5.8 - Teste T pareado

Para realizarmos os testes de igualdade de variâncias e os testes de médias, precisamos que as duas populações sejam independentes. Porém, na prática, temos algumas situações onde as populações não são independentes. Numa situação de comparação inter laboratorial onde dois laboratórios medem a mesma peça, por exemplo, as medidas entre os laboratórios não são independentes. Neste caso, utilizamos o teste T pareado.

Consideremos duas amostras dependentes X₁, ..., X_n e Y₁, ..., Y_n. Neste caso consideraremos observações pareadas, isto é, podemos considerar que temos na realidade uma amostra de pares (X₁,Y₁), ..., (X_n,Y_n). Vamos definir D_i = X_i - Y_i, para i = 1, 2, ..., n. Assim obteremos a amostra D_1, ..., D_n, resultante das diferenças entre os valores de cada par. Aqui, apesar das amostras serem dependentes, vamos considerar que D_i ~ N(μ_D, σ_D²).

Para realizar o teste T pareado devemos primeiramente estabelecer uma das hipóteses

$\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_D=0\\H_1:\mu_D\neq 0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l} H_0:\mu_D=0\\H_1:\mu_D \ \textgreater \ 0\end{array}\right. \ \hbox{ou} \ \left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_D=0 \\ H_1:\mu_D \ \textless \ 0\end{array}\right.$

O parâmetro μ_D será estimado pela média amostral das diferenças, ou seja, $\overline{D}$ , O parâmetro σ_D² será estimado pela variância amostral da diferença, ou seja,

$s_D^2=\frac{\sum_{i=1}^n(D_i-\overline{D})^2}{n-1}.$

O teste será realizado pela expressão

$T=\frac{\overline{D}-\mu_D}{\frac{s_D}{\sqrt{n}}}$

que sob H₀segue uma distribuição t de Student com n - 1 graus de liberdade. Tudo o que foi dito para o teste T comum serve para o teste T pareado, basta substituir a média por μ_D e o desvio padrão amostral por s_D. Com isto, temos que a um nível de significância α:

1. Os pontos críticos são determinados por $t_{\alpha/2}$ e $-t_{\alpha/2}$ para o caso bilateral, $t_{\alpha$ para o caso unilateral à direita e $-t_{\alpha}$ para o unilateral à esquerda.

2. Calculamos sob a hipótese nula, o valor

$T_{obs}=\frac{\overline{D}-\mu_D}{\frac{s_D}{\sqrt{n}}}$

3. Critério:

Teste bilateral: se $T_{obs} \ \textgreater \ t_{\alpha/2}$ ou $T_{obs} \ \textless \ -t_{\alpha/2}$ rejeitamos H₀. Caso contrário, não rejeitamos.
Teste unilateral à direita: se $T_{obs} \ \textgreater \ t_{\alpha}$ rejeitamos H₀. Caso contrário, não rejeitamos H₀.
Teste unilateral à esquerda: se $T_{obs} \ \textless \ -t_{\alpha}$ rejeitamos H₀. Caso contrário não rejeitamos H₀.

4. O p-valor no caso bilateral é dado por

$\hbox{P-valor} = P[|t| \ \textgreater \ |T_{obs}||H_0] = 2P[t \ \textgreater \ |T_{obs}| | H_0].$

Se o teste é unilateral à direita, o p-valor é dado por

$\hbox{P-valor} = P[t \ \textgreater \ T_{obs}|H_0]$

e se o teste é unilateral à esquerda, o p-valor é dado por

$\hbox{P-valor} = P[t \ \textless \ T_{obs}|H_0]$

5. O intervalo de confiança para o parâmetro $\mu_D$ é dado por

$IC(\mu_D,1-\alpha)=\left(\overline{D}-t_{\alpha/2}\frac{s_D}{\sqrt{n}};\overline{D}+t_{\alpha/2}\frac{s_D}{\sqrt{n}}\right)$

para o caso bilateral. Se o teste é unilateral à direita, o intervalo de confiança para o parâmetro $\mu_D$ é dado por

$IC(\mu_D,1-\alpha)=\left(\overline{D}-t_{\alpha}\frac{s_D}{\sqrt{n}};\infty\right)$

e, se o teste é unilateral à esquera, o intervalo de confiança para o parâmetro $\mu_D$ é dado por

$IC(\mu_D,1-\alpha)=\left(-\infty;\overline{D}+t_{\alpha}\frac{s_D}{\sqrt{n}}\right).$

6. A probabilidade de erro do tipo II é dada por

$\beta=\Psi(t_{\alpha/2})-\Psi(-t_{\alpha/2})$

para o caso bilateral e, para os casos unilateria à direita e à esquerda, as probabilidades de erro do tipo II são dadas, respectivamente, por

$\beta=\Psi(t_{\alpha})\quad \hbox{e}\quad \beta=1-\Psi(-t_{\alpha})$

onde $\Psi$ é a função densidade acumulada da distribuição t com n - 1 graus de liberdade e parâmetro de não-centralidade $\frac{\delta\sqrt{n}}{s_D}.$

7. Para calcular o poder do teste ou o tamanho amostral, utilizamos o software Action da mesma forma que no teste T comum.

Exemplo 5.8.1: Consideremos X₁, ..., X₂₀ uma amostra de medições do laboratório da Empresa A e Y₁, ..., Y₂₀ uma amostra de medições do laboratório da Empresa B (tabela a seguir). Os testes dos dois laboratórios são realizados no mesmo padrão, por isso, existe uma correlação entre eles, ou seja, as amostras são dependentes. Avalie a compatibilidade das medições entre o laboratório da empresa A e do laboratório da empresa B.

Laboratório da Empresa A (X_i)	Laboratório da Empresa B (Y_i)	Diferença (D_i)
1,00552	0,01942	0,98610
-1,49928	-0,46512	-1,03416
0,21367	0,53218	-0,31851
0,44658	-0,14844	0,59502
0,62766	-0,60021	1,22787
0,31091	0,06495	0,24596
-0,83878	0,33013	-1,16891
-0,29054	0,12116	-0,41170
-0,08487	0,74269	-0,82756
-1,26465	-1,64232	0,37767
-0,06353	0,05497	-0,11850
-1,07632	0,76342	-1,83974
-1,34134	1,74131	-3,08265
-0,55062	-0,06392	-0,48670
1,61848	-1,88146	3,49994
0,50997	-0,76135	1,27132
0,76027	-0,23009	0,99036
0,68061	-1,16800	1,84861
-1,91464	0,88392	-2,79856
-0,20072	0,96512	-1,16584

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Neste caso, para minimizarmos o impacto desta correlação, tomamos a diferença entre as medições dos dois laboratórios e aplicamos um teste T pareado.

Temos que $\overline{D}$ = -0,110499 e s_D = 1,56908 então, sob H₀,

$T_{obs}=\frac{-0,11}{\frac{1,57}{\sqrt{20}}}=-0,31$

Considerando α = 0,05, encontramos na tabela t de Student com 19 graus de liberdade os valores críticos -t_0,025 = -2,093 e t_0,025 = 2,093. Assim, como -2,093 < T_obs < 2,093, podemos dizer que não temos evidências para rejeitar a hipótese de que as médias são iguais.

O p-valor é dado por

$\hbox{P-valor}=P[|t| \ \textgreater \ |T_{obs}||H_0]= 2P[t \ \textgreater \ |T_{obs}| | H_0]=0,7562.$

O intervalo de confiança é dado por

$IC(\mu_D,0,95)=\left(-0,1105-2,093\frac{1,569}{\sqrt{20}};-0,1105+2,093\frac{1,569}{\sqrt{20}}\right)=(-0,8449;0,6239).$

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Vamos utilizar o Action para calcular o poder do teste em detectar uma diferença δ = 1,2 entre o valor real e o hipotético. Então lançando os valores n = 20, δ = 1,2, σ = 1,56908 e α = 0,05 temos como resultado P = 0,90024.

A probabilidade de erro do tipo II é dada por

$\beta=\Psi(t_{0,025})-\Psi(-t_{-0,025})=0,099762$