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5.1 - Gráfico p - proporção ou fração de defeituosos

A fração de defeituosos p se define como o número de itens defeituosos (não conformes) na amostra dividido pelo número de itens da amostra. O valor amostral de p registra-se como uma fração do tamanho do subgrupo.

A fração de defeituosos p poderá estar referida a amostras de tamanhos fixos n coletadas regularmente, ou também poderá se referir ao 100% da produção num determinado intervalo de tempo (por exemplo, uma hora, um dia, etc.). Isso significa que os subgrupos podem, em princípio, ter tamanho variável. Como consequência da variabilidade do tamanho amostral os limites de controle também terão amplitude variável.

A caracterização de um item como defeituoso ou não defeituoso poderá depender da observação de uma ou de várias características de qualidade. Neste caso o item poderá ter vários tipos de defeitos, e, em muitas circunstâncias será relevante a classificação dos defeitos por importância diferenciada, sugerindo a utilização de gráficos por demérito.

Assim, podemos construir os gráficos para proporção das seguintes formas

  1. Tamanho amostral constante;
  2. Tamanho amostral variável;
  3. Com a média amostral ($ \overline{n} $);
  4. Com a média dos defeituosas ($ \overline{p} $).

A construção dos gráficos p só é possível se as seguintes condições forem satisfeitas:

$$n \ast \overline{p} \geq 5$$

$$n \ast (1-\overline{p}) \geq 5$$

1. Tamanho amostral constante

A Linha Central e os Limites de Controle são determinados, na forma:

$$LSC = p' + 3\sqrt{\dfrac{p'(1-p')}{n}}$$

$$LC = p'$$

$$LIC = p' - 3\sqrt{\dfrac{p'(1-p')}{n}}$$

2. Tamanho amostral variável

Os limites de controle são (para a i-ésima amostra):

$$LSC = p' + 3\sqrt{\dfrac{p'(1-p')}{n_i}}$$

$$LIC = p' - 3\sqrt{\dfrac{p'(1-p')}{n_i}}$$

em que ni = tamanho da i-ésima amostra.

3. Com a média amostral ($ \overline{n} $)

Definimos

$$\overline{n} = \dfrac{(n_1 + \ldots + n_m)}{m}$$

em que ni = tamanho da i-ésima amostra e m é o número de amostras.

Os limites de controle são:

$$LSC = p' + 3\sqrt{\dfrac{p'(1-p')}{\overline{n}}}$$

$$LIC = p' - 3\sqrt{\dfrac{p'(1-p')}{\overline{n}}}$$

4. Com a média dos defeituosos ($ \overline{p} $)

Definimos

$$\overline{p} = \dfrac{(p_1 + \ldots + p_m)}{m}$$

onde pi = proporção de defeituosos na i-ésima amostra e m é o número de amostras.

Assim, os limites de controle (de amplitude 3σ ) e linha média são:

$$LSC = \overline{p} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n}}$$

$$LC = \overline{p}$$

$$LIC = \overline{p} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n}}$$

Exemplo 5.1.1: Uma fábrica de suco de laranja apresentou os seguintes dados quanto ao número de latas amassadas (defeituosas), (ver Tabela 5.1.1). Nesse exemplo temos tamanho da amostra n = 50.

Tabela 5.1.1: Latas amassadas na fábrica de suco de laranja

Amostras Número de Defeituosos (Di)
 Fração de Defeituosos (pi)
1 12 0,24
2 15 0,30
3 8 0,16
4 10 0,20
5 4 0,08
6 7 0,14
7 16 0,32
8 9 0,18
9 14 0,28
10 10 0,20
11 5 0,10
12 6 0,12
13 17 0,34
14 12 0,24
15 22 0,44
16 8 0,16
17 10 0,20
18 5 0,10
19 13 0,26
20 11 0,22
21 20 0,40
22 18 0,36
23 24 0,48
24 15 0,30
25 9 0,18
26 12 0,24
27 7 0,14
28 13 0,26
29 9 0,18
30 6 0,12

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

$$\overline{p} = \dfrac{\sum_{i=1}^{m}p_i}{m} = \dfrac{\sum_{i=1}^{30}p_i}{30} = \dfrac{6,94}{30} = 0,2313$$

Notação: Aqui consideraremos ni como sendo o tamanho de cada amostra e m o número de amostras. Para este exemplo temos ni = 50 para todo i (tamanhos iguais) e m = 30.

Verificação para grandes amostras:

$$n_i \ast \overline{p} = 50 \ast (0,2313) = 11,565 \geq 5$$

$$n_i \ast (1-\overline{p}) = 50 \ast (0,7687) = 38,435 \geq 5$$

Gráfico p

$$LSC = \overline{p} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,2313 + 3\sqrt{\dfrac{0,2313(1-0,2313)}{50}} = 0,41$$

$$LC = \overline{p} = 0,2313$$

$$LIC = \overline{p} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,2313 - 3\sqrt{\dfrac{0,2313(1-0,2313)}{50}} = 0,052$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.



Figura 5.1.1: Gráfico p.

Verificamos, no gráfico de proporção para refugo, que os pontos 15 e 23 encontram-se fora do limite superior de controle indicando a existência de causas especiais de variação. Após a análise destes pontos eles foram retirados da amostras e novos limites de controle foram calculados.

$$\overline{p} = \dfrac{\sum_{i=1}^{28}p_i}{28} = \dfrac{6,02}{28} = 0,215$$

Com isso, os limites de controle são

$$LSC = \overline{p} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,215 + 3\sqrt{\dfrac{0,215(1-0,215)}{50}} = 0,389$$

$$LC = \overline{p} = 0,215$$

$$LIC = \overline{p} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,215 - 3\sqrt{\dfrac{0,215(1-0,215)}{50}} = 0,041$$

Para efetuar o download dos dados sem os pontos 15 e 23 clique aqui.

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action e o gráfico sem os pontos 15 e 23, com os limites de controle revisados.


Figura 5.1.2: Gráfico p, com os limites revisados.

Podemos notar que, apesar da retirada dos pontos fora dos limites de controle e o cálculo dos limites de controle revisados, ainda existe um ponto fora dos novos limites indicando a presença de causa especial de variação. Após a tomada de uma ação para a correção dessa causa especial, novos dados foram coletados e um novo gráfico foi gerado. Estes novos dados são mostrados na tabela a seguir.

Tabela 5.1.2: Dados adicionais

Amostras Defeituosos Fração de Defeituosos (pi)
31 9 0,18
32 6 0,12
33 12 0,24
34 5 0,1
35 6 0,12
36 4 0,08
37 5 0,1
38 3 0,06
39 7 0,14
40 6 0,12
41 2 0,04
42 4 0,08
43 3 0,06
44 6 0,12
45 5 0,1
46 4 0,08
47 8 0,16
48 5 0,1
49 6 0,12
50 7 0,14
51 5 0,1
52 6 0,12
53 3 0,06
54 4 0,08

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

$$\overline{p} = \dfrac{\sum_{i=1}^{24}p_i}{24} = \dfrac{2,62}{24} = 0,10917$$

Assim, os limites de controle para os novos dados são

$$LSC = \overline{p} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,10917 + 3\sqrt{\dfrac{0,10917(1-0,10917)}{50}} = 0,24147$$

$$LC = \overline{p} = 0,10917$$

$$LIC = \overline{p} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,10917 - 3\sqrt{\dfrac{0,10917(1-0,10917)}{50}} = 0$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action.



Figura 5.1.3: Gráfico p, com dados adicionados.

Podemos verificar no gráfico da Figura 5.1.3 que, após a ação sobre a causa especial de variação seguida da coleta de novos dados o processo encontra-se sob controle estatístico.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 5.1.2: Temos a seguir dados sobre defeitos de inclusão de areia de moldes de eixo-comando.

Tabela 5.1.3: Defeitos de inclusão de areia

Amostras Total Fundido (ni) Defeitos de inclusão (Di)
1 1536 33
2 1536 49
3 1536 31
4 1536 52
5 1536 30
6 1536 26
7 1520 51
8 1488 25
9 1344 41
10 944 18
11 1152 22
12 1152 13
13 1683 13
14 1700 25
15 1700 62
16 1870 15
17 1140 30
18 1152 26
19 1140 4
20 1128 23
21 1152 10
22 1128 6
23 1152 21
24 1152 21
25 1152 7
26 1152 22
27 1152 23
28 1140 16
29 1140 15
30 1128 18

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Notação: Aqui consideraremos ni como sendo o tamanho de cada amostra e n o número de amostras. Para este exemplo, ni assume valores diferentes para cada amostra e n = 30.

Gráfico p

Calculamos agora o Limite Superior e o Limite Inferior para a primeira amostra (Amostra 1) em que ni = 1536.

$$LC = \overline{p} = \dfrac{\sum_{i=1}^{30}Di}{\sum_{i=1}^{30}ni} = \dfrac{748}{39777} = 0,018804$$

$$LSC = \overline{p} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,018804 + 3\sqrt{\dfrac{0,018804(1-0,018804)}{1536}} = 0,02920$$

$$LIC = \overline{p} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,018804 - 3\sqrt{\dfrac{0,018804(1-0,018804)}{1536}} = 0,00841$$

O mesmo procedimento deve ser feito para todas as outras amostras.

A seguir apresentamos os resultados obtidos pelo Software Action para todas essas amostras.


Figura 5.1.4: Gráfico p.

Podemos verificar no gráfico da Figura 5.1.4 a existência de vários pontos fora do limite de controle indicando que o processo não está sob controle estatístico.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.