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A seguir,vamos desenvolver um teste $ F $ para avaliarmos o efeito da interação e os efeitos principais, conforme tabela abaixo:

Objetivo

Hipótese
efeito do fator A (A)$ \left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\alpha_{1}=...=\alpha_{a}=0\\H_{a}:\alpha_{i}\neq 0~(i=1,\ldots,a)\\\end{array}\right. $
efeito do fator B (B)$ \left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\beta_{1}=...=\beta_{b}=0\\H_{a}:\beta_{j}\neq 0~(j=1,\ldots,b)\\\end{array}\right. $
efeito da Interação($ A\times B $) (C)$ \left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\tau_{ij}=0~\mbox{para todos os valores de i e j}\\H_{a}:\tau_{ij}\neq 0\\\end{array}\right. $

Sabemos que a soma de quadrados total é decomposta  na forma $ SQ_T = SQ_A + SQ_B + SQ_{AB} + SQ_E. $

Assim, através do teorema de Cochran, garantimos, sob $ \mbox{H}_0 $, a independência das somas de quadrados e

$$\cfrac{SQ_A}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a - 1)}~~~~~\mbox{e}~~~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2 } \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))},$$

Desta forma, sob $ \mbox{H}_0 $ (hipóteses A) a estatística

$$F_0=\cfrac{\displaystyle\frac{SQ_A}{(\sigma^2)~(a-1)}}{\cfrac{SQ_E}{\sigma^2~a~b~(r-1)}}~~=~~\cfrac{QM_A}{QM_E}~~\sim~~F(a-1;~a~b~(r-1)),$$

isto é, $ \mbox{F}_0 $ tem distribuição F-Snedecor com (a-1) graus de liberdade no numerador e [ab(r-1)] graus de liberdade no denominador.

Para determinarmos a estatística do teste  para as hipóteses B, obtemos do teorema de Cochran que, sob $ \mbox{H}_0 $

$$\cfrac{SQ_B}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(b - 1)}~~~~~\mbox{e}~~~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))}~,$$

são independentes. Assim,  concluímos que a estatística (sob $ \mbox{H}_0 $)

$$F_0 =\cfrac{\displaystyle\cfrac{SQ_B}{(\sigma^2)~(b-1)}}{\cfrac{SQ_E}{\sigma^2~(a~b~(r-1))}}~~=~~\cfrac{QM_B}{QM_E}~~\sim~~F(b - 1;a~b~(r - 1)),$$

ou seja, $ \mbox{F}_0 $ tem distribuição de F-Snedecor com (b-1) graus de liberdade no numerador e [a b (r - 1)] graus de liberdade no denominador.

Para determinarmos a estatística do teste  para as hipóteses C, obtemos do teorema de Cochran que, sob $ \mbox{H}_0 $

 

$$\cfrac{SQ_{AB}}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a - 1)(b - 1)}~~~~~\mbox{e também,}~~~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))}~~,$$

são independentes. Assim, sob $ \mbox{H}_0 $ temos que a estatística
      

$$F_0=\cfrac{\displaystyle\cfrac{SQ_{AB}}{(\sigma^2)~(a-1)(b-1)}}{\cfrac{SQ_E}{(\sigma^2 )~(a~b~(r-1)))}}~~=~~\cfrac{QM_{AB}}{QM_E}~~\sim~F((a-1)(b-1);(ab(r-1)))$$

tem distribuição de F-Snedecor com (a - 1)(b - 1) graus de liberdade no numerador e [a b (r - 1)] graus de liberdade no denominador.

A região crítica (RC) do teste F é dada por $ RC=\{F~\in~\Re^+ ~\mid~F \textgreater F_{1-\alpha}\} $.

O valor crítico $ F_{1-\alpha} $ corresponde ao quantil $ (1-\alpha)100\% $ da distribuição F-Snedecor com os respectivos graus de liberdade do numerador e do denominador e o nível de significância $ \alpha $. A Figura 2.2.1 mostra a região crítica do teste.


Figura 2.3.1: Região crítica do teste F.

 

O teste estatístico para as hipóteses (A, B, C) propostas, está resumido na tabela abaixo.

FV Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrados Médios F P-Valor
Fator A $ a -1 $ $ SQ_A $ $ QM_A $ $ F_{A}=\cfrac{QM_A}{QM_E} $ $ P(F\textgreater F_A) $
Fator B $ b -1 $ $ SQ_B $ $ QM_B $ $ F_{B}=\cfrac{QM_B}{QM_E} $ $ P(F\textgreater F_B) $
Interação ($ A\times B $) $ (a -1)(b -1) $ $ SQ_{AB} $ $ QM_{AB} $ $ F_{AB}=\cfrac{QM_{AB}}{QM_E} $ $ P(F\textgreater F_{AB}) $
Erro $ a~b~(r -1) $ $ SQ_E $ $ QM_E $   
Total $ a~b~r - 1 $ $ SQ_T $    

Tabela 2.3.3: Tabela de Análise de Variância (ANOVA).

 

Exemplo 2.3.1

Faremos um estudo completo para os dados do Exemplo 2.1, que estão repetidos na Tabela 2.3.3.

Tipo de Caixa Redutora
Tipo de Eixo
Rolado Cortado Importado
Nacional 42,1 42 40,3 38,2 37,4 37 40,9 40,7 39,4
38,9 38,9 43,7 42,3 41,3 42,1 42 41,4 41,3
41 40,1 40,3 40,5 41,3 40,4 40,6 41,3 41,6
Importado 39,6 40,2 48,4 41,3 46,8 40,3 39,6 36,9 39,9
40,9 41 41 40,5 39,9 39,3 38,1 38,1 36,2
39,9 41 42,7 41,3 40,1 41,6 36,7 36,7 36,7

Tabela 2.3.3: Ruído (dB) do limpador de pára-brisa.  

 clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para os dados do exemplo, temos:

$$y_{11.}=42,1+42+40,3+38,9+38,9+43,7+41+40,1+40,3=367,3,\quad\mbox{e}$$

$$\overline{y}_{11.}=\cfrac{367,3}{9}=40,81, \quad \mbox{e}$$

$$\sqrt{s^2_{11}}=\sqrt{\cfrac{1}{8}[(42,1-40,81)^2+(42-40,81)^2+\ldots+(40,1-40,81)^2+(40,3-40,81)^2]}$$

$$=\sqrt{\cfrac{19,79}{8}} = 1,5728.$$

Tipo de Caixa Redutora Tipo de Eixo Média
Rolado Cortado Importado
Nacional

$ y_{11.}=367,30 $

$ \overline{y}_{11.}=40,81 $

$ \sqrt{s^2_{11}}=1,57 $

$ y_{12.}=360,50 $

$ \overline{y}_{12.}=40,06 $

$ \sqrt{s^2_{12}}=2,01 $

$ y_{13.}=369,20 $

$ \overline{y}_{13.}=41,02 $

$ \sqrt{s^2_{13}}=0,75 $

$ y_{1..}=1097 $

$ \overline{y}_{1..}=40,63 $

Importado

$ y_{21.}=374,70 $

$ \overline{y}_{21.}=41,63 $

$ \sqrt{s^2_{21}}=2,69 $

$ y_{22.}=371,10 $

$ \overline{y}_{22.}=41,23 $

$ \sqrt{s^2_{22}}=2,22 $

$ y_{23.}=339,30 $

$ \overline{y}_{23.}=37,70 $

$ \sqrt{s^2_{23}}=1,32 $

$ y_{2..}=1085,10 $

 $ \overline{y}_{2..}=40,19 $

Média

$ y_{.1.}=742 $

$ \overline{y}_{.1.}=41,22 $

$ y_{.2.}=731,60 $

$ \overline{y}_{.2.}=40,64 $

$ y_{.3.}=708,50 $

$ \overline{y}_{.3.}=39,36 $

$ y_{...}=2182,10 $

$ \overline{y}_{...}=40,41 $

Tabela 2.3.4: Ruído (dB) do limpador de pára-brisa.

 

Na soma de quadrados, que segue, A representa o fator Tipo de Caixa Redutora e B o fator Tipo de Eixo.

$$SQ_A=3*9\left((40,63-40,41)^2+(40,19-40,41)^2\right)$$

$$=2,6224$$

$$SQ_B=2*9 \left((41,22-40,41)^2+(40,64-40,41)^2 + (39,36 - 40,41)^2\right)$$

$$=32,6670$$

$$SQ_E=(42,1-40,81)^2+(42-40,81)^2+\ldots+(37,2-37,70)^2+(36,7-37,70)^2$$

$$=167,8067$$

$$SQ_T=(42,1-40,41)^2+(42-40,41)^2+\ldots+(37,2-40,41)^2+(36,7-40,41)^2$$

$$=259,4254$$

$$SQ_{AB}=259,43-2,62-32,67-167,81$$

$$=56,3293$$

Os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são:

Efeito Grau de Liberdade
Fator A 1
Fator B 2
Interação $ A \times B $ 2
Erro 48
Total 53

Os quadrados médios (QM) são:

$$QM_A=\cfrac{2,62224}{1}=2,62224$$

$$QM_B=\crac{32,6670}{2}=16,3335$$

$$QM_{AB}=\cfrac{56,3293}{2}=28,1646$$

$$QM_E=\cfrac{167,8067}{48}=3,4960$$

FV Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrados Médios F P-valor
Eixo (B) 2 32,6670 16,3335 $ \cfrac{16,3335}{3,4960}=4,6721 $ 0,0140
Caixa Redutora (A) 1 2,6224 2,6224 $ \cfrac{2,6224}{3,4960}=0,7501 $ 0,3907
Interação ($ A \times B $) 2 56,3629 28,1646 $ \cfrac{28,1646}{3,4960}=8,0563 $ 0,0010
Resíduo 48 167,8067 3,4960    
Total 53 259,4254      

Tabela 2.3.5:Tabela de Análise de Variância (ANOVA).

 

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

 

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 2.3.2

Faremos um estudo completo para os dados do Exemplo 2.4

 clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para os dados do exemplo, temos:

Na soma de quadrados, que segue, A representa o fator Ferramenta e B o fator Ângulo.

$$SQ_A=15,8404$$

$$SQ_B=0,0059$$

$$SQ_E=3,547$$

$$SQ_{AB}=0,00037$$

$$SQ_T=19,3936$$

Os quadrados médios (QM) são:

$$QM_A=\cfrac{15,84}{1}=15,84$$

$$QM_B=\cfrac{0,0059}{1}=0,0059$$

$$QM_{AB}=\cfrac{0,00037}{1}=0,00037$$

$$QM_E=\cfrac{3,547}{96}=0,0369$$


FV GL SQ QM F P-valor
Ferramenta (A) 1 15,84 15,84

$ \cfrac{15,8404}{0,037}=428,73 $

0
Ângulo (B) 1 0,0059 0,0059 $ \cfrac{0,0059}{0,037}=0,16 $ 0,6901
Interação ($ A \times B $) 1 0,00036 0,00036 $ \cfrac{0,00036}{0,037}=0,01 $ 0,9206
Resíduo 96 3,547 0,037    
Total 99 19,3936      

Tabela 2.3.6:Tabela de Análise de Variância (ANOVA).

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.