2.4 - Repetitividade e Reprodutibilidade

Neste módulo, vamos apresentar um método para estimarmos a variabilidade associada ao sistema de medição. Como apresentado no módulo análise dos sistemas de medição, a variabilidade é decomposta em dois termos:

Repetitividade - VE
Variação das medidas obtidas por um único operador, utilizando o mesmo equipamento de medição e método, ao medir repetidas vezes uma mesma grandeza de uma única peça (corpo de prova).

Reprodutibilidade - VO
Variação das médias obtidas por diferentes operadores utilizando o mesmo equipamento de medição para medir repetidamente uma mesma grandeza de uma única peça (corpo de prova).

RR
É a soma das variações devido à falta de Repetitividade e Reprodutibilidade.

$RR=\sqrt{(VE)^2+(VO)^2}$

Variabilidade

Variabilidade entre partes (variabilidade do processo de produção) - VP

É a variação das medidas observada entre os itens produzidos pelo processo, isto é, a variabilidade observada nas peças. Salientamos que a variabilidade entre as partes pode ser obtida à partir de um estudo de capacidade do processo ou à partir do próprio estudo para determinar o RR.

Variabilidade total

É a soma das variações devidas ao sistema de medição e ao processo.

$VT=\sqrt{RR^2+VP^2}$

$VT=\sqrt{VE^2+VO^2+VP^2}$

Variabilidade interna do produto

Em muitos sistemas de medição, a variação interna (ou, inerente ) das peças, como ovalização, podem inflacionar nossa estimativa da repetitividade. A variabilidade interna pode ser avaliada e separada da repetitividade. O procedimento é mais complexo e consiste basicamente em:

Obter a medida em vários pontos da peça;
Trabalhar com os valores médios (ou valores máximo e/ou mínimo) para cada peça;
À partir destes experimentos estimar a variabilidade interna.

A variabilidade interna deve sempre ser objeto de estudo para a melhoria do processo produtivo.

Diretrizes para o estudo de RR - Replicável

Como em qualquer análise, um bom planejamento deve ser realizado para que possamos conduzir o estudo de RR.

Selecionar aleatoriamente operadores que utilizam e conhecem bem o sistema de medição a ser estudado. Em geral recomendamos três operadores. Se isto não for viável, utilizar pelo menos dois operadores. Caso o operador não influencie na medição, não avalie a reprodutibilidade.
Utilizar equipamentos de medição devidamente calibrados.
Selecionar de 5 a 15 peças da produção cujas dimensões varram o campo de variação do processo
- Se o sistema de medição for utilizado para processos com campos de variação muito distintos, recomendamos realizar estudos RR distintos.
- Sempre que possível procure obter g = (número de peças) X (número de operadores) maior que 15. Se isto não for possível, aumente o número de leituras por peças.
Escolher o método de conduzir e analisar o estudo.
- Análise de Variância (ANOVA).

Para sistemas de medição no qual o resultado da medição é utilizado para determinar a "conformidade" ou "não conformidade" do produto com respeito a uma especificação as amostras selecionadas NÃO precisam abranger toda a especificação. Além disso, a análise do RR deve ser realizada em relação à tolerância. Neste caso, calculamos a porcentagem RR em relação à tolerância.

Para o caso em que o sistema de medição controla o processo, isto é, o resultado da medição é utilizado para determinar a estabilidade, tendência e variabilidade do processo, através de uma estudo de CEP, devemos utilizar a variação do processo para avaliar o RR. Neste caso, devemos escolher bem as peças, pois estas devem abranger toda a faixa de variação do processo. Se for possível, devemos realizar um estudo independente para estimar a variabilidade do processo. Assim, calculamos a porcentagem RR em relação à variabilidade total.

Análise de variância - ANOVA

A análise de variância (ANOVA) é uma técnica estatística clássica que pode ser utilizada para avaliar o erro de medição e outras fontes de variabilidade dos dados pertinentes ao sistema de medição.

As vantagens do método da ANOVA comparada ao método da Média e amplitude, são:

Capaz de tratar diversas estruturas de experimentos;
Estimar a variância com mais exatidão e precisão;
Extrair mais informações sobre os dados, tal como o efeito da interação entre peças e avaliadores;

As desvantagens são a complexidade dos cálculos e a necessidade de um conhecimento básico de estatística para que o usuário possa interpretar os resultados.

Aplicação do método da ANOVA

A seguir, descrevemos os passos para aplicarmos o método da ANOVA.

1^o Passo

Selecionar as peças de tal forma que representem a variação natural do processo. Em geral, tomamos peças de lotes distintos de produção. Identificar as peças.

2^o Passo

Selecionar os operadores de forma a envolver todos os turnos. Os operadores devem ter treinamento para utilizar o sistema de medição. O número de operadores vezes o número de peças deve ser maior que 15. Caso o operador não influencie na medição, escolhemos apenas um operador e não avaliamos a reprodutibilidade.

3^o Passo

Cada operador mede três ou mais vezes cada peça em ordem aleatória.

4^o Passo

Aleatorizar as medições.

5^o Passo

Calcule a média $(\overline{\overline{X}})$ e desvio padrão, conforme Tabela 2.4.1. Observe que calculamos os desvios padrão para cada combinação peça versus operador, o desvio padrão entre as médias dos operadores e o desvio padrão entre as médias das peças.

Desta forma, com os passos de 1 a 6 podemos organizar os dados da seguinte forma:

*Peça*	*Operador*
*Peça*	1	2	...	o	*Média*
1	Y₁₁₁, ... ,Y_11r $\overline{Y}_{11.}$ e S₁₁	Y₁₂₁, ... ,Y_12r $\overline{Y}_{12.}$ e S₁₂	*...* ...	Y_1o1, ... ,Y_1or $\overline{Y}_{1o.}$ e S_1o	$\overline{Y}_{1..}$	S_p
2	Y₂₁₁, ... ,Y_21r $\overline{Y}_{21.}$ e S₂₁	Y₂₂₁, ... ,Y_22r $\overline{Y}_{22.}$ e S₂₂	*...* *...*	Y_2o1, ... ,Y_2or $\overline{Y}_{2o.}$ e S_2o
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
p	Y_p11, ... ,Y_p1r $\overline{Y}_{p1.}$ e S_p1	Y_p21, ... ,Y_p2r $\overline{Y}_{p2.}$ e S_p2	*...* *...*	Y_po1, ... ,Y_por $\overline{Y}_{po.}$ e S_po	Y_p..
*Média*	$\overline{Y}_{.1.}$	$\overline{Y}_{.2.}$	*...*	$\overline{Y}_{.o.}$	$\overline{Y}_{...}$
	S_o

Tabela 2.4.1: Tabela de entradas

^{As quantidades são dadas por}

$S_{ij}^2=\frac{1}{r-1}\sum_{k=1}^r(Y_{ijk} - \overline{Y}_{ij.})^2~~~~(2.4.1)$

$S_{o}^2=\frac{1}{o-1}\sum_{j=1}^o(\overline{Y}_{.j.} - \overline{Y}_{...})^2~~~~~(2.4.2)$

$S_{p}^2=\frac{1}{p-1}\sum_{i=1}^p(\overline{Y}_{i..} - \overline{Y}_{...})^2,~~~~(2.4.3)$

Os passos a seguir serão divididos conforme o modelo a ser adotado (sem interação ou com interação entre peça e operador).

Modelo A: com interação entre peça e operador

A fim de facilitar cálculos futuros, sugerimos o cálculo prévio de:

$SQ_{T}=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}~-~\overline{Y}_{...})^2,$

$SQ_{P}=or(p-1)S_{p}^2,$

$SQ_{o}=pr(o-1)S_{o}^2,$

$SQ_{E}=(r-1)(po)QME,$

$SQ_{I}=SQ_{T}~-~SQ_{P}~-~SQ_{O}~-SQ_{E},$

$QM_{I}=\frac{SQ_{I}}{(p-1)(o-1)},$

sendo que

$QME=\frac{1}{po}\sum_{i=1}^{o}\sum_{j=1}^{p}S_{ij}^2.~~~~~(2.4.4)$

Assim, prosseguimos:

7^o Passo

Calcular a Repetitividade

$VE=\sqrt{QME}~~~~~(2.4.5)$

8^o Passo

Calcular a Reprodutibilidade como

$VO=\sqrt{V_{oper}^2+VI^2},~~~~(2.4.6)$

sendo V_oper e VI dados pelas expressões

$V_{oper}=\sqrt{S_{o}^2-\frac{QM_{I}}{pr}~}~~~~(2.4.7)$

$VI=\sqrt{\frac{QM_{I}-QME}{r}}~~~~(2.4.8)$

9^o Passo

Calcular o RR

$RR=\sqrt{~VE^2~+~VO^2~}$

10^o Passo

Calcular a variação entre peças

$VP=\sqrt{~S_{p}^2~-~\frac{QM_{I}}{or}~}~~~~(2.4.8)$

11^o Passo

Calcular a variação total

$VT=\sqrt{~VE^2~+~VO^2~+~VP^2~}~~~~~(2.4.9)$

12^o Passo

Tabela de % de contribuição

Fontes de Variação	Variância	% Contribuição
Repetitividade	(VE)²	$\frac{VE^2}{VT^2}*100$
Operador	(Voper)²	$\frac{V^2_{oper}}{VT^2}*100$
Peça x Operador	(VI)²	$\frac{VI^2}{VT^2}*100$
Peça	(VP)²	$\frac{VP^2}{VT^2}*100$
RR	(RR)²	$\frac{RR^2}{VT^2}*100$
Total	(VT)²	100

Tabela 2.4.2: Tabela de contribuição - com interação

Os valores utilizados para preencher a Tabela 2.4.2 vem das expressões (2.4.6) até (2.4.9)

13^o Passo

Tabela de % em relação à variação total e ou % de tolerância

Fonte de variação	Desvio Padrão	% Variação Total	% Tolerância
Repetitividade	VE	$\frac{VE^2}{VT^2}*100$	$\left(k\times\frac{VE}{TOL}\right)*100$
Reprodutibilidade	VO	$\frac{VO^2}{VT^2}*100$	$\left(k\times\frac{VO}{TOL}\right)*100$
Operador	Voper	$\frac{V^2_{oper}}{VT^2}*100$	$\left(k\times\frac{V_{oper}}{TOL}\right)*100$
Peça x Operador	VI	$\frac{VI^2}{VT^2}*100$	$\left(k\times\frac{VI}{TOL}\right)*100$
Peça	VP	$\frac{VP^2}{VT^2}*100$	$\left(k\times\frac{VP}{TOL}\right)*100$
RR	RR	$\frac{RR^2}{VT^2}*100$	$\left(k\times\frac{RR}{TOL}\right)*100$

Tabela 2.4.3: Tabela de % da variação total e ou % de tolerância - com interação

Os valores utilizados para preencher a Tabela 2.4.3 vem das expressões (2.4.6) até (2.4.9). Na Tabela 2.4.3, o valor normalmente escolhido para k é 5,15. Entretanto, por facilidades de interpretação desse índice com o índice de Pp (e ou Cp) é recomendado utilizar k=6.

Sugestão de regra para análise das variações:

Tolerância: Sistema de medição aplicado em inspeções finais e inspeção de recebimento;

Variação total: Sistema de medição utilizado durante o processo produtivo.

%RR menor que 10% → sistema de medição aceitável.
%RR entre 10% e 30% → sistema de medição marginal, podendo ser aceito dependendo da situação, custos, etc.
%RR maior que 30% → sistema de medição inaceitável, sendo necessário melhorá-lo ou substituí-lo.

14^o Passo

O ndc representa a capacidade de discriminar categorias de peças em um sistema de medição considerando a variação do processo. Este índice nos fornece o número de faixas que podemos dividir a variação do processo. O ndc é dado pelo maior inteiro menor ou igual ao valor:

$ndc=1,41\times\frac{VP}{RR}~~~~(2.4.10)$

O manual da indústria automobilística (MSA) apresenta como critério um ndc ≥ 5. Isto quer dizer que o sistema de medição é capaz de identificar 5 tipos distintos de peças dentro do campo de variação do processo. Se um sistema de medição é avaliado pela tolerância, o índice ndc não deve ser considerado.

15^o Passo

Realizar uma análise dos dados para avaliar as características do sistema.

Se a repetitividade for grande quando comparada com a reprodutibilidade, as razões podem ser:

O dispositivo de medição precisa de manutenção;
O dispositivo de medição deverá ser reprojetado para ter maior robustez;
A fixação ou posição para a medição precisam ser melhorados;
Existe uma excessiva variação própria da peça.

Se a reprodutibilidade for grande comparada com a repetitividade, então as possíveis causas podem ser:

O operador precisa ser melhor treinado em como usar e ler o dispositivo de medição;
As marcações no mostrador do dispositivo de medição não são claras;
Algum tipo de dispositivo pode ser necessário para ajudar o operador a usar o dispositivo de medição mais consistentemente.

Exemplo 2.4.1

Considere um sistema de medição para medir o diâmetro externo do mancal. O engenheiro da qualidade realizou um experimento com 10 peças, 3 operadores e 3 repetições para cada operador e peça. Os dados referentes a esse experimento estão dispostos na Tabela abaixo.

Tabela 2.4.4: Medições do diâmetro interno do mancal

Peça	Medição	Operador
1	114,958	1
2	114,957	1
3	114,962	1
4	114,963	1
5	114,965	1
6	114,963	1
7	114,967	1
8	114,963	1
9	114,963	1
10	114,967	1
1	114,962	1
2	114,956	1
3	114,963	1
4	114,965	1
5	114,966	1
6	114,965	1
7	114,969	1
8	114,97	1
9	114,955	1
10	114,965	1
1	114,958	1
2	114,6	1
3	114,965	1
4	114,966	1
5	114,967	1
6	114,964	1
7	114,97	1
8	114,97	1
9	114,955	1
10	114,966	1
1	114,957	2
2	114,958	2
3	114,962	2
4	114,963	2
5	114,965	2
6	114,962	2
7	114,967	2
8	114,968	2
9	114,952	2
10	114,967	2
1	114,961	2
2	114,957	2
3	114,963	2
4	114,966	2
5	114,967	2
6	114,963	2
7	114,97	2
8	114,968	2
9	114,955	2
10	114,964	2
1	114,958	2
2	114,959	2
3	114,965	2
4	114,965	2
5	114,966	2
6	114,965	2
7	114,97	2
8	114,97	2
9	114,954	2
10	114,966	2
1	114,958	3
2	114,958	3
3	114,953	3
4	114,965	3
5	114,967	3
6	114,962	3
7	114,967	3
8	114,968	3
9	114,953	3
10	114,966	3
1	114,961	3
2	114,96	3
3	114,963	3
4	114,966	3
5	114,968	3
6	114,965	3
7	114,968	3
8	114,969	3
9	114,953	3
10	114,965	3
1	114,958	3
2	114,958	3
3	114,964	3
4	114,965	3
5	114,966	3
6	114,965	3
7	114,969	3
8	114,971	3
9	114,955	3
10	114,967	3

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Começamos nossa análise estatística no passo 5, pois os passos anteriores são referente a escolha das peças e operadores e a coleta de dados.

5^o Passo

^{Cálculo do}

Com auxílio da Tabela 2.4.4, vamos calcular

Peça	Médias $(\overline{Y}_{i..})$	Média das Médias $(\overline{Y}_{...})$	Desv. quadráticos $(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})^2$
1	114,9590	114,9631	0,00001699
2	114,9581	114,9631	0,00002511
3	114,9622	114,9631	0,00000081
4	114,9649	114,9631	0,00000312
5	114,9663	114,9631	0,00001031
6	114,9638	114,9631	0,00000043
7	114,9686	114,9631	0,00002952
8	114,9686	114,9631	0,00002952
9	114,9539	114,9631	0,00008525
10	114,9659	114,9631	0,00000765
		SOMA =	0,00020873

Portanto,

$S_{p}^2=\frac{0,00020873}{10-1}=0,00002319$

^{Cálculo do}

Operador	Médias $(\overline{Y}_{j..})$	Média das Médias $(\overline{Y}_{...})$	Desv. quadráticos $(\overline{Y}_{j..}-\overline{Y}_{j..})^2$
A	114,9619	114,9631	0,00000158
B	114,9636	114,9631	0,00000023
C	114,9639	114,9631	0,00000060
SOMA =			0,00000241

Portanto,

$S_{o}^2=\frac{0,00000241}{3-1}=0,000001205.$

Cálculo do QME

Para o cálculo do QME devemos calcular a média e variância dentro de cada casela ij da Tabela 2.4.4, isto é, para cada combinação de peça i e operador j. Na Tabela abaixo, calculamos os valores das médias das medições dentro de cada casela.

Tabela 2.4.5: Valores das médias dentro de cada casela

PEÇA	OPERADOR
PEÇA	1	2	3
1	114,9577	114,9613	114,9580
2	114,9577	114,9577	114,9590
3	114,9590	114,9630	114,9647
4	114,9637	114,9657	114,9653
5	114,9657	114,9670	114,9663
6	114,9623	114,9643	114,9647
7	114,9670	114,9690	114,9697
8	114,9663	114,9690	114,9703
9	114,9527	114,9543	114,9547
10	114,9667	114,9647	114,9663

^{Usando as Tabelas 2.4.4 e 2.4.5, podemos encontrar os valores de}

$S^2_{ij}$

^{à partir da fórmula (2.4.4). Para a primeira peça, temos que}

$S^2_{11}=\frac{(114,958-114,9577)^2 + (114,957 - 114,9577)^2 + (114,958 - 114,9577)^2}{3-1}$

$=0,00000033$

$S^2_{12}=\frac{(114,962-114,9613)^2+(114,961-114,9613)^2+(114,961-114,9613)^2}{3-1}$

$=0,00000033$

$S^2_{13}=\frac{(114,958-114,9580)^2+(114,958-114,9580)^2+(114,958-114,9580)^2}{3-1}$

$=0$

^{Procedendo da mesma forma para as demais peças, obtemos a Tabela 2.4.6 com valores de}

$S^2_{ij},$

^{Tabela 2.4.6: Valores de}

$S^2_{ij}.$

PEÇA	OPERADOR
PEÇA	1	2	3
1	0,00000033	0,00000033	0,00000000
2	0,00000033	0,00000433	0,00000100
3	0,00002700	0,00000000	0,00000033
4	0,00000133	0,00000033	0,00000033
5	0,00000133	0,00000100	0,00000033
6	0,00000033	0,00000133	0,00000033
7	0,00000000	0,00000100	0,00000033
8	0,00000833	0,00000100	0,00000033
9	0,00000033	0,00000133	0,00000033
10	0,00000033	0,00000133	0,00000033

Com isso, à partir da fórmula (2.4.4) obtemos o valor de QME como:

$QME=\frac{0,00000033+0,00000033+0+\cdots+0,00000033+0,00000033+0,00000033}{10\times3}$

$=0,00000181$

Procedendo da mesma maneira como no exemplo anterior podemos obter SQ_Tcomo

$SQ_{T}=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}~-~\overline{Y}_{...})^2=0,002135656.$

^{Com os valores de e} ^{obtidos acima, podemos calcular as somas de quadrado}

$SQ_{P}=or(p-1)S_{p}^2=0,001878544$

$SQ_{o}=pr(o-1)S_{o}^2 = 0,000072289.$

Com o valor obtido para QME, podemos obter SQ_E como

$SQ_{E} = (r-1)(po)QME = 0,000108667.$

À partir destas somas de quadrado podemos obter a soma de quadrado e o quadrado médio da interação peça e operador como

$SQ_{I}=SQ_{T}-SQ_{P}-SQ_{O}-SQ_{E}=0,000076156,$

$QM_{I}=\frac{SQ_{I}}{(p-1)(o-1)} = 0,00000423086.$

6^o Passo

Faça a análise gráfica: Construir o gráfico de controle $\overline{X}$ e S para avaliar as médias e as amplitudes de cada repetição por operador.

7^o Passo

Calcular a repetitividade como

$VE=\sqrt{QME}=0,001345775$

8^o Passo

À partir das equações (2.4.7) e (2.4.8), temos que

$V_{oper}=\sqrt{S_{o}^2 - \frac{QM_{I}}{pr}~}=\sqrt{0,000001064}=0,0010314$

$VI=\sqrt{\frac{QM_{I} - QME}{r}}=\sqrt{0,0000008065}=0,0008981$

Com isso, temos pela equação (2.4.9) que a reprodutibilidade é dada por

$VO=\sqrt{~V_{oper}^2~+~VI^2~}=\sqrt{0,00000187}=0,001367615$

9^o Passo

$RR=\sqrt{VE^2 + VO^2}=\sqrt{0,00000368}=0,001918719$

10^o Passo

$VT=\sqrt{~VE^2~+~VO^2~+~VP^2~}=\sqrt{0,0000264}=0,005138413$

13^o Passo

A Tabela 2.4.7 mostra a porcentagem de cada desvio padrão em relação à variação total.

Fonte de variação	Desvio padrão	%
Repetitividade	0,001345775	26,19048299
Reprodutibilidade	0,001367615	26,61550832
Operador	0,001031400	20,07234423
Peca x Operador	0,000898100	17,47816582
Peça	0,004766740	92,76676839
RR	0,001918719	37,34068401
Total	0,005138413	100

Tabela 2.4.7: Porcentagem da variação total

14^o Passo

$\mbox{ndc}=1,41\times\frac{VP}{RR}=3$

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

Conclusão: O sistema de medição precisa ser melhorado, pois temos uma %RR de 37,4% e um valor de ndc=3, o que é considerado baixo. Observe que neste caso, tanto a repetitividade quanto a reprodutibilidade estão altas (acima de 26%) e temos interação entre as peças e os operadores, isto significa que temos peças mais complicadas de serem medidas do que outras. Além disso, observe que no gráfico R, o operador A apresenta pontos fora dos limites de controle, o que nos diz que este não entendeu adequadamente o procedimento de medição. Em resumo, temos diversas oportunidades de melhoria.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Aplicação do método da ANOVA

Modelo B : sem interação entre peça e operador

A fim de facilitar cálculos, tomamos:

$SQ_{T}=(opr-1)S_{...}^2,$

$SQ_{P}=or(p-1)S_{p}^2,$

$SQ_{O}=pr(o-1)S_{o}^2,$

$SQ_{E}=SQ_{T}-SQ_{P}-SQ_{O},$

no qual p corresponde ao número de peças, o corresponde ao número de operadores e r o número de medições por operador em cada peça. Além disso, o quadrado médio do erro (QME) é definido por:

$QME=\frac{SQE}{por-p-o+1}.~~~~~(2.4.11)$

6^o Passo

Faça a análise gráfica: Construir o gráfico de controle $\overline{X}$ e S ou $\overline{X}$ e R.

7^o Passo

Calcular a repetitividade

$VE=\sqrt{QME}~~~~(2.4.12)$

8^o Passo

Calcular a reprodutibilidade

$VO=\sqrt{V_{oper}^2}~~~~~(2.4.13)$

9^o Passo

Calcular o RR

$RR=\sqrt{VE^2+VO^2}~~~~(2.4.14)$

10^o Passo

Calcular a variação entre as peças

$VP=\sqrt{ ~\frac{QM_P - QM_E}{or}}~~~~(2.4.15)$

11^o Passo

Calcular a variação total

$VT=\sqrt{RR^2+VP^2}~~~~~(2.4.16)$

12^o Passo

Tabela de % de contribuição

Fontes de Variação	Variância	% Contribuição
Repetitividade	(VE)²	$\frac{VE^2}{VT^2}*100$
Reprodutibilidade	(VO)²	$\frac{VO^2}{VT^2}*100$
Peça	(VP)²	$\frac{VP^2}{VT^2}*100$
RR	(RR)²	$\frac{RR^2}{VT^2}*100$
Total	(VT)²	100

Tabela 2.4.7: Tabela de contribuição - sem interação

Os valores utilizados para preencher a Tabela 2.4.7 vem das expressões (2.4.6) até (2.4.9).

13^o Passo

Tabela de % em relação à variação total e ou % de tolerância

Os valores utilizados para preencher a tabela a seguir (Tabela 2.4.8) vem das expressões (2.4.6) até (2.4.9).

Fonte de variação	Desvio Padrão	% Variação Total	% Tolerância
Repetitividade	VE	$\frac{VE}{VT}*100$	$\left(6\frac{VE}{TOL}\right)100$
Reprodutibilidade	VO	$\frac{VO}{VT}*100$	$\left(6\frac{VO}{TOL}\right)100$
Peça	VP	$\frac{VP}{VT}*100$	$\left(6\frac{VP}{TOL}\right)100$
RR	RR	$\frac{RR}{VT}*100$	$\left(6\frac{RR}{TOL}\right)100$

Tabela 2.4.8: Tabela de % da variação total e ou % de tolerância - sem interação

Sugestão de regra para análise das variações

Tolerância: Sistema de medição aplicado em inspeções finais e inspeção de recebimento;

Variação total: Sistema de medição utilizado durante o processo produtivo.

%RR menor que 10% → sistema de medição aceitável.
%RR entre 10% e 30% → sistema de medição marginal, podendo ser aceito dependendo da situação, custos, etc.
%RR maior que 30% → sistema de medição inaceitável, sendo necessário melhorá-lo ou substituí-lo.

14^o Passo

Calcular o ndc (Número de categorias distintas)

$1,41\times\frac{VP}{RR}~~~~~(2.4.17)$

15^o Passo

Realizar uma análise dos dados para avaliar as características do sistema.

Se a repetitividade for grande quando comparada com a reprodutibilidade, as razões podem ser:

O dispositivo de medição precisa de manutenção;
O dispositivo de medição deverá ser reprojetado para ter maior robustez;
A fixação ou posição para a medição precisam ser melhorados;
Existe uma excessiva variação própria da peça.

Se a reprodutibilidade for grande comparada com a repetitividade, então as possíveis causas podem ser:

O operador precisa ser melhor treinado, bem como usar e ler o dispositivo de medição;
As marcações no mostrador do dispositivo de medição não são claras;
Algum tipo de dispositivo pode ser necessário para ajudar o operador a usar o dispositivo de medição mais consistentemente.

Exemplo 2.4.2

Num estudo realizado para analisar a eficiência do sistema de medição da altura do rádio, utilizamos o altímetro. Foram selecionados 5 peças aleatoriamente em turnos de produção diferentes e identificados apropriadamente. Os operadores que foram previamente treinados, ao pegarem os rádios com este código de data, acionam um programa que irá armazenar as leituras em um banco de dados para RR. Obtemos os dados apresentados na Tabela 2.4.9.

Peça	OPERADOR A			OPERADOR B			OPERADOR C			Média
Peça	I	II	III	I	II	III	I	II	III	Média
1	10,12	10,06	10,08	10,15	10,20	10,07	10,22	10,01	10,16	10,1189
2	10,14	10,15	10,20	10,26	10,30	10,20	10,26	10,26	10,32	10,2322
3	10,25	10,22	10,40	10,40	10,30	10,47	10,52	10,47	10,35	10,3756
4	10,13	10,16	10,11	10,14	10,13	10,18	10,15	10,11	10,10	10,1344
5	10,87	10,82	10,76	10,76	10,89	10,75	10,84	10,86	10,78	10,8144
6	10,88	10,85	10,82	10,90	10,91	10,87	10,91	10,92	10,89	10,8833
Média	10,3900			10,4277			10,4516			10,4264

Tabela 2.4.9: Leituras

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

5^o Passo
Cálculo do SQ_P

Peça	Médias $(\overline{Y}_{i..})$	Média $(\overline{Y}_{...})$	Desv. Quad $(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})^2$
1	10,11888889	10,426481	0,094612907
2	10,23222222	10,426481	0,037736473
3	10,37555556	10,426481	0,002593401
4	10,13444444	10,426481	0,08528535
5	10,81444444	10,426481	0,150515634
6	10,88333333	10,426481	0,208714054
soma			0,579457819

$S_p^2=\frac{0,579457819}{6-1}=0,1159$

$SQ_P=3*3*(6-1)*0,1159=5,2151$

Cálculo do QME

Cálculo do SQE

$SQ_E=5,4086-5,21-0,037=0,156$

Com isso, obtemos que

$QME=\cfrac{0,1935}{6*3*3-6-3+1}=0,003388$

6^o Passo
Faça a análise gráfica: construir o gráfico de controle $\overline{X}$ e R para avaliar as médias e as amplitudes de cada repetição por operador.

7^o Passo

$VE=\sqrt{QME}$

$=\sqrt{0,003388}$

$=0,0582$

8^o Passo

$VO=\sqrt{V^2_{oper}}$

$=\sqrt{0,0188}$

$=0,0293$

9^o Passo

$RR=\sqrt{VE^2}$

$=\sqrt{0,004}$

$=0,063$

10^o Passo

$VP=\sqrt{\cfrac{QM_P-QM_E}{or}}$

$\sqrt{\cfrac{1,04-0,00338}{(3*3)}}$

$=0,339$

11^o Passo

$VT=\sqrt{RR^2 + VP^2}$

$=\sqrt{0,00424 + 0,3398}$

$=0,3460mm$

13^o Passo - Tabela de % em relação à variação total

Fonte de variação	Desvio Padrão	% Variação Total
Repetitividade	0,0582	16,81
Reprodutibilidade	0,0293	8,46
Peça	0,3398	98,21
RR	0,0651	18,829
Total	0,3460	100,00

14^o Passo

$ndc=1,41\times\frac{VP}{RR}$

$=1,41\times\frac{0,3398}{0,0651}$

$=7$

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Conclusão: Temos um bom sistema de medição. A porcentagem RR é baixa (19%) e além disso, temos um ndc=7, o que nos diz que este sistema tem boa capacidade de discriminar peças.

Modelo C : sem operador

Exemplo 2.4.3

Considere o estudo realizado para analisar a eficiência do sistema de medição para medir o dimensional da porta de uma máquina escavadeira. O sistema de medição utiliza uma máquina de medição por coordenada com CNC. Neste caso, consideramos que o operador não influência a medição, fato que nos levou a considerar apenas um operador e 15 peças na análise.

Peça	Réplicas			Média	Desvio Padrão	Amplitudes
Peça	I	II	III	Média	Desvio Padrão	Amplitudes
1	461,28	461,5	461,2	461,327	0,1553	0,3
2	458,17	458,62	458,61	458,467	0,2569	0,45
3	460,57	460,28	460,32	460,39	0,1571	0,29
4	459,28	459,66	459,58	459,507	0,2	0,38
5	461,28	461,12	461,18	461,193	0,0808	0,16
6	460,25	460,68	460,28	460,403	0,24	0,43
7	458,82	458,95	458,66	458,81	0,1452	0,29
8	461,58	461,1	461,18	461,287	0,2571	0,48
9	459,36	459,52	459,57	459,483	0,1067	0,21
10	459,62	459,34	459,54	459,5	0,1442	0,28
11	461,38	461,57	461,53	461,4933	0,1001	0,19
12	458,67	459,03	458,98	458,8933	0,195	0,36
13	462,57	462,28	462,32	462,39	0,1571	0,29
14	459,58	459,66	459,28	459,5067	0,2003	0,38
15	461,76	461,12	461,15	461,3433	0,3611	0,64

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Desvio Padrão entre as Médias das peças $\mathbf{s_{p}}= 1,1847$

$QME = 0,03884$

6º Passo
Faça a análise gráfica: construir o gráfico de controle $\overline{X}$ e R para avaliar as médias e as amplitudes de cada repetição por operador.

7º Passo

$VE=\sqrt{QME}$

$=\sqrt{0,038}$

$=0,197$

8º Passo

$VO = \sqrt{~V_{oper}^2}$

$=\sqrt{0}$

$=0$

9º Passo

$RR=\sqrt{VE^2 + VO^2}$

$=\sqrt{0,038+0}$

$=0,197$

10º Passo

$VP = \sqrt{~\frac{QM_P - QM_E}{or}}$

$= s_{p}$

$=1,185$

11º Passo

$VT = \sqrt{RR^2 + VP^2}$

$=\sqrt{0,197+1,184}$

$=1,20$

13º Passo - Tabela de % em relação à variação total

VARIAÇÃO TOTAL E/OU TOLERÂNCIA
	Desvio padrão	Variação total (%)
Repetitividade	0,197073027	16,40808397
Peças	1,184794492	98,64468957
Repetitividade e reprodutibilidade	0,197073027	16,40808397
Total	1,201072757	100

14º Passo

$ndc=1,41 \times \frac{VP}{RR}$

$=1,41 \times \frac{1,18}{0,197}$

$=8$

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

Exemplo 2.4.4

Exemplo do Manual de Análises do Sistema de Medição (MSA 4º edição) página 118. A coleta de dados do dispositivo de medição é apresentada na tabela a seguir.

Operador	Peça	Medida
1	1	0,29
1	2	-0,56
1	3	1,34
1	4	0,47
1	5	-0,8
1	6	0,02
1	7	0,59
1	8	-0,31
1	9	2,26
1	10	-1,36
1	1	0,41
1	2	-0,68
1	3	1,17
1	4	0,5
1	5	-0,92
1	6	-0,11
1	7	0,75
1	8	-0,2
1	9	1,99
1	10	-1,25
1	1	0,64
1	2	-0,58
1	3	1,27
1	4	0,64
1	5	-0,84
1	6	-0,21
1	7	0,66
1	8	-0,17
1	9	2,01
1	10	-1,31
2	1	0,08
2	2	-0,47
2	3	1,19
2	4	0,01
2	5	-0,56
2	6	-0,2
2	7	0,47
2	8	-0,63
2	9	1,8
2	10	-1,68
2	1	0,25
2	2	-1,22
2	3	0,94
2	4	1,03
2	5	-1,2
2	6	0,22
2	7	0,55
2	8	0,08
2	9	2,12
2	10	-1,62
2	1	0,07
2	2	-0,68
2	3	1,34
2	4	0,2
2	5	-1,28
2	6	0,06
2	7	0,83
2	8	-0,34
2	9	2,19
2	10	-1,5
3	1	0,04
3	2	-1,38
3	3	0,88
3	4	0,14
3	5	-1,46
3	6	-0,29
3	7	0,02
3	8	-0,46
3	9	1,77
3	10	-1,49
3	1	-0,11
3	2	-1,13
3	3	1,09
3	4	0,2
3	5	-1,07
3	6	-0,67
3	7	0,01
3	8	-0,56
3	9	1,45
3	10	-1,77
3	1	-0,15
3	2	-0,96
3	3	0,67
3	4	0,11
3	5	-1,45
3	6	-0,49
3	7	0,21
3	8	-0,49
3	9	1,87
3	10	-2,16

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Objetivo da curva de desempenho

A construção de uma curva de desempenho do dispositivo de medição (GPC, do inglês Gage Performance Curve) tem como objetivo ilustrar como varia a probabilidade de aceitação (P_a) de uma peça em função do seu valor de referência (VR). Uma vez que o erro de medição foi caracterizado, isto é, sua média e desvio padrão são determinados, torna-se possível calcular a probabilidade de aceitação da peça dado eu valor de referência. Admitindo que o erro é normalmente distribuído com média igual a tendência (b) e o desvio padrão (σ) igual ao RR, conclui-se que o valor da medição de uma peça tem distribuição normal com média igual a VR+b e desvio padrão igual ao RR.

Probabilidade de aceitação

Portanto, a probabilidade de aceitar uma peça com valor de referência igual a VR é dada por

$P_a=\int^{LSE}_{LIE}\frac{1}{\sqrt{2\pi (\mbox{RR})^2}}}\exp\left(\frac{x-(VR+b)}{\mbox{RR}}\right)^2~dx,$

sendo LIE e LSE os limites inferior e superior de Especificação, respectivamente. Podemos reescrever essa fórmula como

$P_a=\Phi\left(\frac{LSE-(VR+b)}{\mbox{RR}}\right)-\Phi\left(\frac{LIE-(VR+b)}{\mbox{RR}}\right),~~~~~~(33)$

sendo Φ a função de distribuição acumulada da normal padrão N(0,1).

Exemplo 2.4.3

Considere um processo de produção de uma haste cujos limites de especificação são dados por LIE = 0,6 mm e LSE = 1 mm. Uma análise do sistema de medição foi realizada encontrando uma tendência b = 0,05 mm e RR = 0,05 mm. Determine a probabilidade de aceitar peças cujos valores de referência (VR) são 0,5 mm, 0,7 mm e 0,9 mm.

Para a peça com valor de referência VR = 0,5 mm, a probabilidade de aceitação é dada por

$P_a=\Phi \left(\frac{LSE - (VR + b)}{RR}\right) - \Phi\left(\frac{LIE - (VR + b)}{RR}\right)$

$=\Phi \left(\frac{1,0 - (0,5 + 0,05)}{0,05}\right) - \Phi\left(\frac{0,6 - (0,5 + 0,05)}{0,05}\right)$

$=\Phi \left(9,0\right) - \Phi \left(1,0\right) = 1,0 - 0,84$

$=0,16.$

Para a peça com valor de referência VR = 0;7 mm a probabilidade de aceitação é dada por

$P_a=\Phi \left(\frac{1,0-(0,7+0,05)}{0,05}\right)-\Phi\left(\frac{0,6-(0,7+0,05)}{0,05}\right)$

$=\Phi\left(5,0\right)-\Phi \left(-3,0\right)=0,999.$

Enquanto que para a peça com valor de referência VR = 0;9 mm a probabilidade de aceitação é dada por

$P_a=\Phi\left(\frac{1,0-(0,9+0,05)}{0,05}\right)-\Phi\left(\frac{0,6-(0,9 + 0,05)}{0,05}\right)$

$=\Phi\left(1,0\right)-\Phi \left(-7,0\right)=0,84$

Fazendo o cálculo desta probabilidade de aceitação para vários valores de VR, obtemos a curva GPC ilustrada na Figura 5 abaixo.

Figura 2.4.3: Curva GPC.

A Figura 2.4.4 ilustra a curva GPC para um sistema de medição ideal.

Figura 2.4.4: Curva GPC ideal.

2.4 - Repetitividade e Reprodutibilidade

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