Início » Inferência » 4 - Intervalos de confiança

4.4 - Intervalo de confiança para variância

Consideremos uma amostra aleatória X1, ..., Xn de tamanho n de uma população com distribuição normal com média μ e desvio padrão σ. Um estimador para σ2 é a variância amostral s2. Assim, sabemos que a quantidade pivotal

\[Q=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2.\]

Seja 1- α a probabilidade da variável Q, com n-1 graus de liberdade, tomar valores entre $ Q_{\alpha/2} $ e $ Q_{1-\alpha/2} $, valores obtidos na tabela da distribuição Qui-Quadrado tais que $ P[Q \ \textless \ Q_{\alpha/2}]=P[Q \ \textgreater \ Q_{1-\alpha/2}]=\alpha/2 $.

Observando a equação

\[Q_{\alpha/2}\leq Q\leq Q_{1-\alpha/2}\]

vemos que podemos substituir Q pela expressão acima e então obtemos

\[Q_{\alpha/2}\leq\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\leq Q_{1-\alpha/2}.\]

Reescrevendo esta desigualdade, obtemos o intervalo de confiança para a variância,

\[\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}} \ \textless \ \sigma^2 \ \textless \ \frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha/2}}.\]

Assim,

\[P\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}} \ \textless \ \sigma^2 \ \textless \ \frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha}}\right)=1-\alpha.\]

Logo, o intervalo com 100(1-α)% de confiança para σ2 será dado por

\[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}},\frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha/2}}\right).\]

Exemplo 4.4.1: O peso de componentes mecânicos produzidos por uma determinada empresa é uma variável aleatória que se supõe ter distribuição Normal. Pretende-se estudar a variabilidade do peso dos referidos componentes. Para isso, uma amostra de tamanho 11 foi obtida,cujos valores em grama são:

98  97  102  100  98  101  102  105  95  102  100

Construa um intervalo de confiança para a variância do peso, com um grau de confiança igual a 95%.

Temos que n=11, $ \overline{x}=100 $ e

\[s^2=\sum_{i=1}^11\frac{(x_i-\overline{x})^2}{10}=\frac{4+9+\ldots+25+4+0}{10}=8.\]

Pela Tabela da Distribuição Qui-Quadrado com 10 graus de liberdade, temos que Q0,025 = 3,25 e Q0,975 = 20,48. Assim,

\[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{10\times 8}{20,48},\frac{10\times 8}{3,25}\right)=(3,90;24,61).\]