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2.3 - Outras estatísticas descritivas

Uma análise das estatísticas descritivas da amostra é fundamental para resumirmos algumas informações sobre a população. Estas informações são utilizadas para tomada de decisão e formação de modelos estatísticos paramétricos. Definiremos como:

  • Mínimo: menor elemento da amostra;
  • Máximo: maior elemento da amostra;
  • Quartis (Q1, Q2 e Q3): São valores dados a partir do conjunto de observações ordenado em ordem crescente, que dividem a distribuição em quatro partes iguais. O primeiro quartil, Q1, é o número que deixa 25% das observações abaixo e 75% acima, enquanto que o terceiro quartil, Q3, deixa 75% das observações abaixo e 25% acima. Já Q2 é a mediana, deixa 50% das observações abaixo e 50% das observações acima.

Seja n o número total de elementos da amostra e calcule j(n+1)/4, para j=1,2 e 3. Desta forma Qj será um elemento entre Xk e Xk+1, onde k é o maior inteiro menor que j(n+1)/4 e será calculado da seguinte forma

\[Q_j=X_k+\left(\frac{j(n+1)}{4}-k\right)(X_{k+1}-X_k).\]

Exemplo 2.3.1: Considere uma amostra de 6 elementos com os seguintes valores: 7,1; 7,4; 7,5; 7,7; 7,8; 7,9.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Deste modo temos que (n+1)/4 = 7/4 = 1,75 e com isso k = 1, logo

\[Q_1=X_1+\left(\frac{n+1}{4}-k\right)(X_{k+1}-X_k)=7,1+(1,75-1)(7,4-7,1)=7,1+0,75(0,3)=7,325.\]

Também temos que 2(n+1)/4 = 14/4 = 3,5, com isso k = 3, logo

\[Q_2=X_3+\left(\frac{2(n+1)}{4}-k\right)(X_{k+1}-X_k)=7,5+(3,5-3)(7,7-7,5)=7,5+0,5(0,2)=7,6.\]

E, temos que 3(n+1)/4= 21/4 = 5,25, com isso k = 5, logo

\[Q_3=X_5+\left(\frac{3(n+1)}{4}-k\right)(X_{k+1}-X_k)=7,8+(5,25-5)(7,9-7,8)=7,8+0,25(0,1)=7,825.\]

Podemos utilizar o Action para o cálculo dos quartis. Os resultados são dados abaixo

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
  • Tri-média: Escolhemos um valor n entre 5 e 25. Então, removemos os n% maiores valores e os n% menores valores, arredondados para o maior inteiro, e então calculamos a média dos valores restantes.
  • Assimetria: A assimetria permite distinguir as distribuições assimétricas. Um valor negativo indica que a cauda do lado esquerdo da função densidade de probabilidade é maior que a do lado direito. Um valor positivo para a assimetria, indica que a cauda do lado direito é maior que a do lado esquerdo. Um valor nulo indica que os valores são distribuido de maneira relativamente igual em ambos os lados da média, mas não implica necessariamente, uma distribuição simétrica.

 

A fórmula da assimetria é dada por

$ \displaystyle b_1=\frac{1}{n}\sum\left[\frac{x_i-\overline{x}}{s}\right]^3 $

  • Curtose: É uma medida de dispersão que caracteriza o "achatamento" da curva da função de distribuição. Um valor positivo costuma indicar um pico mais agudo, um corpo mais fino e uma cauda mais gorda que a distribuição normal. Um valor negativo indica um pico mais tênue, um corpo mais grosso e uma cauda mais fina que a distribuição normal. Para ilustrar a curtose, temos os gráficos a seguir, que representam uma curtose positiva (caudas mais alongadas) e curtose negativa (caudas mais curtas), respectivamente.

 

A fórmula da curtose é dada por

$ \displaystyle b_2=\frac{1}{n}\sum\left[\frac{x_i-\overline{x}}{s}\right]^4-3 $

Exemplo 2.3.2: Suponha que uma amostra dos comprimentos de 11 rolos de fio de aço cujos valores foram 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68, 66, 65, 71, 69.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo


Os dados ordenados de forma crescente são: 60, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 77. Então temos que:

Mínimo = 60.

Máximo = 77.

Para calcular a Tri-média retiramos o maior e o menor valor do conjunto de dados e calculamos a média dos 9 restantes, então:

  • Tri-média = $ \displaystyle \frac{65+66+\ldots+72}{9}=68,56 $ 
  • Posição do Q1 = $ \displaystyle\frac{11+1}{4}=3 \Rightarrow Q_1=66 $ 
  • Posição do Q3 = $ \displaystyle 3\times\left(\frac{11+1}{4}\right)=9 \Rightarrow Q_3=71 $
  • Assimetria = $ \displaystyle \frac{1}{11}\left(\frac{(60-68,55)^3+\ldots+(77-68,55)^3}{4,32^3}\right)=-0,028 $
  • Curtose = $ \displaystyle \frac{1}{11}\left(\frac{(60-68,55)^4+\ldots+(77-68,55)^4}{4,32^4}\right)-3=-0,18 $.

Utilizando o Action, obtemos os seguinte resultados para os valores de mínimo, máximo, posição dos quartis, assimetria e curtose.

Informação Valor
Mínimo 60
1º Quartil 66
3º Quartil 71
Máximo 77
Assimetria -0,028
Curtose -0,18

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.