3.2 Teste de Fisher

Teste de Fisher (ou LSD)

O método de Fisher para comparar todos pares de médias controla a taxa de erro ao nível de significância α para cada comparação dois a dois, mas não controla a taxa de erro do experimento. Esse procedimento usa a estatística $t$ para testar $H_{0}: \mu_{i}=\mu_{j}$ , em que

$t_{0}=\dfrac{\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}}{\sqrt{QME\left(\dfrac{1}{n_{i}}+\dfrac{1}{n_{j}}\right)}}.$

O procedimento de Fisher consiste em realizar testes $t$ múltiplos, cada um ao nível de significância α ,somente se o teste $F$ preliminar é significante ao nível α. Este pode ser visto como um procedimento de duas etapas em que a hipótese nula $H_{0}$ é testada no primeiro passo por um teste $F$ de nível α. Se o teste $F$ não é significativo, o procedimento termina sem precisar fazer inferências detalhadas nas diferenças dos pares das médias; caso contrário, cada diferença de par é testada por um teste $t$ com nível α de significância. Esse procedimento é chamado de teste da diferença mínima significativa (least significant difference (LSD) test).

O LSD controla a taxa de erro do experimento ao nível α sobre $H_{0}$ devido a "proteção" fornecida para ssa hipótese pelo teste $F$ preliminar. No entanto, em outras configurações (hipóteses) de médias verdadeiras, a taxa de erro do experimento pode ser maior que α.

Para tamanhos de amostras iguais (dados balanceados), o teste de Fisher considera duas médias significativamente diferentes se o valor absoluto de suas diferenças amostrais ultrapassar

$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}},$

e para tamanhos de amostras diferentes (dados não balanceados)

$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}} \right)},$

em que $t$ é um valor tabelado (ver Tabela do Teste de Fisher no Apêndice) que depende do número de graus de liberdade dos erros ( $N-k$ ).

Em outras palavras, rejeitamos a igualdade entre as médias dos dois níveis se $\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater LSD.$

Há um segundo procedimento de Fisher popularmente chamado como procedimento de Bonferroni que controla a taxa de família de erros do experimento no sentido forte, ou seja, em todas as configurações (hipóteses). Veremos mais detalhes desse procedimento na próxima seção.

Exemplo 3.2.1:

Voltando ao Exemplo 1 (resistência da fibra sintética), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais.

Fator	Resistência_da_Fibra
15	7
15	7
15	15
15	11
15	9
20	12
20	17
20	12
20	18
20	18
25	14
25	18
25	18
25	19
25	19
30	19
30	25
30	22
30	19
30	23
35	7
35	10
35	11
35	15
35	11

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Como os dados são balanceados, temos que:

$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}}$

$LSD=t_{(0,025;25-5)}\sqrt{2\frac{8,06}{5}}$

$LSD=2,086\sqrt{3,224}$

$LSD=3,7455$

Rejeita-se a igualdade entre dois níveis se

$\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater 3,7455$

$\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid$	$\mbox{Resultado}$	$\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid$	$\mbox{Resultado}$
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{20}\mid$	$5,6$	$\mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{30}\mid$	$6,2$
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{25}\mid$	$7,8$	$\mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{35}\mid$	$4,6$
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{30}\mid$	$11,8$	$\mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{30}\mid$	$4,0$
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{35}\mid$	$1,0$	$\mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{35}\mid$	$6,8$
$\mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{25}\mid$	$2,2$	$\mid\overline{y}_{30}-\overline{y}_{35}\mid$	$10,8$

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Conclusão: Ao considerarmos um nível de significância de $5\%$ , não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis: $(15,35); (20,25)$ .

Exemplo 3.2.2:

Voltando ao Exemplo 3.2.1 (modelos de pacotes e volumes de vendas), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais.

Fator	Vendas
1	11
1	17
1	16
1	14
1	15
2	12
2	10
2	15
2	19
2	11
3	23
3	20
3	18
3	17
4	27
4	33
4	22
4	26
4	28

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Como os dados não são balanceados, temos que

$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}}\right)}$

Observemos que n₁= n₂= n₄. Dessa maneira, teremos aqui dois valores distintos para LSD, o valor para comparar o nível 3 com os demais e o valor que compara os níveis com mesmo tamanho de amostras (1, 2 e 4). Calculemos aqui para ilustrar, o valor da LSD para as diferenças entre as médias $\mu_1$ e $\mu_2$ e para $\mu_1$ e $\mu_3$ .

$LSD=t_{\left(\frac{\alpha}{2},N-k\right)}\sqrt{2\frac{QME}{n}}=t_{(\frac{0,05}{2},15)}\sqrt{2\frac{10,55}{5}}=4,378.$

$LSD=t_{\left(\frac{\alpha}{2},N-k\right)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{3}}\right)}=t_{(\frac{0,05}{2},15)}\sqrt{10,55\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4} \right)}=4,643.$

Rejeitamos as igualdades entre os níveis se $|\bar{y_{1}}-\bar{y_{2}}|\textgreater4,378$ ; $|\bar{y_{1}}-\bar{y_{3}}|\textgreater4,643$ ; $|\bar{y_{1}}-\bar{y_{4}}|\textgreater4,378$ ; $|\bar{y_{2}}-\bar{y_{3}}|\textgreater4,643$ ; $|\bar{y_{2}}-\bar{y_{4}}|\textgreater4,378$ e $|\bar{y_{3}}-\bar{y_{4}}|\textgreater4,643.$

$\|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}\|$	Resultado	$\|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}\|$	Resultado
$\|\bar{y_{1.}}-\bar{y_{2.}}\|$	$1,2$	$\|\bar{y_{2.}}-\bar{y_{3.}}\|$	$6,1$
$\|\bar{y_{1.}}-\bar{y_{3.}}\|$	$4,9$	$\|\bar{y_{2.}}-\bar{y_{4.}}\|$	$13,8$
$\|\bar{y_{1.}}-\bar{y_{4.}}\|$	$12,6$	$\|\bar{y_{3.}}-\bar{y_{4.}}\|$	$7,7$