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4.4 - Gráficos de Valores Individuais com variação entre e dentro dos subgrupos

Os gráficos de valores individuais com variação entre e dentro dos subgrupos são utilizados nos casos em que medimos a mesma característica da peça ou produto em diversos pontos. Neste caso, tomamos uma peça ou produto, a cada unidade de tempo (exemplo, a cada uma hora), e medimos uma característica da qualidade (exemplo, diâmetro) em diversos pontos. Assim, aplicamos:

  • Um gráfico para valores individuais (média das medições de cada peça é tratada como um valor individual);
  • Um gráfico para amplitudes móveis (variação entre as médias);
  • Um gráfico R ou S (variação dentro de cada peça).

Quando coletamos dados em subgrupos, erros aleatórios podem não ser a única fonte de variação. Por exemplo, se coletamos 5 peças a cada hora a única variabilidade dentro do subgrupo é devida ao erro aleatório. Ao longo do tempo, o processo pode mudar ou variar tal que a próxima amostra de 5 cinco peças pode ser diferente da amostra anterior. Sob estas condições, a variação total do processo é devido ao erro aleatório e à variação entre as amostras. A variação dentro de cada amostra também pode contribuir para a variação total do processo.

Suponha que amostramos uma peça a cada hora e medimos 5 regiões desta mesma peça. Enquanto as peças podem variar hora a hora, as medidas tomadas nas 5 regiões podem também ser consistentemente diferentes em todas as peças. Esta variação devido à região não é explicada, o desvio-padrão amostral dentro não difere muito da estimativa do erro aleatório, mas na realidade a estimativa do erro aleatório é o efeito da região. Este resultado em um desvio-padrão que é muito grande causa limites de controle que são muito "largos" com a maioria dos pontos do gráfico de controle próximos à linha central.

Exemplo 4.4.1: Consideremos uma placa que compõe uma determinada embreagem. É importante verificar o balanceamento dessa placa. Através de uma máquina balanceadora determinamos um ponto de acumulação "excessivo" de massa. A partir desse ponto tomamos 3 pontos no sentido anti-horário e 4 pontos no sentido horário (conforme Figura 4.4.2), totalizando 8 pontos. A medição da espessura QD é feita no ponto a 0° e a espessura QND é feita no ponto a 180° do primeiro. O segundo ponto é tomado a partir do primeiro a 80° no sentido horário, no qual é medida a espessura QD e a espessura QND correspondente é feita no ponto a 180° deste. Analogamente medimos a 90° e 270°, assim como a 160° e 340°. Isto é realizado para cada uma das 25 peças selecionadas. Nesse caso analisamos a diferença entre as espessuras QD e QND, conforme mostra a Tabela 4.4.1.

 

Figura 4.4.1: Exemplo das medições em cada peça.


Figura 4.4.2: Medições da peça.

A seguir temos os dados de cada peça amostrada e os respectivos cálculos para os gráficos de controle.

Tabela 4.4.1: Dados de cada peça amostrada.

Peças QND QD Ângulo QND Ângulo QD QND-QD
1 2,316 1,882 180 0 -0,434
1 2,687 1,99 260 80 -0,697
1 2,429 1,427 270 90 -1,002
1 2,201 2,048 340 160 -0,153
2 1,87 1,906 180 0 0,036
2 1,959 2,072 260 80 0,113
2 2,168 2,097 270 90 -0,071
2 2,432 2,457 340 160 0,025
3 1,543 1,605 180 0 0,062
3 1,086 1,554 260 80 0,468
3 1,246 1,677 270 90 0,431
3 1,344 1,661 340 160 0,317
$ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $
25 1,356 1,685 260 80 0,329
25 1,374 2,756 270 90 1,382
25 1,388 2,612 340 160 1,224

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Na tabela abaixo temos calculado para cada amostra sua respectiva média, amplitude móvel, desvio padrão e amplitude amostral.

Amostras Médias Amplitudes Móveis Desvio padrão Amplitudes Amostrais
1 -0,5715 -
0,362918 0,849
2 0,02575 0,59725 0,075451 0,184
3 0,3195 0,29375 0,183300 0,406
4 0,08575 0,23375 0,166752 0,39
5 -0,53825 0,624 0,333951 0,705
6 -0,43425 0,104 0,312888 0,766
7 -0,401 0,03325 0,256792 0,512
8 0,14125 0,54225 0,359694 0,821
9 0,5555 0,41425 0,170087 0,407
10 0,295 0,2605 0,324166 0,653
11 0,07625 0,21875 0,063484 0,135
12 0,05575 0,0205 0,106747 0,223
13 -0,29 0,34575 0,262268 0,589
14 -0,34875 0,05875 0,383962 0,895
15 0,60525 0,954 0,215803 0,482
16 0,5055 0,09975 0,191660 0,448
17 0,6235 0,118 0,120229 0,287
18 0,02475 0,59875 0,011442 0,027
19 -0,1245 0,14925 0,416743 0,901
20 -0,43675 0,31225 0,185922 0,426
21 0,08225 0,519 0,269447 0,604
22 0,11325 0,031 0,272834 0,575
23 -0,284 0,39725 0,270475 0,638
24 0,8155 1,0995 0,307342 0,648
25 0,804 0,0115 0,580126 1,101

$$\overline{\overline{X}} = \dfrac{\hbox{Soma das médias amostrais}}{\hbox{número de amostras}} = \dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\overline{X}_i$$


$$\overline{S} = \dfrac{\hbox{Soma dos desvios padrão amostrais}}{\hbox{número de amostras}} = \dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}S_i$$


$$\overline{R} = \dfrac{\hbox{Soma das amplitudes amostrais}}{\hbox{número de amostras}} = \dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}R_i$$

Em nosso exemplo temos:

  • m: número de amostras = 25
  • n: tamanho das amostras = 4

Assim, utilizando as fórmulas acima obtemos

$$\overline{\overline{X}} = \dfrac{1,69975}{25} = 0,06799; ~~~~~\overline{S} = \dfrac{6,20448}{25} = 0,24818~~~~~\mbox{e}~~~~~\overline{R} = \dfrac{13,672}{25} = 0,54688.$$

 

Cálculo dos limites de controle para os gráficos I-MR-R e I-MR-S (Between-Within)

Há muitas situações onde o tamanho amostral usado para o controle do processo é n > 1. Assim, estimamos a variabilidade através da amplitude ou do desvio padrão do subgrupo de cada amostra, usamos como estimativa da variabilidade a amplitude móvel de duas (ou mais) médias de observações (amostras) sucessivas.

1. Gráfico de amplitudes móveis: (variação entre as médias das peças)

$$\overline{MR} = \dfrac{\sum_{i=1}^{m}MR_i}{m} = \dfrac{\sum_{i=1}^{m}|x_i - x_{i-1}|}{m} = \dfrac{8,037}{24} = 0,33488$$

 Os limites de controle são calculados a seguir:

$$LSC = D_4 \ast \overline{MR} = 3,267 \ast 0,33488 = 1,09405$$

$$LC = \overline{MR} = 0,33488$$

$$LIC = D_3 \ast \overline{MR} = 0 \ast 0,33488 = 0$$

Utilizando o Apêndice temos D3 = 0 e D4 = 3,267 (para n = 2: quantidade de valores para o cálculo das amplitudes móveis).

2. Gráfico para valores médios inviduais:

Os limites são dados por:

$$LSC = \overline{\overline{X}} + E_2 \ast \overline{MR} = 0,06799 + \left(\dfrac{3}{1,128}\right) \ast 0,33488 = 0,95863$$

$$LC = \overline{\overline{X}} = 0,06799$$

$$LIC = \overline{\overline{X}} - E_2 \ast \overline{MR} = 0,06799 - \left(\dfrac{3}{1,128}\right) \ast 0,33488 = -0,82265$$

em que $ E_2 = \dfrac{3}{d_2} $ e utilizando o Apêndice temos d2 = 1,128 (para n = 2: quantidade de valores para o cálculo das amplitudes móveis).

3. Gráfico do desvio padrão:

Usaremos inicialmente os desvios padrão amostrais como Medida de Dispersão. Dessa forma, os limites de controle são dados por:

$$LSC = B_4 \ast \overline{S} = 2,266 \ast 0,24818 = 0,56238$$

$$LC = \overline{S} = 0,24818$$

$$LIC = B_3 \ast \overline{S} = 0 \ast 0,24818 = 0$$

Utilizando o Apêndice temos B3 = 0 e B4 = 2,266 (para n = 4: tamanho das amostras).

4. Gráfico da amplitude: (variação dentro de cada peça)

Usaremos as amplitudes amostrais como Medida de Dispersão. Aplicando as fórmulas obtemos:

$$LSC = D_4 \ast \overline{R} = 2,282 \ast 0,54688 = 1,24798$$

$$LC = \overline{R} = 0,54688$$

$$LIC = D_3 \ast \overline{R} = 0 \ast 0,54688 = 0$$

Utilizando o Apêndice temos D3 = 0 e D4 = 2,282 (para n = 4: tamanho das amostras).

 

Estimativas do desvio padrão: dentro dos subgrupos, entre os subgrupos e total

1. Para os gráficos I-MR-R.

Cálculo do desvio padrão dentro de cada subgrupo

O desvio padrão de cada subgrupo é dado por

$$\hat{\sigma}_{dentro} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{0,54688}{2,059} = 0,2656$$

em que d2 = 2,059 (para n = 4).

Estimativa do desvio padrão de curto prazo

Usado para estimar o desvio padrão em gráficos de amplitudes móveis

$$\hat{\sigma}_{\overline{X}} = \dfrac{\overline{MR}}{d_2} = \dfrac{0,33488}{1,128} = 0,29688$$

em que d2 = 1,128 (para n = 2).

Cálculo do desvio padrão entre os subgrupos

O desvio padrão entre os subgrupos é dado por:

$$\hat{\sigma}_{entre} = \sqrt{MAX\left(0;~\hat{\sigma}^2_{\overline{X}} - \dfrac{\hat{\sigma}^2_{dentro}}{n}\right)} = \sqrt{MAX\left(0;~(0,29688)^2 - \dfrac{(0,2656)^2}{4}\right)}$$

$$ = \sqrt{MAX\left(0;~0,0705\right)} = 0,26553$$

em que n = tamanho de cada subgrupo.

Cálculo do desvio padrão entre/dentro de cada subgrupo

$$\hat{\sigma}_{Total} = \sqrt{\hat{\sigma}^2_{entre} + \hat{\sigma}^2_{dentro}} = \sqrt{(0,26553)^2 + (0,2656)^2} = 0,37557$$


2. Para os gráficos I-MR-S.

Cálculo do desvio padrão dentro de cada subgrupo

O desvio padrão de cada subgrupo é dado por: 

$$\hat{\sigma}_{dentro} = \dfrac{\overline{S}}{c_4} = \dfrac{0,24818}{0,9213} = 0,26938$$

em que c4 = 0,9213 (para n = 4).

Estimativa do desvio padrão de curto prazo

Usado para estimar o desvio padrão em gráficos de amplitudes móveis.

$$\hat{\sigma}_{\overline{X}} = \dfrac{\overline{MR}}{d_2} = \dfrac{0,33488}{1,128} = 0,29688$$

em que d2 = 1,128 (para n = 2).

Cálculo do desvio padrão entre os subgrupos

O desvio padrão entre os subgrupos é dado por:

$$\hat{\sigma}_{entre} = \sqrt{MAX\left(0;~\hat{\sigma}^2_{\overline{X}} - \dfrac{\hat{\sigma}^2_{dentro}}{n}\right)} = \sqrt{MAX\left(0;~(0,29688)^2 - \dfrac{(0,26938)^2}{4}\right)}$$

$$ = \sqrt{MAX\left(0;~0,069996\right)} = 0,26457$$

em que n = tamanho de cada subgrupo.

Cálculo do desvio padrão entre/dentro de cada subgrupo

$$\hat{\sigma}_{Total} = \sqrt{\hat{\sigma}_{entre}^2 + \hat{\sigma}_{dentro}^2} = \sqrt{(0,26457)^2 + (0,26938)^2} = 0,37758$$

 

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

1. Comparativo dos gráficos de Valores Individuais, Amplitudes Móveis e Amplitudes (I-MR-R).



Figura 4.4.3: Gráficos I-MR-R.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

2. Comparativo dos gráficos de Valores Individuais, Amplitudes Móveis e Desvio Padrão (I-MR-S).



Figura 4.4.4: Gráficos I-MR-S.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.