5.2 - Teste para média

Considere uma população da qual retiramos uma amostra X₁, X₂, ..., X_n. Estamos interessados em realizar inferência sobre a média populacional μ.

Se não conhecemos o valor do desvio padrão populacional σ e a amostra é pequena, n < 30, devemos subtituir a expressão

$Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

pela expressão

$T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

onde T tem distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. Para facilitar a execução do teste, podemos seguir os passos:

1. Estabelecer as hipóteses:

Fixamos H₀: μ = μ₀. Dependendo da informação que fornece o problema que estivermos estudando, a hipótese alternativa pode ter uma das três formas abaixo:

H₁: μ ≠ μ₀ (teste bilateral);
H₁: μ > μ₀ (teste unilateral à direita);
H₁: μ < μ₀ (teste unilateral à esquerda).

2. Fixar o nível de significância α.

3. Determinar a região crítica.

Se o teste é bilateral, determinamos os pontos críticos $-t_{\alpha/2}$ e $t_{\alpha/2}$ tais que $P[t \ \textgreater \ t_{\alpha/2}]=P[t \ \textless -t_{\alpha/2}]=\alpha/2$ a partir da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.

Se o teste é unilateral, determinamos o ponto crítico $t_{\alpha}$ tal que $P[t \ \textgreater \ t_{\alpha}]=\alpha$ .

Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto $-t_{\alpha}$ tal que $P[t \ \textless \ -t_{\alpha}]=\alpha$ .

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor:

$T_{obs}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

onde

$\overline{x}$ : valor da média amostral.
μ₀: valor da média populacional sob a hipótese nula.
s: valor do desvio padrão amostral.
n: tamanho da amostra.

5. Critério:

Teste bilateral: se $T_{obs} \ \textgreater \ t_{\alpha/2}$ ou se $T_{obs} \ \textless \ -t_{-\alpha/2}$ , rejeitamos H₀. Caso contrário, aceitamos H₀.

Teste unilateral à direita: se $T_{obs} \ \textgreater t_{\alpha}$ , rejeitamos H₀. Caso contrário, aceitamos H₀.
Teste unilateral à esquerda: se $T_{obs} \ \textless \ -t_{\alpha}$ , rejeitamos H₀. Caso contrário, aceitamos H₀.

6. O p-valor no teste bilateral é dado por

$\hbox{P-valor} \ = P[|t| \ \textgreater \ |T_{obs}||H_0]=2P[t \ \textgreater \ |T_{obs}| | H_0].$

Se o teste é unilateral à direita, o p-valor é dado por

$\hbox{P-valor} \ = P[t \ \textgreater T_{obs}|H_0]$

e, se o teste é unilateral à esquerda, o p-valor é dado por

$\hbox{P-valor} \ = P[t \ \textless T_{obs}|H_0].$

7. Como vimos na Seção 4.1.2 o intervalo de confiança é dado por

$IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{X}+t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à direita, então o intervalo de confiança para o parâmetro μ é dado por

$IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}};\infty\right)$

e, se o teste é unilateral à esquerda, então o intervalo de confiança para o parâmetro μ é dado por

$IC(\mu,1-\alpha)=\left(-\infty;\overline{X}+t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}\right).$

8. O Erro do tipo II é cometido ao aceitar H₀ quando esta é falsa (H₁ é verdadeira).

$P[\hbox{erro do tipo II}]=P[\hbox{Aceitar} \ H_0 | H_1 \ \hbox{é verdadeira}]=\beta.$

Para isto, suponha que a hipótese nula é falsa e que o verdadeiro valor da média é μ = μ₀ + δ. Então, a estatística do teste é

$T_0=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta}{s/\sqrt{n}}.$

que pode ser escrita na forma

$T_0=\frac{\overline{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2(n-1)}}}.$

Como

$\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta)}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N\left(\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{n}},1\right) \quad \hbox{e} \quad \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2$

segue que T₀ tem distribuição t não central com parâmetro de não-centralidade $\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}$ e n - 1 graus de liberdade. Então, temos que para o teste bilateral, a probabilidade de erro do tipo II é a probabilidadfe de T₀ estar entre $-t_{\alpha/2}$ e $t_{\alpha/2}$ , isto é

$\beta=\Psi(t_{\alpha/2})-\Psi(-t_{\alpha/2})$

e, para os casos unilaterais à direita e à esquerda, as probabilidades de erro do tipo II são dadas, respectivamente, por

$\Psi(t_{\alpha}) \quad \hbox{e} \quad 1-\Psi(-t_{\alpha})$

onde $\Psi$ é a função distribuição acumulada da variável aleatória t não central com parâmetro de não-centralidade $\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}$ e $n-1$ graus de liberdade.

9. O poder do teste é calculado como 1 menos a probabilidade de erro do tipo II, ou seja, 1 - β.

Podemos também utilizar o software Action para calcular o poder (dado o tamanho amostral) ou o tamanho amostral necessário para detectar determinada diferença, com um poder previamente especificado. No Action, temos como parâmetros o tamanho da amostra (n), a diferença entre as hipóteses nula e alternativa (δ), o valor do poder (P), o nível de signicância do teste (α) e o desvio-padrão (σ). Para calcular o poder, fornecemos os valores de n, δ, α e σ. As fórmulas utilizadas são

$P=1-\Psi(t_{\alpha/2})+\Psi(-t_{\alpha/2})$

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à esquerda, então

$P=\Psi(-t_{\alpha})$

e se o teste é unilateral à direita, então

$P = 1-\Psi(t_{\alpha})$

onde $\Psi$ é a função distribuição acumulada da variável t não central com n - 1 graus de liberdade e parâmetro de não-centralidade $\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}$ .

Já para o cálculo do tamanho da amostra necessária para que o teste detecte uma diferença pré-determinada entre as hipóteses nula e alternativa, com um determinado poder, basta lançarmos os valores da diferença δ, do desvio-padrão σ, do nível de signicância α e do poder P. Com isso, o Action nos fornece o valor do tamanho amostral n. As fórmulas utilizadas para cada teste são as mesmas acima, basta resolvê-las isolando n.

Exemplo 5.2.1: Um engenheiro de produção quer testar, com base nos dados da tabela a seguir, e para um nível de significância α = 0,05, se a altura média de uma haste está próxima do valor nominal 1055 mm. Uma amostra de 20 hastes foi analisada as medidas obtidas são dadas a seguir.

903,88	1036,92	1098,04	1011,26
1020,70	915,38	1014,53	1097,79
934,52	1214,08	993,45	1120,19
860,41	1039,19	950,38	941,83
936,78	1086,98	1144,94	1066,12

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

A partir dos dados, temos que $\overline{x}$ = 1019,37 e s = 91,37. Para α = 0,05 e n = 20 temos, pela tabela da distribuição t de Student que $t_{\alpha/2}$ = 2,093. Com isso, rejeitamos H₀ se t_obs < -2,093 ou se t_obs > 2,093, onde

$t_{obs}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}.$

Substituindo μ₀ = 1055, $\overline{x}$ = 1019,37, n = 20 e s = 91,37 na equação obtemos:

$t_{obs}=\frac{1019,37-1055}{\frac{91,37}{\sqrt{20}}}=-1,74.$

Assim, como t_obs é maior que -2,093 e menor que 2,093, a hipótese nula não deve ser rejeitada. Em outras palavras, a diferença entre $\overline{x}$ =1019,37 e μ = 1055 não é significativa.

O p-valor é dado por

$P[|t| \ \textgreater \ |t_{obs}| \ | \ H_0]=P[t \ \textgreater \ 1,74 \ | \ H_0]+P[t \ \textless \ -1,74 \ | \ H_0]=0,097$

Como $\overline{x}$ = 1019,37, s = 91,37, n = 20 e α = 0,05, o intervalo de confiança é dado por

$\left(1019,37-2,093\frac{91,37}{\sqrt{20}};1019,37+2,093\frac{91,37}{\sqrt{20}}\right)=(976,60;1062,13).$

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Para calcular o poder do teste em detectar uma diferença δ = 35,63, utilizamos o software Action. Neste caso, temos como valores n = 20, δ = 35,63, α = 0,05, desvio-padrão $\hat{\sigma}$ = s = 91,37 e tipo do teste bilateral. Então, lançando esses valores no Action, nos é fornecido o resultado do poder P = 0,38069. Os resultados calculados e o gráfico são dados a seguir

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Poder do teste	N	Diferença	Nível de significância	Desvio	Hipótese
0,380692	20	35,63	0,05	91,37	Bilateral

Suponha que neste exercício queremos calcular o tamanho da amostra necessário para garantir a rejeição da hipótese nula com probabilidade no mínimo 0,9 quando a diferença entre o valor verdadeiro da média e seu valor hipotético é no máximo 35,63, dado um desvio padrão $\hat{\sigma}$ = s = 91,37. Para resolver este problema, utilizamos o Action, fornecendo os valores α = 0,05, δ = 35,63, σ = 91,37 e P = 0,9. Como resultado temos n = 72.

Os resultados calculados e o gráfico são dados a seguir

Poder do teste	N	Diferença	Nível de significância	Desvio	Hipótese
0,90385	72	35,63	0,05	91,37	Bilateral

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

5.2 - Teste para média

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