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2.2 - Tendência

 

Definições

Tendência é a diferença entre a média das medidas de uma grandeza e o valor de referência para a grandeza medida, realizadas por um avaliador com o  mesmo equipamento e método 

Diretrizes para estudo de tendência:

  • Selecionar um item da produção cuja medida caia na faixa central da variação do processo;
  • Determinar o valor de referência do item escolhido em relação a um padrão rastreável. Aqui, podemos utilizar laboratórios externos, como os laboratórios acreditados no INMETRO (VR);
  • Um avaliador, treinado no uso do sistema de medição que está sendo analisado, mede o item 10 vezes ou mais (o MSA sugere 12);
  • Calcular a média das medições (x) e a tendência;

\[\hbox{Tendência} = \overline{X}-VR\]

Exemplo 2.2.1:

Vamos avaliar a tendência de um sistema de medição para medir a altura de um "MP3 Player", com tolerância de 0,7 mm. Esta altura é medida com um altímetro. Um “MP3 Player” foi selecionado (próximo ao valor nominal) e, após 10 medições realizadas por uma máquina de medição por coordenadas, foi determinado o valor de referência VR = 89,73 mm. A seguir, o mesmo “MP3 Player” foi medido 12 vezes com o sistema de medição em análise. Os dados são:

Amostra Medidas
1 89,77
2 89,79
3 89,77
4 89,78
5 89,74
6 89,72
7 89,72
8 89,75
9 89,74
10 89,77
11 89,78
12 89,74
VR 89,73

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

A partir destes dados temos que:
a) Média = 89,7558 mm
b) Tendência = (média) - (valor de referência) = 89,7558 - 89,73 = + 0,0258 mm
Devemos interpretar que em média, os valores medidos por esse avaliador com esse instrumento e esse método são superiores ao valor de referência em 0,0258 mm.

Para realizarmos a análise da tendência, precisamos validar a variabilidade associada com a repetitividade (o desvio padrão dos dados), para isto calculamos

$$ \% VE = \frac{s}{VT} * 100$$

no qual s é o desvio padrão dos dados e a variação total VT é baseada na variação do processo (preferível) ou na tolerância do processo dividida por 6. Se a %VE for alta (ver tabela acima), então o sistema de medição pode ser inadequado. Desde que a análise de tendência admite que a repetitividade é aceitável, continuar com a análise pode nos levar a um resultado contraditório ou errado, isto é, a análise pode indicar uma tendência estatisticamente nula, enquanto que seu valor absoluto pode ultrapassar o que é aceitável para o equipamento. Neste ponto, o MSA quarta edição sugere como critério para analisar a %VE o mesmo utilizado para análise do RR.

 

Critério para avaliar a tendência

a) Intervalo de Confiança
A tendência é aceitável ao nível de significância a se o zero pertencer ao intervalo de confiança (1 - $ \alpha $) * 100% com limites:

\[LI = \hbox{Tendência}-t_{(n-1,1-\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}},\]

\[LS = \hbox{Tendência}+t_{(n-1,1-\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}.\]

no qual $ t_{(n-1,1-\frac{\alpha}{2})} $ corresponde ao quantil $ 1-\frac{\alpha}{2} $ da distribuição t-Student. Aqui, utilizamos um nível de significância $ (\alpha) $ de 5 %.

 

b) Teste de Hipóteses
Equivalentemente, podemos realizar o seguinte teste de hipóteses para avaliar a tendência:

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \hbox{Tendência} = 0,\\ H_1: \hbox{Tendência}\neq 0.\end{array}\right.\]

Para isso, note que a estatística t dada por:

\[t=\frac{\hbox{Tendência}}{s/\sqrt{n}}\sim t_{n-1},\]

sendo s o desvio padrão das medidas, n o número de medidas e tn-1 a distribuição t-Student com n-1 graus de liberdade.
Portanto, obtemos a seguinte regra de decisão para um nível de significância α

  • Se |t| > t(n-1;1-$ \alpha $/2) rejeitamos H0, ou seja, a tendência é significativa do ponto de vista estatístico;

  • Se |t| ≤ t(n-1;1-$ \alpha $/2) não rejeitamos H0, ou seja, a tendência não é significativa do ponto de vista estatístico.

A Figura 2.2.1 ilustra a região crítica do teste, isto é, os valores de t para os quais rejeitamos H0.


Figura 2.2.1: Região de rejeição.

c) P-valor

O P-valor representa o menor nível de significância para o qual rejeitamos $ H_0 $. Logo, para um nível de signicância = 0,05 adotado, rejeitamos $ H_0 $ se o P-valor obtido for menor que 0,05, enquanto que não reijetamos $ H_0 $ se o P-valor for maior que 0,05, esse fato observamos na (Figura 2.2.2). Para o teste t, o P-valor é calculado na forma

p - valor = 2 Χ P(tn -1 > |t|)

Com isso, rejeitamos H0 quando o p-valor for menor que o nível de significância $ \alpha $ proposto (usualmente 0,05), caso contrário (p-valor > $ \alpha $) não rejeitamos H0.

Figura 2.2.2: P-valor.

Exemplo 2.2.2

Considerando os dados do Exemplo 2.2.1 e um valor de $ \alpha $ igual a 0,05, temos que:
n = 12
s = 0,02392
t(n-1;1 - $ \alpha $/2) = t(11;0,975) = 2,201.

Neste exemplo, vamos utilizar a tolerância do processo para determinar a variação total (VT). Ao dividirmos a tolerância por 6, obtemos que

\[VT = \frac{0,7}{6}=0,117.\]

Como s = 0,02392, temos que a %VE do processo é dada por

\[\%VE=100\frac{0,02392}{0,117}=20,05%.\]

Desde que a %VE é baixa, temos uma variabilidade aceitável.

Com isso, o intervalo de confiança com 95% de confiança para a tendência é obtido atráves dos limites inferior (LI) e superior (LS):

\[LI = \hbox{Tendência}-t_{(n-1,1-\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}=0,0258-(2,201)\frac{0,02392}{\sqrt{12}}=0,0106,\]

\[LS = \hbox{Tendência}+t_{(n-1,1-\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}=0,0258+(2,201)\frac{0,02392}{\sqrt{12}}=0,041.\]

 

Conclusão: Como zero não faz parte do intervalo, a tendência encontrada (0,0258 mm) é significativa ao nível 5%.

Equivalentemente, podemos realizar o teste para a hipótese H0 : Tendência = 0. Para testar esta hipótese, tomamos

\[t=\frac{\hbox{Tendência}}{s/\sqrt{n}}=\frac{0,0258}{0,02392}=3,741.\]

Como t = 3,741 > t(n-1;1-$ \alpha $/2) = 2,201, rejeitamos a hipótese H0, ou seja, a tendência é diferente de zero com nível de confiança de 95%. A hipótese H0 também pode ser avaliada pelo p-valor, que é calculado como:

p-valor = 2 X P(tn-1 > |t|) = 2 X(1 - P(t11 > 3,741)) = 0,00325.

Como o p-valor é menor que o $ \alpha $ adotado (0,05), rejeitamos H0 ao nível de significância de 5%.

Interpretação dos resultados: Como sempre, devemos conhecer a aplicação do sistema de medição para realizarmos uma boa análise crítica. Neste caso, temos uma tendência de 0,0258 mm com limite superior de 0,041mm (intervalo de confiança para a tendência). O equipamento utilizado para medição é um altímetro digital de resolução de 0,01mm. Este equipamento apresenta incerteza de medição em torno de 0,03mm com exatidão (especificação do fabricante) também em torno de 3 centéssimos de milímetro. Observe que a exatidão proposta pelo fabricante está acima da tendência encontrada e próxima do limite superior (0,041 mm).  Além disso, temos uma tolerância para a peça de 0,7 mm. Obviamente, temos uma oportunidade de melhoria, pois o zero está fora do intervalo de confiança. Porém, a necessidade de um plano de ação depende da necessidade de medidas mais ou menos precisas, ou seja, depende da aplicação do sistema de medição. 

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo.



 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Análises da tendência

Se a tendência for relativamente grande, procure por estas possíveis causas:

  1. Erro na medida da peça padrão;
  2. Componentes gastos;
  3. Dispositivo de medição feito para dimensão errada;
  4. Dispositivo de medição medindo característica errada;
  5. Dispositivo de medição calibrado inadequadamente;
  6. Dispositivo de medição utilizado de maneira imprópria pelo avaliador.

Exemplo 2.2.3: Um engenheiro está avaliando um novo sitema de medição para monitorar um processo. Uma análise do sistema de medição indicou que não deve haver preocupação com a linearidade, pois a faixa de interesse é pequena. Uma única peça foi escolhida de tal forma que esteja próxima ao valor nominal dos processos. A peça foi medida por um sistema de medição sofisticado para determinar seu valor de referência (reference value = 6). A peça foi então medida 15 vezes por um operador  e o valor da variabilidade total do processo é de 2,5, este valor será utilizado para validar a repetitividade do sistema de medição. Os valores são dados na tabela abaixo.

Trials Measurement Tendência
1 5,8 -0,2
2 5,7 -0,3
3 5,9 -0,1
4 5,9 -0,1
5 6,0 0,0
6 6,1 0,1
7 6,0 0,0
8 6,1 0,1
9 6,4 0,4
10 6,3 0,3
11 6,0 0,0
12 6,1 0,1
13 6,2 0,2
14 5,6 -0,4
15 6,0 0,0

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

n = 15
s = 0,212

$$t_{(n-1; 1-\frac{\alpha}{2})}=t_{14;0,975}=2,144$$

\[VT =2,5.\]

Como s = 0,212, temos que a %VE do processo é dada por

\[\%VE=100\frac{0,212}{2,5}=8,48%.\]

Desde que a %VE é baixa, temos uma variabilidade aceitável.

Com isso, o intervalo de confiança com 95% de confiança para a tendência é obtido atráves dos limites inferior (LI) e superior (LS):

\[LI = \hbox{Tendência}-t_{(n-1,1-\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}=0,006667-(2,144)\frac{0,212}{\sqrt{15}}=-0,11075,\]

\[LS = \hbox{Tendência}+t_{(n-1,1-\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}=0,006667+(2,144)\frac{0,212}{\sqrt{15}}=0,124079.\]

 

Conclusão: Como zero faz parte do intervalo, a tendência encontrada (0,006667 mm) não é significativa ao nível 5%.

Equivalentemente, podemos realizar o teste de hipóteses para H0 : Tendência = 0. Para testar esta hipótese, tomamos

\[t=\frac{\hbox{Tendência}}{s/\sqrt{n}}=\frac{0,006667}{0,0547}=0,12178.\]

Como $ t= 0,12178\textless t_{(n-1;1-\frac{\alpha}{2})}=2,144, $ não rejeitamos a hipótese H0, ou seja, a tendência é desprezível ao nível de confiança de 95%. A hipótese H0 também pode ser avaliada pelo p-valor, que é calculado como:

p-valor = 2 X P(tn-1 > |t|) = 2 X(1 - P(t14 > 0,12178)) = 0,9048.

Como o p-valor é maior que o $ \alpha $ adotado (0,05), não rejeitamos H0 ao nível de significância de 5%.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo.



Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

  

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 


Exemplo 2.2.4

Uma medida dimensional é controlada com um sistema de medição utilizando um micrômetro de resolução 0,002 mm. A especificação desta característica dimensional é 13,000 $ {\pm} $ 0,020 mm. O avaliador quer saber se o sistema de medição apresenta tendência. Para isto, ele escolheu uma peça cuja medida é próxima ao valor nominal (13,000 mm), com a peça sendo medida através de um sistema de medição com um banco micrométrico de resolução de 0,0005 mm. Foram realizadas várias medidas da peça com o banco micrométrico obtendo uma média de 13,001 mm. A seguir, fazemos 12 leituras da mesma peça com o sistema de medição utilizando o micrômetro.

Leituras
13,002
13,002
13,004
13,002
13,004
13,002
13,004
13,002
13,000
13,000
13,000
13,002

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo.




Interpretação dos Resultados: Desde que o zero está fora do intervalo de confiança temos uma tendência significativa (de 0,001mm, com limite superior de 0,00194 mm) ao nível de confiança de 95%. O equipamento utilizado no sistema de medição é um micrômetro de resolução de 0,002mm com incerteza de medição em torno de 0,003 mm. Observe que o equipamento atende ao requisito do MSA de boa discriminação, pois ao dividirmos a tolerância (0,04 mm) por 10 obtemos como erro máximo permissível 0,004 mm, tanto a resolução quanto a incerteza estão abaixo de 0,004mm.  Nesta situação, no qual o limite superior para a tendência está abaixo da resolução do instrumento e o instrumento apresenta discriminação adequada, concluímos que a tendência detectada é desprezível. 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

   

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