo 2.1.2. Qual a amplitude deste conjunto de dados?

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo


Como o valor máximo do conjunto é 77 e o valor mínimo é 60, temos que a amplitude é:

R = 77 - 60 = 17.

Utilizando o Action, temos o seguinte resultado

Informação Valor
Amplitude 17

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Para definirmos desvio padrão é necessário definir variância. A notação mais comumente usada é:

  • s2: variância amostral.
  • σ2: variância populacional.
  • s : desvio padrão amostral.
  • σ : desvio padrão populacional.

 

Variância populacional

A variância de uma população {x1,...,xN} de N elementos é a medida de dispersão definida como a média do quadrado do desvios dos elementos em relação à média populacional μ. Ou seja, a variância populacional é dada por:

$ \displaystyle\sigma^2=\sum_{i=1}^N\frac{(x_i-\mu)^2}{N} $


Variância amostral

A variância de uma amostra {x1,...,xn} de n elementos é definida como a soma dos quadrados dos desvios de elementos em relação à sua média $ \overline{x} $ dividido por (n-1). Ou seja, a variância amostral é dada por:

$ \displaystyle s^2=\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-\overline{x})^2}{n-1} $

Ao utilizarmos a média amostral como estimador de m para calcularmos a variância amostral, perdemos 1 grau de liberdade em relação à variância populacional.


Desvio padrão populacional

O desvio padrão populacional de um conjunto de dados é igual à raiz quadrada da variância populacional. Desta forma, o desvio padrão populacional é dado por:

$ \displaystyle\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^N\frac{(x_i-\mu)^2}{N}} $

 

Desvio padrão amostral

O desvio padrão amostral de um conjunto de dados é igual à raiz quadrada da variância amostral. Desta forma, o desvio padrão amostral é dado por:

$ \displaystyle s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-\overline{x})^2}{n-1}} $


Exemplo 2.2.2: Considere novamente os dados do Exemplo 2.1.2. Calcule o desvio padrão dos dados.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo


Para calcularmos o desvio padrão devemos primeiramente calcular a média $ \overline{x} $, isto é:

$ \displaystyle\overline{x}=\frac{65+72+70+77+60+67+69+68}{8}=68,5 $

Agora vamos subtrair $ \overline{x} $ de cada valor, elevar os resultados ao quadrado e somá-los. Então dividimos o total dos quadrados pelo número de valores menos 1, ou seja, por (n-1) e extraímos a raiz quadrada:

$ (x-\overline{x}) $
 $ (x-\overline{x})^2 $
65-68,5 = -3,5 (-3,5)2 = 12,25
72-68,5 = 3,5 (3,5)2 = 12,25
70-68,5 = 1,5 (1,5)2 = 2,25
77-68,5 = 8,5

(8,5)2 = 72,25
60-68,5 = -8,5 (-8,5)2 = 72,25
67-68,5 = -1,5 (-1,5)2 = 2,25
69-68,5 = 0,5 (0,5)2 = 0,25
68-68,5 = -0,5 (-0,5)2 = 0,25
  Total = 174,00

$ \displaystyle\frac{174}{7}=24,85\Rightarrow s=\sqrt{24,85}\Rightarrow s=4,9849 $

Portanto, o desvio padrão é 4,9.

Utilizando o Action, temos o seguinte resultado

Informação Valor
Desvio-padrão 4,98569

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.