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5.3.3 - Teste binomial exata

Consideremos, como nos casos anteriores, uma amostra aleatória simples X1, ..., Xn onde cada Xi, com i = 1, ..., n, tem distribuição de Bernoulli(p), isto é,

\[X_1,\ldots,X_n\sim \hbox{Bernoulli(p)}.\]

Consideremos

\[Y = \hbox{número de sucessos}.\]

Neste caso, Y é uma variável aleatória com distribuição Binomial(n,p). O teste de proporções binomial exata é um teste de proporções composto das seguintes etapas:

1. Para os testes bilateral e unilaterais à esquerda e à diretia estabelecemos uma das seguintes hipóteses, respectivamente.

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: p = p_0\\H_1: p\neq p_0\end{array}\right. \qquad \left\{\begin{array}{l}H_0:p = p_0\\H_1:p \ \textless \ p_0\end{array}\right. \qquad \left\{\begin{array}{l}H_0: p = p_0 \\H_1:p \ \textgreater \ p_0\end{array}\right.\]

2. Fixamos o nível de significância α.

3. Determinamos a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, determinamos os valores t1 e t2 na tabela da distribuição Binomial tais que $ P(X\leq t_1)+P(X \ \textgreater \ t_2)\approx\alpha $.
  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o valor t na tabela da distribuição Binomial tal que $ P(X\leq t)\approx\alpha $.
  • Se o teste é unilateral à direita, determinamos o valor t na tabela da distribuição Binomial tal que $ P(X \ \textgreater t)\approx\alpha $.

4. Determinar a estatística Y = número de sucessos.

5. Utilizamos os seguintes critérios para rejeitar ou não o teste de hipóteses:

  • Se o teste é bilateral e Y > t2 ou Y < t1 rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0.
  • Se o teste é unilateral à esquerda e Y < t, rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0.
  • Se o teste é unilateral à direita e Y > t, rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0.

6. O p-valor é dado por

\[p-valor = P[X\leq Y|H_0]=P[X\leq Y|p = p_0].\]

Exemplo 5.3.3.1: Um industrial afirma que seu processo de fabricação produz 90% de peças dentro das especificações. Deseja-se investigar se este processo de fabricação ainda está sob controle. Uma amostra de 15 peças foi analisada e foram constatadas 10 peças dentro das especificações. Ao nível de 5% de significância, podemos dizer ser verdadeira essa afirmação?

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1. As hipóteses a serem testadas são

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: p = 0,9\\H_1: p \ \textless \ 0,9\end{array}\right.\]

2. fixar o nível de significância α = 0,05.

3. Determinar a região crítica. Neste caso, determinar o valor t, tal que P(X ≤ t) ≈ α, tendo p0 = 0,9 e n = 15. Desta forma, temo que, t = 11.

4. A estatística Y = número de sucessos é igual a 10.

5. Conclusão: como Y = 10 < 11 = t rejeitamos H0. Assim, há evidências de que a afirmação não é verdadeira.

6. O p-valor é dado por

\[P-valor = P[X\leq Y |H_0]=P[X\leq 10|p=0,9]=0,0127.\]

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.