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5.3.1 - Teste para proporção utilizando o Teorema Central do Limite

Aproximação normal

Pelo teorema central do limite, $ \overline{X} $ terá distribuição aproximadamente normal, com média p e variância $ \frac{p(1-p)}{n} $, ou seja,

\[\overline{X}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).\]

Obsevamos que $ \overline{X} $ é um estimador de máxima verossimilhança para $ p $, a proporção populacional, e, desse modo, para $ n $ suficientemente grande podemos considerar a distribuição amostral de $ \hat{p}=\overline{X} $ como aproximadamente normal:

\[\hat{p}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).\]

Daí, temos que

\[Z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\sim N(0,1).\]

Vejamos os passos para a construção do teste para proporção.

1. Estabelecer as hipóteses

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: p=p_0\\H_1: p\neq p_0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:p=p_0\\H_1: p \ \textless \ p_0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l} H_0:p=p_0 \\ H_1: p \ \textgreater \ p_0\end{array}\right.\]

se o teste é bilateral, unilateral à esquerda ou unilateral à direita, respectivamente.

2. Fixar o nível de significância $ \alpha $.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é unilateral à direita, determinamos o ponto crítico $ Z_{\alpha} $ tal que $ \mathbb{P}[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha}]=\alpha $.

  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto crítico $ -Z_{\alpha} $ tal que $ \mathbb{P}[Z \ \textless \ -Z_{\alpha}]=\alpha $.

4. Calcular, sob a hipótee nula, o valor

\[Z_{\text{obs}}=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}.\]

5. Critério:

  • Se o teste é bilateral e $ Z_{\text{obs}} \ \textgreater \ Z_{\alpha/2} $ ou $ Z_{\text{obs}} \ \textless \ -Z_{\alpha/2} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Se o teste é unilateral à direita e $ Z_{\text{obs}} \ \textgreater \ Z_{\alpha} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Se o teste é unilateral à esquera e $ Z_{\text{obs}} \ \textless \ -Z{\alpha} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.

6. O p-valor é determinado por

\[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[|Z| \ \textgreater \ |Z_{\text{obs}}| |H_0]=2\mathbb{P}[Z \ \textgreater \ |Z_{\text{obs}}| | H_0]\]

no teste bilateral. Se o teste é unilateral à direita, o p-valor é determinado por

\[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[Z \ \textgreater \ Z_{\text{obs}} | H_0]\]

e, se o teste é unilateral à esquerda

\[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[Z \ \textless \ Z_{\text{obs}} | H_0].\]

7. Como foi visto na Seção 4.2.1 , o intervalo de confiança é dado por

\[IC(p,1-\alpha)=\left(\hat{p}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}};\hat{p}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)\]

se o teste é bilateral. Observamos aqui que o limite inferior do intervalo de confiança não pode ser inferior a zero e o limite superior não deve ser superior a um, uma vez que estamos calculando o intervalo de confiança para uma proporção e não faz sentido considerar uma proporção negativa ou maior do que um neste caso. No caso em que o teste é unilateral à direita, o intervalo de confiança para o parâmetro $ p $ é dado por

\[IC(p,1-\alpha)=\left(\hat{p}-Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p}}{n}};1\right)\]

e, se o teste é unilateral à esquerda, o intervalo de confiança para o parâmetro $ p $ é dado por

\[IC(p,1-\alpha)=\left(0;\hat{p}+Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right).\]

8. Para se calcular o poder (dado um tamanho amostral) ou o tamanho amostral necessário para se obter determinado poder para o teste de uma proporção, utilizamos o software Action. O Action recebe como parâmetros o tamanho da amostra ($ n $), a proporção da hipótese nula ($ p_0 $), a proporção da hipótese alternativa ($ p $), o valor do poder ($ P $) e o nível de significância ($ \alpha $). Então, para se calcular o poder de um teste de proporção em detectar uma diferença entre a proporção da hipótese nula ($ p_0 $) e uma proporção $ p $ diferente da hipótese nula, a um nível de significância $ \alpha $ específico, as fórmulas utilizadas pelo Action são dadas por

\[P=1-\Phi(Z_{\alpha/2}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})+\Phi(-Z_{\alpha/2}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})\]

para o teste bilateral. Se o teste é unilateral à esquerda,

\[P=\Phi(-Z_{\alpha}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})\]

e se o teste é unilateral à direita,

\[P=1-\Phi(Z_{\alpha}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})\]

onde $ \Phi $ é a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição normal padrão. A transformação não-linear $ \phi=2\arcsin(\sqrt{p}) $ é utilizada na tentativa de detectar poderes iguais para diferenças iguais entre as proporções $ p $ e $ p_0 $.

Já para o cálculo do tamanho da amostra necessária para que o teste detecte uma diferença entre a proporção hipotética $ p_0 $ e a proporção real $ p $, com determinado poder, basta lançarmos os valores das proporções $ p_0 $ e $ p $, do poder $ P $ e do nível de significância $ \alpha $. Com isso, o Action nos fornece o valor do tamanho da amostra.

Exemplo 5.3.1.1: Um fabricante garante que $ 90\% $ das peças que fornece à linha de produção de uma determinada fábrica estão de acordo com as especificações exigidas. A análise de uma amostra de $ 200 $ peças revelou $ 25 $ defeituosas. A um nível de $ 5\% $, podemos dizer que é verdadeira a afirmação do fabricante?

1. Estabelecemos as hipóteses

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: p=0,9\\H_1: p \ \textless \ 0,9\end{array}\right.\]

2. Fixemos o nível de significância $ \alpha = 0,05 $.

3. Como $ \alpha = 0,05 $, $ -Z_{\alpha}=-1,64 $.

4. Temos que $ \hat{p}=0,875 $ e, sob a hipótese nula, $ p_0=0,9 $. Assim,

\[Z_{\text{obs}}=\frac{0,875-0,9}{\sqrt{(0,9)(0,1)/200}}=-1,178.\]


5. Conclusão: como $ -1,64 = -Z_{\alpha} \ \textless \ Z_{\text{obs}}= -1,178 $, não rejeitamos $ H_0 $. Portanto, temos evidências de que a afirmação do fabricante é verdadeira.

6. Vamos agora calcular o P-valor:

\[\text{P-valor} \ = \mathbb{P}[Z \ \textless \ Z_{\text{obs}}| H_0]=\mathbb{P}[Z \ \textless \ -1,178 | H_0]=0,1192.\]

7. Como $ n = 200 $, $ \hat{p} = 0,875 $, $ -Z_{\alpha} = -1,64 $, temos que o intervalo de confiança é

\[\left(0;0,875+1,64\sqrt{\frac{0,875(1-0,875)}{200}}\right)=(0;0,9134).\]

Usando o software Action temos os seguintes resultados:


 

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

8. Se queremos calcular o poder do teste em detectar a diferença entre a proporção hipotética $ p_0 = 0,9 $ e uma proporção real $ p=0,8 $ a um nível de significância $ \alpha = 0,05 $, lançamos os valores correspondentes no software Action, escolhendo o teste unilateral à esquerda (Menor que), donde obtemos que $ \text{Poder} \ = 0,9910 $ aproximadamente. Os resultados estão calculados na tabela a seguir


 

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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Suponha que estivéssemos no teste unilateral à esquerda e quiséssemos calcular o tamanho amostral necessário para se detectar a diferença entre a proporção hipotética $ p_0 = 0,9 $ e uma proporção real $ p= 0,8 $ a um nível de significância $ \alpha = 0,05 $ e com um poder de $ 0,9 $. Então, usando o Action, nos seria fornecido um tamanho amostral $ n = 106,3 $. Ou seja, seria necessário uma amostra de tamanho $ 107 $.

Os resultados podem ser conferidos na tabela abaixo


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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Aproximação Normal com Correção de Continuidade

Sugere-se que seja feita uma correção de continuidade ao se realizar um teste de uma proporção pelo fato de se aproximar a distribuição Binomial, que é discreta, por uma Normal, que é contínua. Essa correção consiste em substituir a equação

\[Z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\sim N(0,1)\]

por

\[Z_c=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{(\hat{p}-p_0)+1/(2n)}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \ \hbox{se} \ \hat{p}- p_0 \ \textless \ 0\\\dfrac{(\hat{p}-p_0)-1/(2n)}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \hbox{se} \ \hat{p}-p_0 \ \textgreater \ 0\end{array}\right.\]

 A ideia é evitar que a rejeição de $ H_0 $ seja resultante da aproximação feita, o que poderia ocorrer eventualmente quando $ Z $ fosse bastante próximo do valor crítico.

Observação: O teste é realizado de maneira análoga ao visto anteriormente.

Exemplo 5.3.1.2: Considerando o Exemplo 5.3.1.1, vamos realizar o teste para proporção utilizando a aproximação Normal com correção de continuidade.

1. Estabelecemos as hipóteses

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: p=0,9\\H_1: p \ \textless \ 0,9\end{array}\right.\]

2. Fixamos o nível de significância $ \alpha = 0,05 $.

3. Como $ \alpha = 0,05 $, temos que $ -Z_{0,05} = -1,64 $ 

4. $ \hat{p} = 0,875 $ e, sob a hipótese nula, $ p_0 = 0,9 $. Assim, como $ \hat{p} - p_0 = 0,875 - 0,9 = -0,025 \ \textless \ 0 $, temos pela equação de $ Z_c $ que

\[Z_c=\frac{(0,875-0,9)+1/400}{\sqrt{(0,9)(0,1)/200}}=-1,061.\]

5. Conclusão: como $ Z_c = -1,061 \ \textgreater \ -1,64 $, não rejeitamos $ H_0 $. Portanto, temos evidências de que a afirmação do fabricante é verdadeira.

6. Vamos agora calcular o p-valor:

\[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Z \ \textless \ -1,061 | H_0]=0,1444.\]

7. Temos que $ n = 200 $, $ \hat{p} = 0,875 $, $ Z_{\alpha} = 1,64 $. Além disso, $ \hat{p} = 0,875 \ \textgreater \ 0,5 $ o que implica que $ p_c = 0,875+1/400 = 0,8775 $. Assim, temos que o intervalo de confiança é dado por

\[\left(0;0,8775+1,64\sqrt{\frac{0,8775(1-0,8775)}{200}}\right)=(0;0,9156).\]

 

Usando o software Action temos os seguintes resultados:


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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.