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6.1 - Papel de Probabilidade

O Papel de Probabilidade é uma técnica gráfica utilizada para verificar a adequação de um determinado modelo estatístico aos dados. A técnica que iremos descrever é simples de utilizar e pode ser aplicada a inúmeros tipos de modelos estatísticos. Vamos considerar o modelo Normal com média μ e variância σ2 (Para maiores informações sobre a distribuição normal consultar o capítulo 6.2 - Distribuição normal). Se X ~ N(μ,σ2), a transformação

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]

tem distribuição normal padrão (média zero e variância 1). Vamos denotar a distribuião acumulada de Z por Φ. Se F é a função distribuição acumulada da distribuição normal com média μ e variância σ2, temos que

\[F(x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\Phi(z).\]

Aplicando a função Φ-1 em ambos os lados, temos

\[\Phi^{-1}(F(x))=\frac{x-\mu}{\sigma}\]

de onde obtemos que

\[x=\sigma\Phi^{-1}(F(x))+\mu\]

onde Φ-1(F(x)) é o quantil da distribuição Normal padrão, calculado no ponto F(x). Como a expressão acima tem o formato de uma expressão linear, ao fazermos o gráfico entre x e  Φ-1(F(x)) devemos esperar um comportamento linear dos pontos, se a distribuição Normal for realmente adequada. Com isso, construimos o Papel de Probabilidade a partir das seguintes etapas:

1) Considere uma amostra x1, ..., xn;

2) Ordene os elementos da amostra, ou seja, x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n);

3) Calcule n valores di = (i-0,3)/(n+0,4), com i = 1, ..., n. A correção de $ 0,3 $ no numerador e $ 0,4 $ no denominador é necessário para que não tenhamos $ d_i=1 $, pois neste caso, temos que $ \phi^{-1} (1) = \infty $.

4) Calcule os quantis da distribuição Normal padrão para cada um dos valores di, isto é,

\[\Phi^{-1}(d_{i}),~~i=1, \ldots, n;\]

5) Faça um gráfico com os pontos $ (x_{(i)}, \Phi^{-1}(d_{i})),~i=1, \ldots, n; $ e

avalie a normalidade dos dados.

Exemplo 6.1.1: Avaliar a normalidade dos dados referentes à medição de 10 peças.

1,90642
2,10288
1,52229
2,61826
1,42738
2,22488
1,69742
3,15435
1,98492
1,99568

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Ordenando os elementos da amostra, temos que

x(1) 1,42738
x(2) 1,52229
x(3) 1,69742
x(4) 1,90642
x(5) 1,98492
x(6) 1,99568
x(7) 2,10288
x(8) 2,22488
x(9) 2,61826
x(10) 3,15435

Vamos agora calcular os valores di's, para i = 1, ..., 10. Os resultados são os seguintes:

\[d_{1}=\frac{1-0,3}{10+0,4}=0,067308\]

\[d_{2}=\frac{2-0,3}{10+0,4}=0,163462\]

\[d_{3}=\frac{3-0,3}{10+0,4}=0,259615\]

\[d_{4}=\frac{4-0,3}{10+0,4}=0,355769\]

\[d_{5}=\frac{5-0,3}{10+0,4}=0,451923\]

\[d_{6}=\frac{6-0,3}{10+0,4}=0,548077\]

\[d_{7}=\frac{7-0,3}{10+0,4}=0,644231\]

\[d_{8}=\frac{8-0,3}{10+0,4}=0,740385\]

\[d_{9}=\frac{9-0,3}{10+0,4}=0,836538\]

\[d_{10}=\frac{10-0,3}{10+0,4}=0,932692\]

Desta forma, calculando os quantis Φ-1(di) temos que

x(i) di Φ-1(di)
1,42738 0,067308 -1,49615
1,52229 0,163462 -0,98033
1,69742 0,259615 -0,64453
1,90642 0,355769 -0,36979
1,98492 0,451923 -0,1208
1,99568 0,548077 0,120804
2,10288 0,644231 0,369791
2,22488 0,740385 0,644532
2,61826 0,836538 0,98033
3,15435 0,932692 1,496147

Plotando os pontos da forma (x(i), Φ-1(di)) temos o papel de probabilidade dado por

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.