5.3.1 - Teste para proporção utilizando o Teorema Central do Limite

Aproximação normal

Pelo teorema central do limite, $\overline{X}$ terá distribuição aproximadamente Normal, com média p e variância $\frac{p(1-p)}{n}$ , ou seja,

$\overline{X}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).$

Obseve que, pelo método de Estimadores de Máxima Verossimilhança, $\overline{X}$ é um estimador de máxima verossimilhança para p, a proporção populacional, e, desse modo, para n grande podemos considerar a distribuição amostral de $\hat{p}=\overline{X}$ como aproximadamente Normal:

$\hat{p}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).$

Daí, temos que

$Z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\sim N(0,1).$

Vejamos os passos para a construção do teste para proporção.

1. Estabelecer as hipóteses

$\left\{\begin{array}{l}H_0: p=p_0\\H_1: p\neq p_0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:p=p_0\\H_1: p \ \textless \ p_0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l} H_0:p=p_0 \\ H_1: p \ \textgreater \ p_0\end{array}\right.$

se o teste é bilateral, unilateral à esquerda ou unilateral à direita, respectivamente.

2. Fixar o nível de significância α.

3. Determinar a região crítica.

Se o teste é bilateral, determinamos os pontos $-Z_{\alpha/2}$ e $Z_{\alpha/2}$ usando a tabela da distribuição normal, tais que $P[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}]=P[Z \ \textless \ -Z_{\alpha/2}]=\alpha/2$ .

Se o teste é unilateral à direita, determinamos o ponto crítico $Z_{\alpha}$ tal que $P[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha}]=\alpha$ .

Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto crítico $-Z_{\alpha}$ tal que $P[Z \ \textless \ -Z_{\alpha}]=\alpha$ .

4. Calcular, sob a hipótee nula, o valor

$Z_{obs}=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}.$

5. Critério:

Se o teste é bilateral e $Z_{obs} \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}$ ou $Z_{obs} \ \textless \ -Z_{\alpha/2}$ , rejeitamos H₀. Caso contrário, aceitamos H₀.
Se o teste é unilateral à direita e $Z_{obs} \ \textgreater \ Z_{\alpha}$ , rejeitamos H₀. Caso contrário, aceitamos H₀.
Se o teste é unilateral á esquera e $Z_{obs} \ \textless \ -Z{\alpha}$ , rejeitamos H₀. Caso contrário, aceitamos H₀.

6. O p-valor é determinado por

$\hbox{P-valor} \ = P[|Z| \ \textgreater \ |Z_{obs}| |H_0]=2P[Z \ \textgreater \ |Z_{obs}| | H_0]$

no teste bilateral. Se o teste é unilateral à direita, o p-valor é determinado por

$\hbox{P-valor} \ = P[Z \ \textgreater \ Z_{obs} | H_0]$

e, se o teste é unilateral à esquerda

$\hbox{P-valor} \ = P[Z \ \textless \ Z_{obs} | H_0].$

7. Como foi visto na Seção 4.2.1 , o intervalo de confiança é dado por

$IC(p,1-\alpha)=\left(\hat{p}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}};\hat{p}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)$

se o teste é bilateral. Caso tenhamos um teste unilateral à direita, então o intervalo de confiança para o parâmetro p é dado por

$IC(p,1-\alpha)=\left(\hat{p}-Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p}}{n}};1\right)$

e, se o teste é unilateral à esquerda, o intervalo de confiança para o parâmetro p é dado por

$IC(p,1-\alpha)=\left(0;\hat{p}+Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right).$

8. Para se calcular o poder (dado um tamanho amostral) ou o tamanho amostral necessário para se obter determinado poder para o teste de uma proporção, utilizamos o software Action. O Action recebe como parâmetros o tamanho da amostra (n), a proporção da hipótese nula (p₀), a proporção da hipótese alternativa (p), o valor do poder (P) e o nível de significância (α). Então, para se calcular o poder de um teste de proporção em detectar uma diferença entre a proporção da hipótese nula (p₀) e uma proporção p diferente da hipótese nula, a um nível de significância α específico, as fórmulas utilizadas pelo Action são dadas por

$P=1-\Phi(Z_{\alpha/2}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})+\Phi(-Z_{\alpha/2}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})$

para o teste bilateral. Se o teste é unilateral à esquerda,

$P=\Phi(-Z_{\alpha}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})$

e se o teste é unilateral à direita,

$P=1-\Phi(Z_{\alpha}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})$

onde $\Phi$ é a função distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição Normal padrão. A transformação não-linear $\phi=2\arcsin(\sqrt{p})$ é utilizada na tentativa de detectar poderes iguais para diferenças iguais entre as proporções p e p₀.

Já para o cálculo do tamanho da amostra necessária para que o teste detecte uma diferença entre a proporção hipotética p₀ e a proporção real p, com determinado poder, basta lançarmos os valores das proporções p₀ e p, do poder P e do nível de significância α. Com isso, o Action nos fornece o valor do tamanho da amostra.

Exemplo 5.3.1.1: Um fabricante garante que 90% das peças que fornece à linha de produção de uma determinada fábrica estão de acordo com as especificações exigidas. A análise de uma amostra de 200 peças revelou 25 defeituosas. A um nível de 5%, podemos dizer que é verdadeira a afirmação do fabricante?

1. Estabelecemos as hipóteses

$\left\{\begin{array}{l}H_0: p=0,9\\H_1: p \ \textless \ 0,9\end{array}\right.$

2. Fixemos o nível de significância α = 0,05.

3. Como α = 0,05, $-Z_{\alpha}=-1,64$ .

4. Temos que $\hat{p}=0,875$ e, sob a hipótese nula, $p_0=0,9$ . Assim,

$Z_{obs}=\frac{0,875-0,9}{\sqrt{(0,9)(0,1)/200}}=-1,178.$

5. Conclusão: como -1,64 < Z_obs = -1,178, não rejeitamos H₀. Portanto, temos evidências de que a afirmação do fabricante é verdadeira.

6. Vamos agora calcular o P-valor:

$P[Z \ \textless \ Z_{obs}| H_0]=P[Z \ \textless \ -1,178 | H_0]=0,1192.$

7. Como n = 200, $\hat{p}$ = 0,875, $-Z_{\alpha}$ = -1,64, temos que o intervalo de confiança é

$\left(0;0,875+1,64\sqrt{\frac{0,875(1-0,875)}{200}}\right)=(0;0,9134).$

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

8. Se queremos calcular o poder do teste em detectar a diferença entre a proporção hipotética p₀ = 0,9 e uma proporção real p = 0,8 a um nível de significância α = 0,05, lançamos os valores correspondentes no software Action, escolhendo o teste unilateral à esquerda (Menor que), donde obtemos que P = 0,9910 aproximadamente. Os resultados estão calculados na tabela a seguir

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Suponha que estivéssemos no teste unilateral à esquerda e quiséssemos calcular o tamanho amostral necessário para se detectar a diferença entre a proporção hipotética p₀ = 0,9 e uma proporção real p = 0,8 a um nível de significância α = 0,05 e com um poder de 0,9. Então, usando o Action, nos seria fornecido um tamanho amostral n = 106,3. Ou seja, seria necessário uma amostra de tamanho 107.

Os resultados podem ser conferidos na tabela abaixo

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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Aproximação Normal com Correção de Continuidade

Sugere-se que seja feita uma correção de continuidade ao se realizar um teste de uma proporção pelo fato de se aproximar a distribuição Binomial, que é discreta, por uma Normal, que é contínua. Essa correção consiste em substituir a equação

$Z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\sim N(0,1)$

por

$Z_c=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{(\hat{p}-p_0)+1/(2n)}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \ \hbox{se} \ \hat{p}- p_0 \ \textless \ 0\\\dfrac{(\hat{p}-p_0)-1/(2n)}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \hbox{se} \ \hat{p}-p_0 \ \textgreater \ 0\end{array}\right.$

A ideia é evitar que a rejeição de H₀ seja resultante da aproximação feita, o que poderia ocorrer eventualmente quando Z fosse bastante próximo do valor crítico.

Observação: O teste é realizado de maneira análoga ao visto anteriormente.

Exemplo 5.3.1.2: Considerando o Exemplo 5.3.1.1, vamos realizar o teste para proporção utilizando a aproximação Normal com correção de continuidade.

1. Estabelecemos as hipóteses

$\left\{\begin{array}{l}H_0: p=0,9\\H_1: p \ \textless \ 0,9\end{array}\right.$

2. Fixemos o nível de significância α = 0,05.

3. Como α = 0,05, temos que -Z_0,05 = -1,64

4. $\hat{p}$ = 0,875 e, sob a hipótese nula, p₀ = 0,9. Assim, como $\hat{p}$ - p₀ = 0,875 - 0,9 = -0,025 < 0, temos pela equação de Z_c que

$Z_c=\frac{(0,875-0,9)+1/400}{\sqrt{(0,9)(0,1)/200}}=-1,061.$

5. Conclusão: como Z_c = -1,061 > -1,64, não rejeitamos H₀. Portanto, temos evidências de que a afirmação do fabricante é verdadeira.

6. Vamos agora calcular o p-valor:

$P[Z \ \textless \ -1,061 | H_0]=0,1444.$

7. Temos que n = 200, $\hat{p}$ = 0,875, $Z_{\alpha}$ = 1,96. Além disso, $\hat{p}$ = 0,875 > 0,5, o que implica que p_c = 0,875 + 1/400 = 0,8775. Assim, temos que o intervalo de confiança é

$\left(0;0,8775+1,64\sqrt{\frac{0,8775(1-0,8775)}{200}}\right)=(0;0,9156).$

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

5.3.1 - Teste para proporção utilizando o Teorema Central do Limite

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