5.9 - Teste para comparação de duas proporções

Consideremos X e Y variáveis aleatórias que representam determinada característica de duas populações com distribuição de Bernoulli com parâmetros p₁ e p₂ respectivamente.

Retiremos duas amostras aleatórias independentes, X₁, ..., X_n1 e Y₁, ..., Y_n2 , dessas populações. Cada X_i, i = 1, ..., n₁, e cada Y_j , j = 1, ..., n₂, tem distribuição de Bernoulli com parâmetros p₁ e p₂ respectivamente, isto é,

$X_1,\ldots,X_{n_1}\sim\hbox{Bernoulli}(p_1) \quad \text{e} \quad Y_1,\ldots,Y_{n_2}\sim\hbox{Bernoulli{(p_2)$

com médias p₁ e p₂e variâncias σ₁² = p₁(1-p₁) e σ₂² = p₂(1-p₂), respectivamente.

As variáveis $\hat{p}_1 = \overline{X}$ e $\hat{p}_2=\overline{Y}$ são estimadores de máxima verossimilhança para p₁ e p₂, respectivamente, e tem distribuição amostral aproximadamente normal:

$\hat{p}_1\sim N\left(p_1,\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}\right)\quad\text{e}\quad\hat{p}_2\sim N\left(p_2,\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}\right).$

Assim, temos que

$\hat{p}_1-\hat{p}_2\sim N\left(p_1-p_2,\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}\right)$

ou seja,

$\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2-(p_1-p_2)}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}\sim N(0,1).$

Para realizarmos o teste para duas proporções com aproximação Normal vamos considerar a hipótese nula p₁ = p₂. Assim, sob a hipótese nula, $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ tem distribuição Normal com média μ = 0 e desvio padrão

$\sigma=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_1}+\frac{p(1-p)}{n_2}}$

onde p = p₁ = p₂.

Como não conhecemos o valor p, vamos estimá-lo como uma média ponderada de $\hat{p}_1$ e $\hat{p}_2$ :

$\hat{p}=\frac{n_1\hat{p}_1+n_2\hat{p}_2}{n_1+n_2}$

Este é o valor que será utilizado em lugar de p para o cálculo de σ. Portanto, temos que

$Z=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_1}+\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_2}}}\sim N(0,1)$

Tendo essas informações, vejamos os passos padra se construir um teste de hipóteses para duas proporções:

1. Estabelecer alguma das hipóteses

$\left\{\begin{array}{l}H_0:p_1=p_2\\H_1:p_1\neq p_2\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:p_1=p_2\\H_1:p_1 \ \textgreater \ p_2\end{array}\right. \ \hbox{ou} \ \begin{array}{l}H_0:p_1=p_2\\H_1:p_1 \ \textless \ p_2\end{array}\right.$

ou seja

$\left\{\begin{array}{l}H_0:p_1-p_2=0\\H_1:p_1-p_2\neq0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:p_1-p_2=0\\H_1:p_1-p_2 \ \textgreater \ 0\end{array}\right. \ \hbox{ou} \ \left\{\begin{array}{l}H_0:p_1-p_2=0\\H_1:p_1-p_2 \ \textless \ 0\end{array}\right.$

2. Fixar o nível de significância α.

3. Determinar a região crítica.

Se o teste é bilateral, devemos determinar os pontos críticos $Z_{\alpha/2}$ e $-Z_{\alpha/2}$ tais que $P[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}]=P[Z \ \textless \ -Z_{\alpha/2}]=\alpha/2$ .

Se o teste é unilateral à direita, devemos determinar o ponto crítico $Z_{\alpha}$ tal que $P[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha}]=\alpha$ .

Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto crítico $-Z_{\alpha}$ tal que $P[Z \ \textless \ -Z_{\alpha}]=\alpha$ .

4. Calcular o valor de $\hat{p}$ .

5. Calcular, sob a hipótese nula, o valor

$Z_{obs}=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_1}+\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_2}}}$

6. Critérios:

Para o caso bilateral, se $Z_{obs} \ \textgreater \ z_{\alpha/2}$ ou $Z_{obs} \ \textless \ -z_{\alpha/2}$ , rejeita-se H₀. Caso contrário, aceita-se H₀.
Para o caso unilateral à direita, se $Z_{obs} \ \textgreater \ z_{\alpha}$ , rejeita-se H₀. Caso contrário, aceita-se H₀.
Para o caso unilateral à esquerda, se $Z_{obs} \ \textless \ -z_{\alpha}$ , rejeita-se H₀. Caso contrário, aceita-se H₀.

7. Para calcular o poder necessário para que o teste de duas proporções detecte a diferença entre as proporções p₁ e p₂, utilizamos o software Action. O Action recebe como parâmetros o tamanho da primeira amostra (n₁), o tamanho da segunda amostra (n₂), as propoções (p₁) e (p₂), o valor do poder (P) e o nível de significância (α). As fórmula utilizadas são dadas por

$1-\Phi\left(z_{\alpha/2}-(2\arcsin(\sqrt{p_1})-2\arcsin(\sqrt{p_2}))\sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\right)+$

$\qquad\qquad+\Phi\left(-z_{\alpha/2}-(2\arcsin(\sqrt{p_1})-2\arcsin(\sqrt{p_2}))\sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\right)$

para o teste bilateral,

$\Phi\left(-z_{\alpha}-(2\arcsin(\sqrt{p_1})-2\arcsin(\sqrt{p_2}))\sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\right)$

para o teste unilateral à esquerda e

$1-\Phi\left(z_{\alpha}-(2\arcsin(\sqrt{p_1})-2\arcsin(\sqrt{p_2}))\sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\right)$

para o teste unilateral à direita.

Já para o cálculo do tamanho das amostras necessárias para que o teste detecte uma diferença entre as proporções p₁ e p₂, com determinado poder, basta lançarmos os valores das proporções p₁e p₂, do poder P e do nível de significância α. Com isso, o Action nos fornece o valor dos tamanhos das amostras. As fórmulas utilizadas seguem das acima, isolando n em funções dos demais parâmetros.

Exemplo 5.9.1: Uma empresa que presta serviços de assessoria econômica a outras empresas está interessada em comparar a taxa de reclamações sobre os seus serviços em dois dos seus escritórios em duas cidades diferentes. Suponha que a empresa tenha selecionado aleatoriamente 100 serviços realizados pelo escritório da cidade A e foi constatado que em 12 deles houve algum tipo de reclamação. Já do escritório da cidade B foram selecionados 120 serviços e 18 receberam algum tipo de reclamação. A empresa deseja saber se estes resultados são suficientes para se concluir que os dois escritórios apresentam diferençaa significativa entre suas taxas de reclamações.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Primeiramente, vejamos que as proporções amostrais de reclamações sobre os seviços dos escritórios das cidades A e B são, respectivamente, $\hat{p}_1$ = 0,88 e $\hat{p}_2$ = 0,85.

1. Queremos testar as seguintes hipóteses:

$\left\{\begin{array}{l}H_0:p_1=p_2\\H_1:p_1\neq p_2\end{array}\right.$

ou seja

$\left\{\begin{array}{l}H_0:p_1-p_2=0\\H_1:p_1-p_2\neq 0\end{array}\right.$

2. Fixemos o nível de significância α em 5%.

3. Como α = 0,05, temos que $-z_{\alpha/2}$ = -1,96 e $z_{\alpha/2}$ = 1,96.

4. Como n₁ = 100, n₂ = 120, $\hat{p}_1$ = 0,88 e $\hat{p}_2$ = 0,85, temos que

$\hat{p}=\frac{n_1\hat{p}_1+n_2\hat{p}_2}{n_1+n_2}=\frac{100\times 0,88+120\times 0,85}{220}=\frac{190}{220}=0,864.$

5. Assim temos, sob a hipótese nula, que

$Z_{obs}=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}-2}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_1}+\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_2}}}=\frac{0,03}{0,0464}=0,645.$

6. Conclusão: como -1,96 < Z_obs = 0,645 < 1,96 não se deve rejeitar a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos. Assim, ao nível de significância de 5%, há evidências de que as taxas de reclamações sobre os serviços prestados pelos escritórios da empresa nas cidades A e B são iguais.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

7. Vamos calcular o poder do teste em detectar a diferença entre as proporções p₁ = 0,88 e p₂ = 0,75. Para isto, utilizamos o software Action. Lançando os valores n₁ = 100, n₂ = 120, p₁ 0,88, p₂ = 0,75, a um nível de significância α = 0,05, nos é fornecido o poder P = 0,7085.

O Poder é calculado a seguir:

$\beta=1-\Phi\left(z_{\alpha/2}-(2\arcsin(\sqrt{p_1})-2\arcsin(\sqrt{p_2}))\sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\right)+$