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2.3 - Tendência e Linearidade

A linearidade mede a variação da tendência para diferentes valores de referência na faixa de interesse. A linearidade é avaliada via a inclinação da reta formada pelos diferentes valores de referência em relação a respectiva tendência. Quanto menos inclinada a reta, melhor será a qualidade do sistema de medição.



Diretrizes

Diretrizes para o estudo de tendência e linearidade para sistema não destrutivo:

  • Selecionar uma amostra de peças (no mínimo 5) cujas medidas se distribuam ao longo da faixa de interesse;
  • Determinar os valores de referência das peças. Mais uma vez podemos utilizar laboratórios acreditados no INMETRO ou laboratório interno;
  • Avaliador que utiliza o sistema de medição deve medir cada uma das peças no mínimo 10 vezes (o MSA sugere 12), em seqüência aleatória;
  • Determinar a tendência para cada medição (Tendência = Resultado da medição - Valor de Referência);
  • Representar graficamente a (tendência) x ( valor de referência);

 

Avaliação

Para avaliarmos a tendência e linearidade, vamos tomar o ajuste da tendência em relação ao valor de referência:

Tendência = a + b*(valor de referência) + Erro de ajuste

  • Coeficiente de Determinação (R2): grau de ajuste da reta;
  • Intercepto (a);
  • Inclinação (b);

Apresentamos algumas das métricas utilizadas na quarta edição do MSA:

  • Linearidade = |b|
  • %Linearidade = |b|* (100%)
  • Linearidade em relação à escala de medição (amplitude da faixa nominal): L(escala) = |b|*(max - min)

 

Regressão Linear

O modelo de regressão linear é dado por:
Tij = a+b VRi + εij       (2.3.1)
em que 

  • g : número de peças (≥ 5); 
  • m : número de medições por peça (≥ 12); 
  • Tij: corresponde a j-ésima tendência do i-ésimo valor de referência (corpo de prova); 
  • VRi: corresponde ao valor de referência i; 
  • εij é uma variável aleatória normal com média zero e desvio-padrão σ (independentes); 
  • a e b são os parâmetros, que juntos definem a reta da regressão.

Estimativas

Neste sentido, o MSA 4a edição propõe como critério as seguinte ferramentas:

  1. Teste dos coeficientes de regressão;
  2. Banda de confiança para a reta de regressão.

A seguir, vamos estudar os dois critérios. Para facilitar os cálculos, estabelecemos a seguinte tabela:

Tabela 2.3.1: Entrada de dados e cálculos de linearidade

Medição VR T VR2 T2 VR*T
Z11 VR1 T11 VR21 T211 VR1 *T11
Z12 VR1 T12 VR21 T212 VR2 *T12
$ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $
Z1m VR1 T1m VR21 T21m VR1 *T1m
Z21 VR2 T21 VR22 T221 VR2 *T21
$ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $
Z2m VR1 T2m VR22 T22m VR2 *T2m
$ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $
Zg1 VRg Tg1 VR2g T2g1 VRg *Tg1
$ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $
Zgm VRg Tgm VR2g T2gm VRg *Tgm
  soma VRi soma Tij soma VR2i soma T2ij soma VRi Tij

 

Estimativas

As médias da tendência e do valor de referência são dados por:

$$\overline{VR}=\frac{1}{g\times m}\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1}VR_i~~~~~~~~\overline{T}=\frac{1}{g\times m}\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1}T_{ij}$$

Notações básicas

$$S_{xx}=\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1}(VR_i-\overline{VR})^2=\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1}VR^2_i-g\times m\times \overline{VR}^2~~~~~~~(2.3.2)$$

$$S_{yy}=\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1}(T_{ij}-\overline{T})^2=\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1}T^2_{ij}-g\times m\times \overline{T}^2~~~~~~~(2.3.3)$$

$$S_{xy}=\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1}(VR_{i}-\overline{VR})(T_{ij}-\overline{T})=\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1}VR_i~T_{ij}-\overline{VR}\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1}T_{ij}~~~~~~~(2.3.4)$$

O modelo ajustado é dado por:

$$T_{ij}=\hat{a}+\hat{b}\times VR_i$$

para todo i = 1,...,g e j = 1,...,m.

As estimativas de mínimos quadrados $ \hat{a} $ e $ \hat{b} $ são dadas por:

$$\hat{a}=\overline{T}-\hat{b}~\overline{VR}~~~~~~~\hat{b}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}$$

O R2 é dado por:

$$R^2=1-\frac{SQ_E}{S_{yy}}=\frac{(S_{xy})^2}{S_{xx}~S_{yy}}$$

ou seja, é a razão entre o produto (SxySxy) pelo produto (SxxSyy). E temos,

$$SQ_E=S_{yy}-\hat{b}~S_{xy}$$


Metodologias

 

A seguir, vamos apresentar duas metodologias para testarmos a significância estatística dos coeficientes da regressão.


1) Teste dos Coeficientes da Regressão Linear Simples:

1.1) Teste para o Coeficiente Angular

$$\left\{\begin{array}{c}H_0:~b =0\\H_1:~b\neq 0\\\end{array}\right.$$

 

Estatística do teste

$$t^{*}=\frac{\hat{b}}{s(\hat{b})}~\sim~ t_{(g\times m-2)}~~~(\mbox{sob Ho}),$$

 

no qual

$$s^2(\hat{b})=\frac{QME}{S_{xx}},~~~~QME=\frac{SQ_E}{g*m-2}$$

O valor de t* deve ser comparado com uma distribuição t- Student com g*m-2 graus de liberdade para um determinado nível de significância $ \alpha $ (ver tabela da distribuição t-Student).

  • Se |t| ≤ t(g*m-2; 1-($ \alpha $/2)) não rejeitamos H0, ou seja, rejeitamos a hipótese de que o coeficiente angular seja significativo;
  • Se t > t(g*m-2; 1-($ \alpha $/2)) rejeitamos H0, ou seja, não rejeitamos a hipótese de que o coeficiente angular seja significativo.

 

Outra forma de definirmos um critério para avaliarmos o teste de hipótese é o P-valor. 


1.2) Teste para o intercepto

$$\left\{\begin{array}{c}H_0:~a=0\\H_1:a\neq 0\\\end{array}\right.$$

Estatística do teste

$$t^{*} = \frac{\hat{a}}{s(\hat{a})}\sim t_{(g*m-2)}~~~ (\mbox{sob Ho})$$

em que,

$$s^2(\hat{a})=\left(\frac{1}{g*m}+\frac{\overline{VR}^2}{S_{xx}}\right)\times QME$$

Este valor deve ser comparado com uma distribuição t - Student com (g*(m-2)) graus de liberdade para um determinado nível de significância $ \alpha $ (ver tabela da distribuição t-Student).

  • Se |t| j ≤ t(g * m-2; 1-( $ \alpha $ /2)) não rejeitamos H0, ou seja, rejeitamos a hipótese de que o intercepto seja significativo;
  • Se |t| j > t(g * m-2; 1-( $ \alpha $ /2)) rejeitamos H0, ou seja, não rejeitamos a hipótese de que o intercepto seja significativo.

Outra forma de definirmos um critério para avaliarmos o teste de hipótese é o P-valor. O P-valor representa o menor nível de significância para o qual rejeitamos H0. Logo, para um nível de significância $ \alpha $ = 0,05 adotado, rejeitamos H0 se o P-valor obtido for menor que 0,05, enquanto que não rejeitamos H0 se o P-valor for maior que 0,05.

 

Critério: A tendência e a linearidade são consideradas não significativas quando não rejeitamos as hipóteses H0 nos dois testes realizados acima.

2) Intervalo de Confiança para reta de regressão:

\[LI= \hat{a} + \hat{b} VR -\left[t_{(g*m-2;1-\alpha/2)}\sqrt{\left(\frac{1}{g*m}+\frac{(VR - \overline{VR})^2}{S_{xx}}\right)\times QME}\right],\]
\[LS= \hat{a} + \hat{b} VR +\left[t_{(g*m-2;1-\alpha/2)}\sqrt{\left(\frac{1}{g*m}+\frac{(VR - \overline{VR})^2}{S_{xx}}\right)\times QME}\right],\]

em que VR representa o Valor de Referência no ponto que calculamos o intervalo de confiança.

Critério: a linha relativa a tendência igual a zero deve estar completamente contida dentro dos limites acima.

Obs: As estimativas dos coeficientes e o intervalo de confiança estão descritos na Norma MSA 4º edição página 97.

 

Exemplo 2.3.1

O engenheiro do sistema de medição estava interessado em determinar a linearidade de um sistema de medição. Cinco peças padrão, que se distribuem por toda a faixa de variação do processo, foram medidas 15 vezes no laboratório de medição para se determinar o valor de referência. Neste caso, o metrologista utilizou um instrumento de medição com uma resolução melhor do que o instrumento utilizado normalmente. Após determinar o valor de referência, um avaliador realizou 12 medições de cada peça padrão nas condições reais de utilização do sistema de medição. Os valores estão resumidos na Tabela abaixo. Aqui, temos g=5 (número de peças) e m=12 (leituras em cada peça ).


Medições 2,0 Tendência 4,0 Tendência 6,0 Tendência 8,0 Tendência 10,0 Tendência
1 2,7 0,7 5,1 1,1 5,8 -0,2 7,6 -0,4 9,1 -0,9
2 2,5 0,5 3,9 -0,1 5,7 -0,3 7,7 -0,3 9,3 -0,7
3 2,4 0,4 4,2 0,2 5,9 -0,1 7,8 -0,2 9,5 -0,5
4 2,5 0,5 5 1 5,9 -0,1 7,7 -0,3 9,3 -0,7
5 2,7 0,7 3,8 -0,2 6 0 7,8 -0,2 9,4 -0,6
6 2,3 0,3 3,9 -0,1 6,1 0,1 7,8 -0,2 9,5 -0,5
7 2,5 0,5 3,9 -0,1 6 0 7,8 -0,2 9,5 -0,5
8 2,5 0,5 3,9 -0,1 6,1 0,1 7,7 -0,3 9,5 -0,5
9 2,4 0,4 3,9 -0,1 6,4 0,4 7,8 -0,2 9,6 -0,4
10 2,4 0,4 4 0 6,3 0,3 7,5 -0,5 9,2 -0,8
11 2,6 0,6 4,1 0,1 6 0 7,6 -0,4 9,3 -0,7
12 2,4 0,4 3,8 -0,2 6,1 0,1 7,7 -0,3 9,4 -0,6

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo


Estimação dos Parâmetros do exemplo

A seguir, vamos estimar os parâmetros e aplicar a metodologia definida pelo MSA 4a Edição.


Tabela 2.3.2: Tabela de dados

Peça Medições VR T  VR2 T2 VR*T
1 2,7 2 0,7 4 0,49 1,4
2 2,5 2 0,5 4 0,25 1
3 2,4 2 0,4 4 0,16 0,8
4 2,5 2 0,5 4 0,25 1
5 2,7 2 0,7 4 0,49 1,4
6 2,3 2 0,3 4 0,09 0,6
7 2,5 2 0,5 4 0,25 1
8 2,5 2 0,5 4 0,25 1
9 2,4 2 0,4 4 0,16 0,8
$ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $
12 9,4 10 -0,6 100 0,36 -6
Soma 360 -3,2 2640 11,82 -82,4
Média 6 -0,053333      

Primeiramente precisamos determinar as médias das variáveis T (tendência) e VR (valor de referência).

$$\overline{VR} = \frac{1}{g*m} \sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1} VR_i = \frac{360}{5*12} = 6$$
$$\overline{T} = \frac{1}{g*m} \sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1} T_{ij} = \frac{-3,2}{5*12} = -0,05333. $$

Assim, encontramos as somas de quadrados empíricas.

$$S{xx}=\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1} VR_i^2 - g*m\overline{VR}^2 = 2640 - 60(6)^2 = 480~~~~~(2.3.5)$$

$$S_{yy}=\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1} T_{ij}^2 - g*m\overline{T}^2 = 11,82 - 60(-0,0533)^2 = 11,64955~~~~~~ (2.3.6)$$

$$S_{xy}=\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1} VR_i T_{ij} - \overline{VR}\sum^g_{i=1}\sum^m_{j=1} T_{ij}=-82,4 - (6)(-3,2) = -63,2~~~~~(2.3.7)$$

A seguir, utilizamos as somas de quadrados empíricas para encontrarmos estimativas dos parâmetros da reta de regressão. Aqui, temos que

$$\hat{b} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{-63,2}{480} = -0,13167.~~~~(2.3.8)$$

$$\hat{a}=\overline{T} - \hat{b}\overline{VR} = -0,053333 -(-0,13167)(6) = 0,736687~~~(2.3.9)$$

e

$$R^2=\frac{(S_{xy})^2}{S_{xx}S_{yy}}=\frac{(-63,2)^2}{480*11,6495}=0,714308~~~~(2.3.10)$$

A reta estimada é dada por:

\[\hat{T_{ij}}=\hat{a} + \hat{b}*VR_i\]


Tendência estimada = 0,7366 - 0,13167 *(Valor de Referência)

Com isso, obtemos que a  %linearidade = 13,2%. Isto que dizer que a tendência varia em média 13,2% da faixa de estudo (10-2=8) entre o início e o final da faixa.  Vamos aplicar os dois critérios de avaliação da linearidade, os testes dos parâmetros e o intervalo de confiança para a reta de regressão. Para isto, calculamos o quadrado médio do erro (QME)  por:

$$SQ_E = S_{yy} - \hat{b}S_{xy} = 11,6495 - (-0,13167)(-63,2) = 3,3279$$

\[QME=\frac{SQ_E}{g*m-2} ~=\frac{3,3279}{58} = 0,057377\]

Caso 1: Teste de hipóteses: Inicialmente, vamos testar o coeficiente angular (b).

$$\left\{\begin{array}{c}H_0:~b=0\\H_1:~b\neq0\\\end{array}\right.$$

A estatística do teste é dada por:

$$t^{*} =\frac{\hat{b}}{s(\hat{b})}\sim t_{(g*m-2)}~~~(\mbox{sob }~H_0)$$

no qual o erro padrão associado à estimativa do coeficiente angular é calculada por:

\[s^2(\hat{b})=\frac{QME}{S_{xx}} ~= \frac{0,057377}{480} = 0,00011953\]

Portanto, o valor da estatística t-Student é dado por:

\[t^{*}=\frac{\mid{\hat{b}}\mid}{s(\hat{b})}=\frac{\mid{-0,13167}\mid}{0,010932}=12,044\]

Para uma distribuição t-Student com 58 graus de liberdade encontramos

t(g*m-2; 1-$ \alpha $/2) = 2,0017.

Desde que t* = 12,044 > 2,0017 rejeitamos a hipótese de que a linearidade não seja significativa. Com isso, concluímos que a linearidade é significativa ao nível de confiança de 5%.

Na seqüência, vamos realizar o teste para o intercepto

$$\left\{\begin{array}{c}H_0:~a=0\\H_1:~a\neq0\\\end{array}\right.$$

Neste caso, a estatística do teste é dada por:

$$t^{*} =\frac{\hat{a}}{s(\hat{a})}\sim t_{(g*m-2)}~~~ (\mbox{sob }~H_0),$$

no qual,

$$s^2(\hat{a})=\left(\frac{1}{g*m}+\frac{\overline{VR}^2}{S_{xx}}\right)\times QME =$$

$$=\left(\frac{1}{60}+\frac{(6)^2}{480}\right)\times 0,057377 =$$

$$=\left(0,016667+0,075\right)\times 0,057377 = 0,0052595.$$

Com isso, obtemos que

\[t^{*} =\frac{\mid{\hat{a}}\mid}{s(\hat{a})}=\frac{0,7366}{0,072522}=10,156\]

Para uma distribuição t-Student com 58 graus de liberdade encontramos t(g*m-2; 1-α/2) = 2,0017. Desde que t* = 10,16 > 2,0017 rejeitamos a hipótese de que o intercepto não seja significativo. Com isso, concluímos que o intercepto é significativo ao nível de confiança de 5%.

Conclusão: Desde que o coeficiente angular (linearidade) foi considerado significativo, o sistema de medição apresenta uma linearidade significativa com 95% de confiança ($ \alpha $ = 0,05).

Caso 2: Intervalo de confiança para a reta de regressão. A seguir, apresentamos na Tabela 6 o cálculo dos limites do intervalo, considerando as seguintes expressões:

Tabela 2.3.3: Limites do intervalo

Valor de Referência

(VR)

 LI LS
2 0,4128 0,5704
4 -0,1593 0,4093
6 -0,0995 0,1495
8 -0,3549 -0,2283
10 -0,7098 -0,5234

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo.

 


 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.


 

Exemplo 2.3.2

Como aplicação de um estudo de tendência e linearidade, vamos avaliar um sistema de medição para medir a temperatura de um forno via um pirômetro óptico. Para isto, vamos fazer um estudo por comparação com um termo elemento padrão. Tomamos 5 níveis de temperatura

 

Padrão Medidas VR Tolerância
1 748,8 750 100
1 749,8 750 100
1 748,8 750 100
1 748,8 750 100
1 748,8 750 100
1 748,8 750 100
1 747,7 750 100
1 747,7 750 100
1 747,7 750 100
1 748,7 750 100
1 749,7 750 100
1 750,7 750 100
2 848,8 850 100
2 848,8 850 100
2 848,8 850 100
2 847,2 850 100
2 847,2 850 100
2 847,2 850 100
2 846,1 850 100
2 846,1 850 100
2 846,2 850 100
2 846,3 850 100
2 847,3 850 100
2 848,3 850 100
3 946,9 950 100
3 946,9 950 100
3 946,9 950 100
3 945,8 950 100
3 944,8 950 100
3 944,8 950 100
3 943,6 950 100
3 943,6 950 100
3 943,6 950 100
3 945,1 950 100
3 946,1 950 100
3 947,1 950 100
4 1045,4 1050 100
4 1045,4 1050 100
4 1045,4 1050 100
4 1044,9 1050 100
4 1043,9 1050 100
4 1044,9 1050 100
4 1042 1050 100
4 1042 1050 100
4 1042 1050 100
4 1045,6 1050 100
4 1046,6 1050 100
4 1047,6 1050 100
5 1141,9 1150 100
5 1141,3 1150 100
5 1142,9 1150 100
5 1144,3 1150 100
5 1143,5 1150 100
5 1140,9 1150 100
5 1141,9 1150 100
5 1142,2 1150 100
5 1142,1 1150 100
5 1140 1150 100
5 1140,7 1150 100
5 1142,7 1150 100

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo

 

 

 

 

 

 

Interpretação: Neste estudo, realizamos uma análise da tendência do sistema de medição ao longo da escala de interesse. Através da tabela da Análise da Tendência, observamos que o zero está fora do intervalo de confiança, para todos os valores de referência. Com isso, concluímos que temos tendência significativa ao longo da escala do sistema de medição. Além disso, o sistema de medição apresenta uma linearidade também significativa (P-valor de 1,8*10^(-9)) de 0,016, o que quer dizer que a tendência apresenta uma variação média de 1,6% ao longo da faixa de interesse (750 a 1150). No gráfico, observamos que a linha do ponto zero (linha vemelha) não está inserida na banda de confiança (linhas azuis), o que reforça o fato de que o sistema de medição apresenta uma linearidade significativa ao nível de significância de 5%.

Porém, para avaliarmos adequadamente a tendência e a linearidade deste sistema de medição, precisamos de entender melhor o sistema de medição e sua aplicação. Neste caso, temos uma medição de temperatura, na escala de 750oC a 1150oC, realizada através de um pirômetro óptico posicionado a dez metros da peça. Nesta distância, o pirômetro óptico apresenta uma exatidão de 2% da leitura. Por exemplo, em 1150 graus Celsius temos uma exatidão de 0,02*1150=23 graus Celsius. Observe que o maior valor de tendência, no ponto de 1150, foi de 10 graus Celsius. Portanto, a maior tendência encontrada está abaixo da exatidão garantida pelo equipamento. Além disso, temos uma tolerância de 100 graus Celsius e por motivos de segurança, medimos a peça a uma distância de 10 metros.

Em resmo, dependendo da importância da aplicação para o restante do processo, o sistema de medição pode ser considerado aceitável para o controle do processo. Caso contrário, devemos elaborar um plano de ação.

Um ponto bastante comentado pelos usuários é a interpretação do R2 . No caso particular do estudo de linearidade de um sistema de medição, valores altos de R2 pode siginificar que tivemos um bom ajuste linear. Nesta situação, concluímos que a linearidade (ou coeficiente angular) é significativa do ponto de vista estatístico. Portanto em um estudo de linearidade é interessante termos um coeficiente de determinação R2 baixo (menor que 0,2). Neste exemplo, temos um R2 igual a 0,75 o que é alto.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.