2.5 Testes Individuais e Intervalos de Confiança para os Parâmetros

2.5.1 Testes individuais para os coeficientes da regressão

Testes de hipóteses individuais para os coeficientes da regressão são fundamentais para se determinar se cada variável explicativa é importante para o modelo de regressão. Por exemplo, o modelo pode ser mais eficaz com a inclusão ou com a exclusão de novas variáveis.

Adicionar uma variável ao modelo de regressão sempre causa um aumento na soma dos quadrados da regressão e um decréscimo na soma dos quadrados do erro. Entretanto, a adição de variáveis regressoras também aumenta a variância do valor ajustado $\widehat{Y}$ . Por isso, devemos ter cuidado para incluir somente variáveis regressoras que realmente explicam a variável resposta.

As hipóteses para testar a significância de qualquer coeficiente de regressão individualmente são dadas por,

$\left\lbrace \begin{array}{c}H_0:\beta_j =0\\H_1:\beta_j \neq0\\\end{array} \right.;~~j = 0, 1, \ldots, p.$

Se $H_0$ ( $\beta_j =0$ ) não é rejeitada, então podemos retirar $x_j$ do modelo já que esta variável não influencia a resposta de forma significativa.

Sabemos que $Y\sim N_p(X\beta;\sigma^2I_p)$ e que $\widehat{\beta}=(X'X)^{-1}X'Y$ . Como $\widehat{\beta}$ é combinação linear de distribuições normais, segue que $\widehat{\beta}$ também é normal, isto é

$\widehat{\beta}\sim N_p((X'X)^{-1}X'Y;\sigma^2C),$

em que $C=(X'X)^{-1}$ . Logo, temos que $\widehat{\beta}_j \sim N(\beta_j;\sigma^2C_{jj})$ com $C_{jj}$ sendo o $j$ -ésimo elemento da diagonal de $(X'X)^{-1}$ , $j=0,1,\dots,p$ . Portanto, obtemos

$N_0=\dfrac{\widehat{\beta}_ j-\beta_j}{\sqrt{\sigma^2 C_{jj}}} \sim N(0,1).$

Temos também que

$\dfrac{(n-p-1)\widehat{\sigma}^2}{\sigma^2} \sim \chi ^2_{(n-p-1)},$

independente de $N_0$ . Logo, sob $H_0$ temos que a estatística de teste é dada por

$t_0= \dfrac{\dfrac{\widehat{\beta_j}}{\sqrt{\sigma^2 C_{jj}}}}{\sqrt{\dfrac{(n-p-1)\widehat{\sigma}^2}{\sigma^2}}}=\dfrac{\widehat{\beta}_j}{\sqrt{\widehat{\sigma}^2C_{jj}}} \sim t_{(n-p-1)},~~~~~~(2.5.1.1)$

A hipótese nula $H_0:\beta_j =0$ é rejeitada se

$\mid t_0\mid \textgreater t_{(1-\dfrac{\alpha}{2},\,n-p-1)}.$

Considerando o p-valor, dado por meio da expressão

$2*P\left( t_{n-p-1}\textgreater \mid t_0 \mid \right),$

rejeitamos $H_0$ se p_valor $\textless~\alpha$ .

O denominador é frequentemente chamado de erro padrão de $\widehat{\beta}_j$ e denotado por

$se_{(\widehat{\beta}_j)}=\sqrt{\widehat{\sigma}^2C_{jj}}.$

2.5.2 Intervalo de confiança para os coeficientes da regressão

Considerando a estatística dada em (2.5.1.1), um intervalo com $100(1-\alpha)\%$ de confiança para os coeficientes da regressão $\beta_j,~~~ j=0,1,2,\ldots,p,$ é dado por

$\left[\widehat{\beta}_j-t_{\left(\dfrac{\alpha}{2},n-p-1\right)}{\sqrt{\widehat{\sigma}^2 C_{jj}}}\,;\,\widehat{\beta}_j+t_{\left(\dfrac{\alpha}{2},n-p-1\right)}{\sqrt{\widehat{\sigma}^2 C_{jj}}}\, \right].$

Exemplo 2.5.1

Para ilustrar o uso da estatística $t$ , utilizamos novamente os dados transformados no "Exemplo 2.2.3". Vamos agora construir a estatística $t$ para as hipóteses: $H_0:\beta_0=0$ , $H_0:\beta_1=0$ e $H_0:\beta_2=0$ .

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Solução:

Do "Exemplo 2.2.3" temos que

Assim, temos que $C_{00}=0,0720$ , $C_{11}=0,1660$ e $C_{22}=0,1429$ . Além disso, pelo "Exemplo 2.3.1" segue que $\widehat{\sigma}^2=1.220,10$ . Logo, as estatísticas $t$ são dadas por

Para $H_0:\beta_0=0,$

$t_0=\dfrac{\widehat{\beta}_0}{\sqrt{\widehat{\sigma}^2~C_{00}}}$

$=\dfrac{1.242,31}{\sqrt{(1.220,1)(0,0720)}}=\dfrac{1.242,31}{9,3745}=132,521.$

Para $H_0:\beta_1=0,$

$t_0=\dfrac{\widehat{\beta}_2}{\sqrt{\widehat{\sigma}^2~C_{22}}}$

$=\dfrac{323,43}{\sqrt{(1.220,1)(0,1660)}}=\dfrac{323,43}{14,2296}=22,730.$

Para $H_0:\beta_2=0,$

$t_0=\dfrac{\widehat{\beta}_1}{\sqrt{\widehat{\sigma}^2~C_{11}}}$

$=\dfrac{-54,77}{\sqrt{(1.220,1)(0,1429)}}=\dfrac{-54,77}{13,203}=-4,149.$

Como todos os valores absolutos destas estatísticas são maiores do que o valor crítico $t_{(0,975;11)}=2,201,$ as hipóteses $H_0$ são rejeitadas nos três casos. Desta forma, as variáveis tempo e dose de íons contribuem significativamente para o modelo.

Analisando o P-valor, temos que

Para $H_0:\beta_0=0$ ,

$2*P\left( t_{(11)}\textgreater\mid 132,521 \mid \right)=0,000.$

Para $H_0:\beta_1=0$ ,

$2*P\left( t_{(11)}\textgreater\mid 22,730 \mid \right)=0,000.$

Para $H_0:\beta_2=0$ ,

$2*P\left( t_{(11)}\textgreater\mid -4,149 \mid \right)=0,00162.$

Com isso, rejeitamos $H_0$ para $\beta_0$ , $\beta_1$ e $\beta_2$ pois os respectivos p_valores são menores do que $\alpha$ .

Exemplo 2.5.2

Construir um intervalo de confiança com $95\%$ para o parâmetro $\beta_1$ , considerando os dados do "Exemplo 2.2.3".

Solução:

Lembramos que $\widehat{\beta}_1=323,43$ , $\widehat{\sigma}^2=1.220,1$ e que $C_{11}=0,1660$ . Assim, o intervalo com 95\% de confiança para $\beta_1$ é dado por