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Como dito na seção anterior, na prática, geralmente não conhecemos μ e σ, contudo, elas são estimadas à partir de amostras preliminares tomadas em subgrupos de pelo menos 20 a 25 amostras. Suponhamos que temos disponível m amostras, com cada uma contendo n observações sobre a característica da qualidade. Nas aplicações, o número de observações n é pequeno e geralmente resultam à partir da construção de subgrupos racionais, em que os custos de amostragem e de inspecção associadas com as medições das variáveis ​​são altas. Com isso, nestes casos a média $ \overline{X} $ e a variância $ s^2 $ são estimadores não viciados para a média populacional $ \mu $ e variância populacional $ \sigma^2, $ou seja, $ E(\overline{X})=\mu $ e $ E(s^2)=\sigma^2. $ Porém, neste tipo de situação, o desvio padrão $ s $  é um estimador viciado para o desvio padrão populacional $ \sigma, $ (para mais detalhes consulte o livro de Montgomery, D.C. (2001)). Assim, seu valor esperado é dado por:

$$E(s)=\underbrace{\left(\frac{2}{n-1}\right)^{\frac{1}{2}}\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{(n-1)}{2}\right)}}_{c_4}\sigma=c_4~\sigma$$

Portanto, obtemos que o estimador não viciado para o desvio padrão é dada por:

$$\hat{\sigma}=\frac{s}{c_4}$$

Para o gráfico da média $ \overline{X} $, tomamos $ \overline{X}_1,\overline{X}_2,\dots,\overline{X}_m $ as médias de cada amostra, e com isso temos que o melhor estimador de $ \mu, $ para o processo da média é dada por:

$$LC=\overline{\overline{X}}=\frac{\overline{X}_1+\overline{X}_2+\dots+\overline{X}_m}{m}$$

que é a linha central do gráfico $ \overline{X}. $ Suponhamos que m amostras preliminares estão disponíveis, cada um de tamanho n, e seja $ s_i $ o desvio padrão da i-ésima amostra . Assim, a média dos m desvios padrão é dada por:

$$\overline{S}=\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}s_i$$

com $ \displaystyle\frac{\overline{S}}{c_4} $ um estimador não viciado para o desvio padrão populacional $ \sigma. $

A seguir, vamos apresentar os principais tópicos para a construção do gráfico $ \overline{X} $$ S. $

  • A única diferença na aplicação do gráfico $ \overline{X} $ e $ S $ (média e desvio padrão), ao invés do $ \overline{X} $ e $ R $ é no cálculo da estimativa de $ \sigma $.
  • Estimamos $ \sigma $ de forma direta, ou seja, através do cálculo do desvio padrão amostral.
  • O gráfico $ \overline{X} $ e $ S $ é utilizado quando o tamanho da amostra é grande (> 10 ou 12). Além disso, o tamanho da amostra ou subgrupo pode ser variável.
  • Do ponto de vista prático, a aplicação deste gráfico pode ser inviável para dados que não são coletados de forma eletrônica, pois o operador deve calcular os desvios padrão para cada ponto.

 

Cálculo dos limites de controle

 

Para a construção dos limites de controle para o gráfico $ \overline{X} $ e $ S, $ usamos o fato de $ \frac{\overline{S}}{c_4} $ ser o estimador de $ \sigma. $ Assim, os limites de controle para o gráfico da média $ \overline{X} $ são dadas por:

$$LSC=\mu_{\overline{X}}+3~\frac{\hat{\sigma}_{\overline{X}}}{\sqrt{n}}=\overline{\overline{X}}+3~\frac{\overline{S}}{c_4~\sqrt{n}}=\overline{\overline{X}}+\underbrace{\frac{3}{c_4~\sqrt{n}}}_{A_3}\overline{S}\quad \Rightarrow\quad LSC=\overline{\overline{X}}+A_3~\overline{S}$$

e

$$LIC=\mu_{\overline{X}}-3~\frac{\hat{\sigma}_{\overline{X}}}{\sqrt{n}}=\overline{\overline{X}}-3~\frac{\overline{S}}{c_4~\sqrt{n}}=\overline{\overline{X}}-\underbrace{\frac{3}{c_4~\sqrt{n}}}_{A_3}\overline{S}\quad  \Rightarrow\quad LSC=\overline{\overline{X}}-A_3~\overline{S}$$

Para a construção dos limites de controle para o gráfico $ S, $ necessitamos do teorema de Cochran. Assim, como consequência direta deste teorema, obtemos que $ E(S^2)=\sigma^2. $ Logo, a variância de $ S $ é dada por:

$$Var(S)=E(S^2)-[E(S)]^2=\sigma^2-c^2_4\sigma^2$$

Com isso, temos que

$$\hat{\sigma}_S=\sigma\sqrt{1-c^2_4}$$

Portanto, obtemos os limites de controle da seguinte forma:

$$LSC=\overline{S}+3~\hat{\sigma}_S=\overline{S}+3~\frac{\overline{S}\sqrt{1-c^2_4}}{c_4}=\overline{S}\underbrace{\left(1+\frac{3}{c_4}\sqrt{1-c^2_4}\right)}_{B_4}\quad\Rightarrow \quad LSC=B_4~\overline{S}$$

e

$$LIC=\overline{S}-3~\hat{\sigma}_S=\overline{S}-3~\frac{\overline{S}\sqrt{1-c^2_4}}{c_4}=\overline{S}\underbrace{\left(1-\frac{3}{c_4}\sqrt{1-c^2_4}\right)}_{B_3}\quad\Rightarrow  \quad LIC=B_3~\overline{S}$$

Resumindo temos que:

  • Para as médias:

Limite superior de controle:

$$LSC = \overline{\overline{X}} + (A_3 \ast \overline{S})$$

Linha Central:

$$LC = \overline{\overline{X}}$$

Limite inferior de controle:

$$LIC = \overline{\overline{X}} - (A_3 \ast \overline{S})$$

  • Para os desvios padrão:

Limite superior de controle:

$$LSC = B_4 \ast \overline{S}$$

Linha Central:

$$LC = \overline{S}$$

Limite inferior de controle:

$$LIC = B_3 \ast \overline{S}$$


Disposição dos pontos nos gráficos $ \overline{X} $ e $ S $

Tendo calculado as Linhas Centrais e os Limites Inferiores e Superiores de Controle para os gráficos $ \overline{X} $ e $ S $, estamos em condições de dispor os pontos que representam as médias amostrais (no gráfico $ \overline{X} $) e os desvios padrão amostrais (no gráfico $ S $), respectivamente.

Para facilitar a análise dos resultados é recomendável colocar ambos os gráficos um abaixo do outro, e marcar os pontos correspondentes a uma mesma amostra na mesma reta vertical .

Exemplo 4.2.1: Considere um processo de usinagem de um pino onde o diâmetro é medido em subgrupos de 10 peças ao longo do tempo, conforme a Tabela 4.2.1. Vamos construir os gráficos $ \overline{X} $ e $ S $.

Tabela 4.2.1: Conjunto de dados do diâmetro de pinos.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 $ \overline{X} $
S
9,8323 10,4735 9,5178 10,8361 9,9201 9,6272 10,0284 9,6664 9,3373 10,9362 10,01753 0,553166
9,0219 10,6217 10,6176 11,4604 8,9944 10,1264 10,3556 9,6835 9,9313 10,5404 10,13532 0,761932
10,7431 10,9621 9,4968 10,17 8,9321 9,6742 10,2471 9,7774 10,0575 10,5816 10,06419 0,616213
10,0543 11,0115 10,4363 11,4068 10,1321 11,3897 9,9963 9,8184 10,4614 10,4651 10,51719 0,570729
9,6915 11,2257 9,8063 10,7478 10,1048 11,1482 10,1624 9,9117 9,9081 10,6442 10,33507 0,563567
9,9209 10,0309 10,5285 10,9878 9,8168 10,1317 10,0633 11,1288 11,2937 9,7451 10,36475 0,57731
9,6343 11,0474 9,8212 11,1468 9,115 10,7762 9,7394 10,0534 9,7941 11,6617 10,27895 0,820561
10,2035 10,4941 11,2188 10,515 9,415 10,7148 9,5438 10,1777 9,1048 10,4412 10,18287 0,648993
10,6667 10,7832 10,2442 11,6138 10,0163 10,0467 8,9035 10,9109 9,523 11,1139 10,38222 0,800261
10,4892 10,6291 10,6905 11,387 10,1746 9,5808 9,6638 11,0216 9,8581 10,6037 10,40984 0,587221
10,6649 11,1688 11,0198 9,8607 9,5741 10,2868 10,139 10,0186 10,6223 11,6381 10,49931 0,643637
10,5682 10,5393 10,1765 10,1989 10,75 10,0564 10,9785 10,5446 9,1627 10,2037 10,31788 0,498468
10,8432 9,1263 9,9808 11,2966 9,385 11,5448 10,6659 9,9193 10,417 10,9449 10,41238 0,798373
9,6101 9,8 10,4167 10,4374 9,5798 10,3382 9,9084 10,0147 9,758 9,9967 9,986 0,318529
10,1325 10,8271 10,507 10,4371 10,8779 10,8975 8,9913 10,1882 10,5538 10,3392 10,37516 0,557092
10,3702 11,2328 9,7624 10,4681 9,9547 9,7824 9,7726 10,6453 9,8423 10,868 10,26988 0,527034
9,5008 9,5963 10,349 12,0111 10,1694 10,877 9,8602 9,7677 9,8443 11,1214 10,30972 0,800857
9,8528 10,0426 10,0269 10,7828 10,1054 9,9032 10,2323 10,7983 9,6603 10,9406 10,23452 0,447069
10,4005 10,7238 11,0019 10,4417 10,2053 10,0774 9,7682 9,7861 10,2386 10,3 10,29435 0,38171
9,7635 11,202 9,5674 10,1705 9,7851 10,3353 10,2331 10,3768 10,8271 10,4101 10,26709 0,495623
10,3412 10,1655 10,0494 11,4595 10,4515 10,326 10,8081 9,8483 9,7066 9,7909 10,2947 0,529558
10,2931 9,9962 9,7957 10,759 10,9442 10,3623 9,7833 9,006 11,1923 10,1037 10,22358 0,640656
10,2808 10,8858 10,2942 10,912 10,8164 9,8223 9,8758 9,1255 9,7107 9,8788 10,16023 0,587055
9,8984 11,0424 10,3988 11,0127 9,2655 10,2082 9,8238 9,8925 10,3074 9,9735 10,18232 0,544646
9,4126 11,9882 9,3897 10,9499 10,1394 9,7375 10,0704 9,9912 9,9054 10,9421 10,25264 0,811333
10,2554 9,6405 10,6678 10,6074 9,7188 11,1229 9,6877 10,8275 8,976 11,1306 10,26346 0,727579
9,763 11,4587 10,5735 10,3049 10,5277 11,0722 9,8399 9,6746 9,7708 10,1013 10,30866 0,60328
10,939 10,3562 10,7339 11,1043 10,0477 10,531 11,0688 9,802 10,2629 10,2776 10,51234 0,441427

 clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

  1. A seleção da característica de qualidade do processo é focada no cliente.
  2. Registro das observações obtidas segue os critérios de amostragem racional. No exemplo foram escolhidos 10 itens por dia durante m = 28 dias.
  3. Cálculo da média amostral $ \overline{X} $ e do desvio padrão $ S $, para cada i = 1, 2, …, m das m amostras escolhidas. Os valores de $ \overline{X} $ e de $ S $ estão dispostos nas duas últimas colunas da tabela.
  4. Cálculo da média das médias amostrais e da média dos desvios padrão amostrais, os quais são indicados, respectivamente, por $ \overline{\overline{X}} $ e $ \overline{S} $.


$$\overline{\overline{X}} = \dfrac{\hbox{Soma das Médias Amostrais}}{\hbox{Número de amostras}} = \dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\overline{X}_{i}$$


$$\overline{S} = \dfrac{\hbox{Soma dos Desvios Padrão Amostrais}}{\hbox{Número de amostras}} = \dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}S_{i}$$


Para os nossos dados temos:

  • Número de amostras: m = 28
  • Tamanho das amostras: n = 10


$$\overline{\overline{X}} = \dfrac{10,0175 + \ldots + 10,5123}{28} = \dfrac{287,8521}{28} = 10,28$$


$$\overline{S} = \dfrac{0,553180 + \ldots + 0,441410}{28} = \dfrac{16,853821}{28} = 0,60$$

 

Vamos agora calcular os limites de controle. No Apêndice podemos encontrar os valores tabelados das constantes necessárias para o cálculo, assim para n = 10 temos, A3 = 0,975;  B3 = 0,284;  B4 = 1,716.

Aplicando as fórmulas, obtemos:

  • Para a média:

$$LSC = 10,28 + (0,975 \ast 0,60) = 10,87$$

$$LC = 10,28$$

$$LIC = 10,28 - (0,975 \ast 0,60) = 9,69$$

  • Para o desvio padrão:

$$LSC = 1,716 \ast 0,60 = 1,03$$

$$LC = 0,60$$

$$LIC = 0,284 \ast 0,60 = 0,17$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.


Figura 4.2.1: Gráficos $ \overline{X} $ e $ S $.

Podemos notar nos gráficos que todos os pontos estão dispostos dentro dos limites de controle e além disso, apresentam aleatoriedade o que indica que o processo está sob controle. Porém, no gráfico de $ \overline{X} $ podemos verificar um período de variação aleatória seguido de um período com pouca variação aleatória, o que indica por exemplo, que algo relacionado a máquina pode ter ocorrido neste período.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

A Função Característica de Operação

Como já vimos no estudo das curvas características de operação na seção anterior - Gráficos Média e Amplitude, o gráfico $ R $ é relativamente insensível diante de deslocamentos pequenos ou moderados para tamanhos de amostra pequenos. Dessa forma, em muitas situações práticas em que há necessidade de um controle mais severo da variabilidade do processo, tamanhos de amostras moderadamente grandes são necessários e então nesses casos o gráfico $ S $ deve ser usado.

As CCO's para o gráfico $ \overline{X} $ são as mesmas apresentadas na Seção anterior (Função Característica de Operação). Portanto, basta calcular as CCO's para o gráfico $ S, $ em que a probabilidade de não detectar um deslocamento para um novo valor de $ \sigma $ é dada por 

$$\beta = \mbox{P}[S\leq LSC~|~\sigma = \sigma_{1} = k\sigma_{0}]$$

em que $ LSC=(c_{4}+3\sqrt{1-c_{4}^2})\sigma_{0} $ e $ c_{4} $ uma constante tabelada no Apêndice.

Entretanto,

$$\mbox{P}[S\leq LSC~|~\sigma = \sigma_{1} = k\sigma_{0}]=\mbox{P}[S^{2}\leq (LSC)^{2}~|~\sigma = \sigma_{1} = k\sigma_{0}]$$

E ainda,

$$(n-1)\dfrac{S^2}{\sigma^2}\sim \chi^{2}_{(n-1)}$$

sendo $ \chi^{2}_{(n-1)} $: distribuição qui-quadrado com (n-1) graus de liberdade. 

Logo,

$$\beta = \mbox{P}\left[(n-1)\dfrac{S^2}{\sigma_{1}^2}\leq (n-1)\dfrac{(c_{4}+3\sqrt{1-c_{4}^2})^{2}\sigma_{0}^{2}}{\sigma_{1}^2}~|~\sigma = \sigma_{1}\right]$$

$$=\mbox{P}\left[\chi^{2}_{(n-1)} \leq(n-1)\left(c_{4}+3\sqrt{1-c_{4}^2}\right)^{2}\left(\dfrac{\sigma_{0}}{\sigma_{1}}\right)^2~|~\sigma = \sigma_{1}\right]~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Podemos notar que para $ n \leq 5 $ o gráfico $ S $ é unilateral, ou seja, sem limite inferior de controle. Dessa forma, a probabilidade de não detectar um deslocamento é dada pela equação (1). Para $ n~\textgreater~5, $ o gráfico $ S $ tem limite inferior e superior e com isso, $ \beta $ é calculado como

$$\beta = \mbox{P}\left[(n-1)\left(c_{4}-3\sqrt{1-c_{4}^2}\right)^{2}\left(\dfrac{\sigma_{0}}{\sigma_{1}}\right)^2\leq\chi^{2}_{(n-1)} \leq(n-1)\left(c_{4}+3\sqrt{1-c_{4}^2}\right)^{2}\left(\dfrac{\sigma_{0}}{\sigma_{1}}\right)^2~|~\sigma=\sigma_{1}\right]$$

Na Figura 4.2.2 apresentamos as CCO's para o gráfico $ S $ para n variando de 2 a 10 e diferentes valores de k.

Figura 4.2.2: CCO para o gráfico $ S $ com limites 3-sigma.

Tabela 4.2.2: Valores de $ \beta $ para diferentes valores de k e n.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.