5.4 - Teste para taxa

Consideremos uma população e X uma variável aleatória que representa determianda característica desta população com distribuição de Poisson com parâmetro λ. Retiremos uma amostra aleatória X₁, ..., X_n desta população. Cada X_i, i = 1, ..., n, tem distribuição de Poisson com parâmetro λ, isto é,

$X_1,\ldots,X_n\sim \htox{Poisson}(\lambda).$

Como

$\hat{\lambda}=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}$

é um estimador de máxima verossimilhança para λ, então, utilizando o Teorema Central do Limite, temos que

$\hat{\lambda}=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}\sim N\left(\lambda,\frac{\lambda}{n}\right)$

o que implica que

$Z=\frac{\hat{\lambda}-\lambda}{\sqrt{\lambda/n}}\sim N(0,1).$

Agora vamos ver os passos para se realizar o teste para taxa:

1. Estabelecer as hipóteses.

Fixemos H₀: λ = λ₀. Dependendo da informação que fornece o problema que estivermos estudando, a hipótese alternativa pode ter uma das três formas abaixo:

H₁: λ ≠ λ₀ (teste bilateral);
H₁: λ > λ₀ (teste unilateral à direita);
H₁: λ < λ₀ (teste unilateral à esquerda).

2. Fixar o nível de significância α.

3. Determinar a região crítica.

Se o teste é bilateral, determinamos os pontos críticos $Z_{\alpha/2}$ e $-Z_{\alpha/2}$ tais que

$P[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}]+P[Z\ \textless \ -Z_{\alpha/2}]=\alpha$

Se o teste é unilateral à direita, determinamos o valor crítico $Z_{\alpha}$ tal que

$P[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha}]=\alpha$

Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o valor crítico $-Z_{\alpha}$ tal que

$P[Z \ \textless \ -Z_{\alpha}]=\alpha$

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor

$Z_{obs}=\frac{\hat{\lambda}-\lambda_0}{\sqrt{\lambda_0/n}}.$

5. Critério:

Teste bilateral: Se $Z_{obs} \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}$ ou se $Z_{obs} \ \textless \ -Z_{\alpha/2}$ , rejeita-se H₀. Caso contrário, aceita-se H₀.
Teste unilateral à direita: Se $Z_{obs} \ \textgreater \ Z_{\alpha}$ , rejeita-se H₀. Caso contrário, aceita-se H₀.
Teste unilateral à esquerda: Se $Z_{obs} \ \textless \ -Z_{\alpha}$ , rejeita-se H₀. Caso contrário, aceita-se H₀.

6. O p-valor é dado por

$P-valor = P[|Z| \ \textgreater \ |Z_{obs}||H_0]=2P[Z \ \textgreater \ |Z_{obs}| |H_0]$

no caso bilateral.

No caso unilateral à direita é determinado por

$P-valor = P[Z \ \textgreater \ Z_{obs}| H_0]$

e no caso unilateral à esquerda, por

$P-valor = P[Z \ \textless \ Z_{obs} | H_0.$

7. Como vimos na Seção 4.3 , o intevalo de confiança para o parâmetro λ é dado por

$IC(\lambda,1-\alpha)=\left(\hat{\lambda}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}};\hat{\lambda}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}\right).$

se o teste é bilateral. Caso o teste seja unilateral à direita, então o intervalo de confiança para o parâmetro λ é dado por

$IC(\lambda,1-\alpha)=\left(\hat{\lambda}-Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}};\infty\right)$

e se o teste é unilateral à esquerda, então o intervalo de confiança para o parâmetro é dado por

$IC(\lambda,1-\alpha)=\left(0;\hat{\lambda}+Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}\right)$

8. O erro do tipo II é calculado ao se aceitar H₀ quando esta é falsa (H₁ é verdadeira).

$P[\hbox{Erro do tipo II}]=P[\hbox{Aceitar} H_0| H_1 \hbox{é verdadeira}]=\beta.$

9. O poder do teste é calculado por: 1 menos a probabilidade de erro do tipo II, ou seja

$Poder = 1-\beta.$

Como trata-se de um teste normal, para o cálculo do poder ou do tamanho amostral, utilizamos as mesmas técnicas utilizadas para o teste para a média com variância conhecida, ou seja, no Action, se queremos calcular o poder do teste, lançamos como parâmetro o tamanho da amostra (n), a diferença (δ), o nível de significância (α) e o desvio-padrão (σ). Analogamente, podemos calcular o tamanho amostral necessário para que o teste detecte uma diferença específica com determinado poder.

Exemplo 5.4.1: O gerente de produção de uma empresa tem como objetivo avaliar a performance de uma nova metodologia de ensino para novos operários contratados. Com a metodologia antiga, tem-se uma taxa média de 4 erros por operário na primeira semana de trabalho. Em uma amostra de 25 operários foi aplicada a nova metodologia e observou-se que a média foi de 5 erros por semana. Com essas informações podemos falar que há diferença significativa entre a antiga e a nova metodologia?

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

1. Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses:

$\left\{\begin{array}{l}H_0: \lambda = 4\\H_1: \lambda \ \textless \ 4\end{array}\right.$

uma vez que estamos querendo testar se a nova metodologia é melhor que a antiga, isto é, se ela possui uma taxa média de erros menor que a antiga.

2. Fixemos o nível de significância α = 0,05.

3. Como α = 0,05 , $-Z_{\alpha}=-Z_{0,05}=-1,64$ .

4. Temos que $\hat{\lambda}$ = 5 e, sob a hipótese nula, $\lambda_0=4$ . Assim,

$Z_{obs}=\frac{5-4}{\sqrt{4/25}}=2,5.$

5. Conclusão: como Z_obs = 2,5 > -1,64, não rejeitamos H₀. Assim, não temos evidências de que a taxa média de erros da nova metodologia é menor que a antiga.

6. Vamos agora calcular o p-valor:

$P[Z \ \textless \ Z_{obs}|H_0]=P[Z \ \textless \ 2,5|H_0]=0,9937903.$

7. Como n=25, $\hat{\lambda}$ = 5 e $Z_{\alpha/2}$ = 1,64, temos que o intervalo de confiança é dado por

$\left(0;5+1,64\sqrt{\frac{5}{25}}\right)=(0;5,735601).$

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Utilizando o software Action, vamos calcular o poder do teste em detectar uma diferença δ = -1. Como o desvio padrão é σ = 2, o tamanho da amostra é n = 25 e o nível de significância é α = 0,05, temos os seguintes resultados.

O gráfico é mostrado na figura abaixo

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

5.4 - Teste para taxa

Action

Conteúdo Estatístico

Manual Action

Línguas