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4.5 - Intervalo de confiança para razão entre duas variâncias

Vejamos como construir um intervalo de confiança para a razão entre duas variâncias de populações Normais independentes. Para isso retiramos uma amostra aleatória $ X_1,X_2,\dots,X_{n_1} $ da população 1, com distribuição $ N(\mu_1,\sigma^2_1) $, e uma amostra $ Y_1,Y_2,\dots,Y_{n_2} $ da população 2, com distribuição $ N(\mu_2,\sigma^2_2) $. Como

$$Q_1=\cfrac{(n_1-1)}{\sigma_1^2}s_1^2\sim\chi_{n_1-1}^2 \quad \hbox{(Qui-quadrado com} \ n_1-1 \ \hbox{graus de liberdade)}$$

$$Q_2=\cfrac{(n_2-1)}{\sigma_2^2}s_2^2\sim\chi_{n_2-1}^2 \quad \hbox{(Qui-quadrado com} \ n_2-1 \ \hbox{graus de liberdade)}$$

onde $ s^2_1 $ é a variância amostral da população 1 e $ s^2_2 $ a variância amostral da população 2, a expressão F definida por

$$F=\cfrac{\cfrac{Q_1}{N_1-1}}{\cfrac{Q_2}{n_2-1}}=\cfrac{\cfrac{s_1^2}{\sigma_1^2}}{\cfrac{s_2^2}{\sigma_2^2}}=\cfrac{s_1^2}{s_2^2}\cfrac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}$$

tem distribuição F de Snedecor com n1-1 graus de liberdade no numerador e $ n_2-1 $ graus de liberdade no denominador e denotamos por $ F_{(n_1;n_2-1)} $.

Consideremos que a probabilidade da variável F tomar valores entre $ F_{(\frac{\alpha}{2};n_1-1;n_2-1)} $ e $ F_{(1-\frac{\alpha}{2};n_1-1;n_2-1)} $ é $ 1-\alpha $. Esses valores são obtidos na Tabela da distribuição de Fisher-Snedecor referente ao valor de α e aos graus de liberdade do numerador e do denominador, n1-1  e n2-1, respectivamente. Veja a figura a seguir.

Observando a equação

$$F_{\alpha/2} \ \textless \ F \ \textless \ F_{(1-\alpha/2)}$$

vemos que podemos substituir F pela expressão acima e assim temos

$$F_{\alpha/2} \ \textless \frac{s_1^2}{s_2^2}\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2} \ \textless \ F_{(1-\alpha/2)}.$$

Reescrevendo esta equação obtemos:

$$\cfrac{1}{F_{(1-\alpha/2)}}\frac{s_1^2}{s_2^2} \ \textless \ \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \ \textless \ \frac{1}{F_{\alpha/2}}\frac{s_1^2}{s_2^2}.$$

Assim,

$$P\left(\frac{1}{F_{(1-\alpha/2)}}\frac{s_1^2}{s_2^2} \ \textless \ \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \ \textless \ \frac{1}{F_{\alpha/2}}\frac{s_1^2}{s_2^2}\right)=1-\alpha.$$

Observe que $ F_{(1-\alpha/2,n_1-1,n_2-1)}=\frac{1}{F_{(\alpha/2,n_2-1,n_1-1)}} $ e $ F_{(\alpha/2,n_1-1,n_2-1)}=\frac{1}{F_{(1-\alpha/2,n_2-1,n_1-1)}} $.

Logo, o intervalo com 100(1-α)% de confiança para a razão entre duas variância será dado por

$$IC(\sigma_1^2/\sigma_2^2,1-\alpha)=\left(\frac{1}{F_{(1-\alpha/2)}}\frac{s_1^2}{s_2^2};\frac{1}{F_{(\alpha/2)}}\frac{s_1^2}{s_2^2}\right).$$