Início » Controle Estatístico do Processo » 6 - Cartas de Controle para Pequenos Lotes

6.2 - Carta Padronizada Xbar e R

A abordagem DNOM assume uma variação comum e constante entre os produtos controlados por uma única carta. Quando existem diferenças substanciais nas variações desses produtos, o uso do desvio do alvo do processo torna-se problemático. Nesses casos os dados podem ser padronizados para compensar as diferentes médias do produto e a variabilidade. Essa classe de carta às vezes é chamada de carta Z ou Zed.

No caso da utilização dos gráficos de controle da média e da amplitude ($ \overline{X} $ e $ R $), admitindo-se que o processo está sobe controle e são conhecidas sua média e sua dispersão tem-se, para a amplitude, segundo o CEP convencional:

$$D_3\overline{R} ~\textless ~R ~\textless ~D_4\overline{R}$$

ou

$$(d_2 - 3d_3)\dfrac{\overline{R}}{d_2} ~\textless ~R ~\textless ~ (d_2 + 3d_3)\dfrac{\overline{R}}{d_2}$$

Como o termo $ \dfrac{\overline{R}}{d_2} $ é uma estimativa do desvio-padrão populacional σ, a expressão anterior pode ser reescrita na forma

$$(d_2 - 3d_3)\hat{\sigma} ~\textless~ R ~\textless ~ (d_2 + 3d_3)\hat{\sigma}$$

e, padronizando a expressão anterior, obtemos que

$$-3 ~\textless ~\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} ~\textless ~3 ~~~~~~~~~~(6.2.1)$$

Para o gráfico de controle da média, tem-se

$$\overline{\overline{x}} - A_2\overline{R} ~\textless ~\overline{x} ~\textless ~ \overline{\overline{x}} + A_2\overline{R}$$

em que $ \overline{\overline{x}}_p $ é a média ponderada das médias amostrais por tipo de peça, usando como pesos os seus respectivos tamanhos de amostras

$$\overline{\overline{x}}_p = \dfrac{n_1\overline{x}_{p1} + n_2\overline{x}_{p2} + \ldots + n_k\overline{x}_{pk}}{n_1 + n_2 + \ldots + n_k}$$

e como o tamanho da amostra pode ser variável, então

$$\overline{\overline{x}}_p - 3\dfrac{\overline{R}}{d_2\sqrt{n_i}} ~\textless ~\overline{x}_{pj} ~\textless ~ \overline{\overline{x}}_p + 3\dfrac{\overline{R}}{d_2\sqrt{n_i}}$$

em que i é o número de diferentes peças e j é o número de peças analisadas em cada amostra. Padronizando-se a expressão anterior temos

$$-3 ~\textless ~\dfrac{\sqrt{n_i}(\overline{x}_{pj} - \overline{\overline{x}})}{\hat{\sigma}} ~\textless ~3 ~~~~~~~~~~(6.2.2)$$

As etapas para a aplicação da metodologia, em gráficos de médias e da amplitude ($ \overline{X} $ e $ R $), são as seguintes:

  1. Traçar nos gráficos os limites de controle para as médias e para as amplitudes padornozadas: -3 e 3, em ambos os casos;
  2. Determinar as estimativas da média e do desvio-padrão populacionais, $ \overline{\overline{X}} $ e $ \hat{\sigma} $ a serem empregadas na padronização das medidas do produto em produção;
  3. Coletar amostras de tamanho qualquer (n > 1), de acordo com a frequência pré-estabelecida;
  4. Calcular a média $ \overline{x} $ e amplitude $ R $ dos valores;
  5. Para cada amostra, padronizar a sua média (equação 6.2.2) e a sua amplitude (equação 6.2.1);
  6. Marcar os pontos nos respectivos gráficos de controle;
  7. Quando um novo tipo de produto entrar em produção, devem-se obter novas estimativas para a média e o desvio-padrão populacionais.

Exemplo 6.2.1: Consideremos os mesmos valores da tabela do Exemplo 6.1.1. Admitimos $ \overline{x} $ e $ \sigma $ como sendo as estimativas para a média e para o desvio-padrão populacionais, respectivamente.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para o tipo de peça 1 temos:

$$\overline{\overline{x}}_p = \dfrac{3 \ast (219,9682+220,0881+219,9492+219,9223+220,1534)}{5 \ast 3} = 220,016$$

$$\overline{R} = \dfrac{0,308384+0,332242+0,251692+0,305502+0,33448}{5} = 0,306$$

$$\hat{\sigma}_p = \dfrac{0,306}{1,693} = 0,181$$

em que d2 = 1,693 (para n = 3), tabelado no Apêndice.

Para os outros tipos de peça o cálculo é análogo e os valores encontram-se na tabela abaixo.

Tabela 6.2.1: Médias e desvios-padrão por tipo de peça.

Tipo de Peça (p) $ \overline{\overline{x}}_p $ $ \overline{R} $ $ \hat{\sigma}_p $
1 220,016 0,306 0,181
2 259,92 0,312 0,185
3 319,974 0,297 0,175
4 240,061 0,186 0,11
5 300,057 0,423 0,25

Vamos obter agora os valores codificados:

Tipo de peça 1

  • Média padronizada:

Amostra 1

$$\dfrac{\sqrt{n_1}(\overline{x}_{p1} - \overline{\overline{x}}_p)}{\hat{\sigma}} = \dfrac{\sqrt{3} \ast (219,9682 - 220,016)}{0,181} = -0,459$$

Amostra 2

$$\dfrac{\sqrt{n_1}(\overline{x}_{p2} - \overline{\overline{x}}_p)}{\hat{\sigma}} = \dfrac{\sqrt{3} \ast (220,0881 - 220,016)}{0,181} = 0,687$$

Amostra 3

$$\dfrac{\sqrt{n_1}(\overline{x}_{p3} - \overline{\overline{x}}_p)}{\hat{\sigma}} = \dfrac{\sqrt{3} \ast (219,9492 - 220,016)}{0,181} = -0,641$$

Amostra 4

$$\dfrac{\sqrt{n_1}(\overline{x}_{p4} - \overline{\overline{x}}_p)}{\hat{\sigma}} = \dfrac{\sqrt{3} \ast (219,9223 - 220,016)}{0,181} = -0,898$$

Amostra 5

$$\dfrac{\sqrt{n_1}(\overline{x}_{p5} - \overline{\overline{x}}_p)}{\hat{\sigma}} = \dfrac{\sqrt{3} \ast (220,1534 - 220,016)}{0,181} = 1,312$$

  • Amplitude padronizada:

Amostra 1

$$\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} = \dfrac{\dfrac{0,308384}{0,181} - 1,693}{0,888} = 0,0120$$

Amostra 2

$$\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} = \dfrac{\dfrac{0,332242}{0,181} - 1,693}{0,888} = 0,160$$

Amostra 3

$$\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} = \dfrac{\dfrac{0,251692}{0,181} - 1,693}{0,888} = -0,341$$

Amostra 4

$$\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} = \dfrac{\dfrac{0,305502}{0,181} - 1,693}{0,888} = -0,0059$$

Amostra 5

$$\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} = \dfrac{\dfrac{0,33448}{0,181} - 1,693}{0,888} = 0,174$$

Para os outros tipos de peça e outras amostras o cálculo é análogo.

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.


Figura 6.2.1: Gráficos da média padronizada e amplitude padronizada.

Observação: Em alguns processos para pequenos lotes, o volume total da produção pode ser pequeno demais para que a formação de subgrupos seja utilizada efetivamente. Nesses casos as medições da formação de grupos podem funcionar ao contrário do conceito de controle do processo e podem reduzir a carta de controle a uma função de relatório de dados. Mas quando a formação de subgrupos é possível, as medições podem ser padronizadas para acomodar esse caso.

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Cartas de controle para atributos padronizados

As amostras dos dados para atributos, incluindo aquelas de tamanho variável, podem ser padronizadas para que vários tipos de peças sejam marcadas em uma única carta. A estatística tem a forma:

$$Z_i = \dfrac{\hbox{Diferença da Média}}{\hbox{Desvio Padrão}}$$

Por exemplo, uma estatística u suficiente para a taxa de defeitos deve ser padronizada como:

$$Z_i = \dfrac{u_i - \overline{u}}{\sqrt{\overline{u}/n}}$$

Este método também se aplica às cartas np, p, c e u.