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5.3.2 - Teste qui-quadrado de Pearson

Aproximação Normal

Este é outro tipo de teste assintótico para uma proporção. Consideremos, como no caso anterior, uma amostra aleatória simples X1, ..., Xn onde cada Xi, com i = 1, ..., n, tem distribuição de Bernoulli(p), isto é,

\[X_1,\ldots,X_n\sim \hbox{Bernoulli(p)}.\]

Se n é suficientemente grande, a estatística de Pearson, dada por

\[Q^2=\sum_{j=1}^2\frac{(O_j-E_j)^2}{E_j}\sim\chi_1^2\]

tem distribuição Qui-Quadrado com 1 grau de liberdade, onde O1 é o número de sucessos e E1 = np é a frequência esperada relativa ao número de sucessos, O2 = n - O1 e E2 = n(1 - p), onde n = O1 + O2 é o tamanho da amostra.

Lembramos que uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade é igual a uma distribuição normal padronizada ao quadrado, ou seja, se Z $ \sim $ N(0,1), então

\[\chi_1^2 = Z^2.\]

Neste caso, se y é tal que P[$ \chi_1^2 $ > y] = α, então como $ \chi_1^2 $ = Z2, temos que

\[P[\chi_1^2 \ \textgreater \ y]=P[Z^2 \ \textgreater \ y]=P[Z \ \textless \ -\sqrt{y}] + p[Z \ \textgreater \ \sqrt{y}],\]

ou seja,

\[P[Z \ \textless \ -\sqrt{y}]+P[Z \ \textgreater \ \sqrt{y}]=\alpha.\]

Desta forma, podemos realizar o teste utilizando a distribuição normal padrão ao invés da qui-quadrado, o que é mais vantajoso, já que podemos considerar a sua simetria.

Vamos ver os passos para realizar o teste Qui-Quadrado de Pearson.

1. Estabelecer as hipóteses

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: p = p_0\\H_1: p\neq p_0\end{array}\right\]

se o teste for bilateral,

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: p = p_0\\H_1: p \ \textgreater \ p_0\end{array}\right\]

se o teste é unilateral à direita ou

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: p = p_0\\H_1: p \ \textless \ p_0\end{array}\right\]

se o teste é unilateral à esquerda

2. Fixar o nível de significância α.

3. Determinar a região crítica.

  • Teste bilateral.

Se o teste é bilateral, devemos encontrar um ponto crítico da distribuição $ \chi_1^2 $, baseado nos pontos críticos da distribuição normal padrão Z. Os pontos críticos da distribuição normal padrão são $ -Z_{\alpha/2} $ e $ Z_{\alpha/2} $.

Como Z2 = $ \chi_1^2 $, temos que

\[\alpha=P[Z \ \textless \ -Z_{\alpha/2}]+P[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}]=P[Z^2 \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}^2]=P[\chi_1^2 \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}^2].\]

Portanto, o ponto crítico da distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade é $ Z_{\alpha/2}^2 $.


  • Testes unilaterais.

Se o teste é unilateral à direita ou a esquerda, devemos determinar o ponto crítico da distribuição $ \chi_1^2 $ baseado nos pontos críticos da distribuição normal padrão Z. Os pontos críticos para a distribuição normal Z são dados por $ -Z_{\alpha} $ para o teste unilateral à esquerda ou $ Z_{\alpha} $ para o teste unilateral à direita.


Para o caso unilateral à esquerda, como Z2 = $ \chi_1^2 $, então temos que

\[Z \ \textless \ -Z_{\alpha} \Rightarrow |Z| \ \textgreater \ Z_{\alpha} \Rightarrow Z^2 \ \textgreater \ Z_{\alpha}^2 \ \Rightarrow \chi_1^2 \ \textgreater \ Z_{\alpha}^2\]

e, no caso unilaterál á direita, temos que

\[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha} \ \Rightarrow Z^2 \ \textgreater \ Z_{\alpha}^2 \ \Rightarrow \chi_1^2 \ \textgreater \ Z_{\alpha}^2\]

Portanto, o ponto crítico da distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade é Zα2. Podemos observar também que

\[P[\chi_1^2 \ \textgreater \ Z_{\alpha}^2]=P(Z \ \textgreater \ Z_{\alpha}]+P[Z \ \textless \ -Z_{\alpha}] = 2\alpha.\]


4. Calcular, sob a hipótese nula, a estatística de Pearson

\[Q^2_{obs}=\sum_{j=1}^2\frac{(O_j-E_j)^2}{E_j}.\]

5. Critério

  • Se o teste é bilateral e $ Q^2_{obs}\geq Z_{\alpha/2}^2 $, rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0.
  • Se o teste é unilateral à esquerda temos duas possibilidades:
  1. Se O1 ≤ E1 e $ Q^2_{obs}\geq Z_{\alpha}^2 $ rejeitamos H0, caso contrário, não rejeitamos H0.
  2. Se O1 > E1 então não rejeitamos H0, qualquer que seja o valor de $ Q^2_{obs} $.
  •  Se o teste é unilateral à direita também temos duas possiblidades:
  1. Se O1 < E1 então não rejeitamos H0, qualquer que seja o valor de $ Q^2_{obs} $.
  2. Se O1 ≥ E1 e $ Q^2_{obs}\geq Z_{\alpha}^2 $ rejeitamos H0, caso contrário, não rejeitamos H0.

6. O p-valor é determinado por

\[P-valor = P\left[\chi_1^2 \ \textgreater \ Q^2_{obs}|H_0\right]\]

se o teste é bilateral,

\[P-valor = \left\{\begin{array}{l}\dfrac{1-P\left[\chi_1^2 \ \textless Q^2_{obs}\right]}{2} \ \hbox{se} \ O_1\leq np\\ \dfrac{1+P\left[\chi_1^2 \ \textless Q^2_{obs}\right]}{2} \ \hbox{se} \ O_1 \ \textgreater \ np\]

se o teste é unilateral à esquerda ou

\[P-valor = \left\{\begin{array}{l}\dfrac{1+P\left[\chi_1^2 \ \textless Q^2_{obs}\right]}{2} \ \hbox{se} \ O_1\leq np\\ \dfrac{1-P\left[\chi_1^2 \ \textless Q^2_{obs}\right]}{2} \ \hbox{se} \ O_1 \ \textgreater \ np}\]

se o teste é unilateral à direita.

Podemos calcular o poder do teste ou o tamanho amostral necessário para se obter determinado poder utilizando o Action. Os parâmetros utilizados pelo Action são o tamanho da amostra (n), as proporções (p0) da hipótese nula e (p) da hipótese alternativa, os graus de liberdade (df), o valor do poder (P) e o nível de significância (α). Para o cálculo do poder, a fórmula utilizada é

\[P = \Gamma(\chi_{\alpha})\]

tal que $ \Gamma $ é a função densidade acumulada da distribuição Qui-quadrado não-central com df graus de liberdade e parâmetro de não centralidade $ \varphi $ dado por

\[\varphi=n\sum_{i=1}^2\frac{(p_{1i}-p_{0i})^2}{p_{0i}}\]

onde p0i são as probabilidades sob a hipótese nula e p1i as probabilidades sob a hipótese alternativa, satisfazendo

\[\sum_{i=1}^2p_{0i}=1 \quad \hbox{e} \quad \sum_{i=1}^2p_{1i}=1.\]

Exemplo 5.3.2.1: Resolver o Exemplo 5.3.1.1 utilizando o teste qui-quadrado de Pearson.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

1. Estabelecemos as hipóteses

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: p = 0,9\\H_1: p \ \textless \ 0,9\end{array}\right.\]

2. Fixemos o nível de significância α = 0,05.

3. Como α = 0,05, -Zα = -1,6448. Desta forma, temos que -Zα2 = 2,7055.

4. Temos que O1 = 175 e, sob a hipótese nula, p0 = 0,9. Logo E1 = 0,9 x 200 = 180. Além disso, O2 = 25 e E2 = 0,1 x 200 = 20. Assim,

\[Q_{obs}^2=\frac{(175-180)^2}{180}+\frac{(25-20)^2}{20}=1,3889.\]

5. Conclusão: como O1 ≤ E1 e Q2obs = 1,3889 < 2,7055 não rejeitamos H0. Portanto, temos evidências de que a afirmação do fabricante é verdadeira.


6. O p-valor é dado por

\[P-valor = \dfrac{1-P[\chi_1^2 \ \textless \ Q_{obs}^2]}{2}] = \dfrac{1-P[\chi_1^2 \ \textless \ 1,3889]}{2}= 0,1193.\]

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Aproximação normal com correção de continuidade

Ao aplicar o Teste Qui-Quadrado de Pearson estamos, novamente, aproximando uma distribuição discreta por uma contínua. Assim, sugere-se uma correção de continuidade, neste caso também chamada de correção de Yates.

Os passos para a realização deste teste são análogos aos do caso anterior, com uma única diferença: se o valor Q2 for maior que o valor crítico substituiremos a equação

\[Q^2=\sum_{j=1}^2\frac{(O_j-E_j)^2}{E_j}\]

pela sua correção Q2c dada por

\[Q^2_c=\sum_{j=1}^2\frac{(|O_j-E_j|-0,5)^2}{E_j}.\]

Observações: 1) Evidentemente, não é preciso usar a correção de Yates se o valor obtido Q2 for menor que ponto crítico, pois o novo valor será menor que o primeiro, continuando a não ser significativo.

2) A ideia aqui também é evitar que a rejeição de H0 seja resultante da aproximação feita, o que poderia ocorrer eventualmente quando Q2obs fosse bastante próximo do valor crítico.

Exemplo 5.3.2.2: Consideremos que de 75 peças, 12 são defeituosas. O fabricante garante que 90% dessas peças estão de acordo como as especificações exigidas. Ao nível de 5% de significância, podemos falar que é válida a afirmação do fabricante? (Resolva utilizando a correção de continuidade.)

1. Estabelecemos as hipóteses

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: p=0,9\\H_1: p \ \textless \ 0,9\end{array}\right.\]

2. Fixemos o nível de significância α = 0,05.

3. Como α = 0,05, Zα2 = 2,7055.

4. Temos que O1 = 63 e, sob a hipótese nula, p0 = 0,9. Logo, E1 = 0,9 x 75 = 67,5. Além disso, O2 = 12 e E2 = 0,1 x 75 = 7,5. Assim,

\[Q^2=\frac{(63-67,5)^2}{67,5}+\frac{(12-7,5)^2}{7,5}=3.\]

Como Q2 > 2,7055, calculamos Qc2.

\[Q^2_c=\frac{(|63-67,5|-0,5)^2}{67,5}+\frac{(|13-7,5|-0,5)^2}{7,5}=0,2370+2,1333=2,3703.\]


5. Conclusão: como Q2c = 2,3703 < 2,7055 não rejeitamos H0. Portanto, temos evidências de que a afirmação do fabricante é verdadeira.

Observações: 1) Conforme vimos na Observação 1 acima, se revolvermos o Exemplo 5.3.2.1 utilizando a correção de continuidade não rejeitamos a hipótese nula.

2) Realizando o Exemplo 5.3.2.2 sem utilizar a correção de continuidade, obtemos

\[Q^2=\frac{(63-67,5)^2}{67,5}+\frac{(12-7,5)^2}{7,5}=3\]

e, como Q2 = 3 > 2,7055 rejeitamos H0, ao contrário do teste com correção.

Assim, realizando o teste com a correção de continuidade, evitamos a rejeição de H0, que ocorreu no teste sem a correção por causa da aproximação assintótica.