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6.4 - Teste de Shapiro-Wilk

O teste Shapiro-Wilk, proposto em 1965, é baseado na estatística W dada por:

\[W=\frac{b^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_{(i)}-\bar{x})^2}\]

em que xi são os valores da amostra ordenados (x(1) é o menor). A constante b é determinada da seguinte forma

\[b=\left\{\begin{array}{l}\sum_{i=1}^{n/2}a_{n-i+1}\times (x_{(n-i+1)}-x_{(i)}) \ \hbox{se n é par} \\ \sum_{i=1}^{(n+1)/2}a_{n-i+1}\times (x_{(n-i+1)}-x_{(i)} \ \hbox{se n é ímpar}\end{array}\right.\]

em que an-i+1 são constantes geradas pelas médias, variâncias e covariâncias das estatísticas de ordem de uma amostra de tamanho n de uma distribuição Normal. Seus valores, tabelados, são dados abaixo.

 

i\n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13  
1 0,7071 0,7071 0,6872 0,6646 0,6431 0,6233 0,6062 0,5888 0,5739 0,5601 0,5475 0,5359  
2     0,1677 0,2413 0,2806 0,3031 0,3164 0,3244 0,3291 0,3315 0,3325 0,3325  
3         0,0875 0,1401 0,1743 0,1976 0,2141 0,2260 0,2347 0,2412  
4             0,0561 0,0947 0,1224 0,1429 0,1586 0,1707  
5                 0,0399 0,0695 0,0922 0,1099  
6   0,0303 0,0539
i\n 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1 0,5251 0,5150 0,5056 0,4968 0,4886 0,4808 0,4734 0,4643 0,4590 0,4542 0,4493 0,4450
2 0,3318 0,3306 0,3290 0,3273 0,3253 0,3232 0,3211 0,3185 0,3156 0,3126 0,3098 0,3069
3 0,2460 0,2495 0,2521 0,2540 0,2553 0,2561 0,2565 0,2578 0,2571 0,2563 0,2554 0,2543
4 0,1802 0,1878 0,1939 0,1988 0,2027 0,2059 0,2085 0,2119 0,2131 0,2139 0,2145 0,2148
5 0,1240 0,1353 0,1447 0,1524 0,1587 0,1641 0,1686 0,1736 0,1764 0,1787 0,1807 0,1822
6 0,0727 0,0880 0,1005 0,1109 0,1197 0,1271 0,1334 0,1399 0,1443 0,1480 0,1512 0,1539
7 0,0240 0,0433 0,0593 0,0725 0,0837 0,0932 0,1013 0,1092 0,115 0,1201 0,1245 0,1283
8 0,0196 0,0359 0,0496 0,0612 0,0711 0,0804 0,0878 0,0941 0,0997 0,1046
9 0,0163 0,0303 0,0422 0,0530 0,0618 0,0696 0,0764 0,0823
10 0,0140 0,0263 0,0368 0,0459 0,0539 0,061
11 0,0122 0,0228 0,0321 0,0403
12 0,0107 0,0200
13 0,0000
i\n 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
1 0,4407 0,4366 0,4328 0,4291 0,4254 0,4220 0,4188 0,4156 0,4127 0,4096 0,4068 0,4040
2 0,3043 0,3018 0,2992 0,2968 0,2944 0,2921 0,2898 0,2876 0,2854 0,2834 0,2813 0,2794
3 0,2533 0,2522 0,2510 0,2499 0,2487 0,2475 0,2463 0,2451 0,2439 0,2427 0,2415 0,2403
4 0,2151 0,2152 0,2151 0,2150 0,2148 0,2145 0,2141 0,2137 0,2132 0,1227 0,2121 0,2116
5 0,1836 0,1848 0,1857 0,1864 0,1870 0,1874 0,1878 0,1880 0,1882 0,1883 0,1883 0,1883
6 0,1563 0,1584 0,1601 0,1616 0,1630 0,1641 0,1651 0,1660 0,1667 0,1673 0,1678 0,1683
7 0,1316 0,1346 0,1372 0,1395 0,1415 0,1433 0,1449 0,1463 0,1475 0,1487 0,1496 0,1505
8 0,1089 0,1128 0,1162 0,1192 0,1219 0,1243 0,1265 0,1284 0,1301 0,1317 0,1331 0,1344
9 0,0876 0,0923 0,0965 0,1002 0,1036 0,1066 0,1093 0,1118 0,1140 0,1160 0,1179 0,1196
10 0,0672 0,0728 0,0778 0,0822 0,0862 0,0899 0,0931 0,0961 0,0988 0,1013 0,1036 0,1056
11 0,0476 0,0540 0,0598 0,065 0,0697 0,0739 0,0777 0,0812 0,0844 0,0873 0,0900 0,0924
12 0,0284 0,0358 0,0424 0,0483 0,0537 0,0585 0,0629 0,0669 0,0706 0,0739 0,0770 0,0798
13 0,0094 0,0178 0,0253 0,032 0,0381 0,0435 0,0485 0,0530 0,0572 0,0610 0,0645 0,0677
14 0,0000 0,0084 0,0159 0,0227 0,0289 0,0344 0,0395 0,0441 0,0484 0,0523 0,0559
15 0 0,0076 0,0144 0,0206 0,0262 0,0314 0,0361 0,0404 0,0444
16 0,0000 0,0068 0,0131 0,0187 0,0239 0,0287 0,0331
17 0,0000 0,0062 0,0119 0,0172 0,0220
18 0,0000 0,0057 0,0110
19 0,0000
i\n 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
1 0,4015 0,3989 0,3964 0,3940 0,3917 0,3894 0,3872 0,3850 0,3830 0,3808 0,3789 0,3770 0,3751
2 0,2774 0,2755 0,2737 0,2719 0,2701 0,2684 0,2667 0,2651 0,2635 0,2620 0,2604 0,2589 0,2574
3 0,2391 0,2380 0,2368 0,2357 0,2345 0,2334 0,2323 0,2313 0,2302 0,2291 0,2281 0,2271 0,2260
4 0,2110 0,2104 0,2098 0,2091 0,2085 0,2078 0,2072 0,2065 0,2058 0,2052 0,2045 0,2038 0,2032
5 0,1881 0,1880 0,1878 0,1876 0,1874 0,1871 0,1868 0,1865 0,1862 0,1859 0,1855 0,1851 0,1847
6 0,1686 0,1689 0,1691 0,1693 0,1694 0,1695 0,1695 0,1695 0,1695 0,1695 0,1693 0,1692 0,1691
7 0,1513 0,1520 0,1526 0,1531 0,1535 0,1539 0,1542 0,1545 0,1548 0,1550 0,1551 0,1553 0,1554
8 0,1356 0,1366 0,1376 0,1384 0,1392 0,1398 0,1405 0,1410 0,1415 0,1420 0,1423 0,1427 0,1430
9 0,1211 0,1225 0,1237 0,1249 0,1259 0,1269 0,1278 0,1286 0,1293 0,1300 0,1306 0,1312 0,1317
10 0,1075 0,1092 0,1108 0,1123 0,1136 0,1149 0,1160 0,1170 0,1180 0,1189 0,1197 0,1205 0,1212
11 0,0947 0,0967 0,0986 0,1004 0,1020 0,1035 0,1049 0,1062 0,1073 0,1085 0,1095 0,1105 0,1113
12 0,0824 0,0848 0,0870 0,0891 0,0909 0,0927 0,0943 0,0959 0,0972 0,0986 0,0998 0,1010 0,1020
13 0,0706 0,0733 0,0759 0,0782 0,0804 0,0824 0,0842 0,0860 0,0876 0,0892 0,0906 0,0919 0,0932
14 0,0592 0,0622 0,0651 0,0677 0,0701 0,0724 0,0745 0,0765 0,0783 0,0801 0,0817 0,0832 0,0846
15 0,0481 0,0515 0,0546 0,0575 0,0602 0,0628 0,0651 0,0673 0,0694 0,0713 0,0731 0,0748 0,0764
16 0,0372 0,0409 0,0444 0,0476 0,0506 0,0534 0,0560 0,0584 0,0607 0,0628 0,0648 0,0667 0,0685
17 0,0264 0,0305 0,0343 0,0379 0,0411 0,0442 0,0471 0,0497 0,0522 0,0546 0,0568 0,0588 0,0608
18 0,0158 0,0203 0,0244 0,0283 0,0318 0,0352 0,0383 0,0412 0,0439 0,0465 0,0489 0,0511 0,0532
19 0,0053 0,0101 0,0146 0,0188 0,0227 0,0263 0,0296 0,0328 0,0357 0,0385 0,0411 0,0436 0,0459
20 0,0000 0,0049 0,0094 0,0136 0,0175 0,0211 0,0245 0,0277 0,0307 0,0335 0,0361 0,0386
21 0,0000 0,0045 0,0087 0,0126 0,0163 0,0197 0,0229 0,0259 0,0288 0,0314
22 0,0000 0,0042 0,0081 0,0118 0,0153 0,0185 0,0215 0,0244
23 0,0000 0,0039 0,0076 0,0111 0,0143 0,0174
24 0,0000 0,0037 0,0071 0,0104
25 0,0000 0,0350

Para realizar o teste de Shapiro-Wilk, devemos:

1. Formulação da Hipótese:

\[\displaystyle \left\{\begin{array}{l}H_0: \hbox{A amostra provém de uma população Normal} \\ H_1: \hbox{A amostra não provém de uma população Normal}\end{array}\right.\]

2. Estabelecer o Nível de significância do teste (α ), normalmente 0,05;

3. Calcular a estatística de teste:

  • Ordenar as n observações da amostra: x(1), x(2), x(3), ..., x(n);
  • Calcular $ \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 $;
  • Calcular b;
  • Calcular W.

4. Tomar a decisão: Rejeitar H0 ao nível de significância α se Wcalculado < Wα (os valores críticos da estatística W de Shapiro-Wilk são dados naTabela abaixo).

 

  Nível de significância
N 0,01 0,02 0,05 0,1 0,5 0,9 0,95 0,98 0,99
3 0,753 0,756 0,767 0,789 0,959 0,998 0,999 1,000 1,000
4 0,687 0,707 0,748 0,792 0,935 0,987 0,992 0,996 0,997
5 0,686 0,715 0,762 0,806 0,927 0,979 0,986 0,991 0,993
6 0,713 0,743 0,788 0,826 0,927 0,974 0,981 0,986 0,989
7 0,730 0,760 0,803 0,838 0,928 0,972 0,979 0,985 0,988
8 0,749 0,778 0,818 0,851 0,932 0,972 0,978 0,984 0,987
9 0,764 0,791 0,829 0,859 0,935 0,972 0,978 0,984 0,986
10 0,781 0,806 0,842 0,869 0,938 0,972 0,978 0,983 0,986
11 0,792 0,817 0,850 0,876 0,940 0,973 0,979 0,984 0,986
12 0,805 0,828 0,859 0,883 0,943 0,973 0,979 0,984 0,986
13 0,814 0,837 0,866 0,889 0,945 0,974 0,979 0,984 0,986
14 0,825 0,846 0,874 0,895 0,947 0,975 0,980 0,984 0,986
15 0,835 0,855 0,881 0,901 0,950 0,975 0,980 0,984 0,987
16 0,844 0,863 0,887 0,906 0,952 0,976 0,981 0,985 0,987
17 0,851 0,869 0,892 0,910 0,954 0,977 0,981 0,985 0,987
18 0,858 0,874 0,897 0,914 0,956 0,978 0,982 0,986 0,988
19 0,863 0,879 0,901 0,917 0,957 0,978 0,982 0,986 0,988
20 0,868 0,884 0,905 0,920 0,959 0,979 0,983 0,986 0,988
21 0,873 0,888 0,908 0,923 0,960 0,980 0,983 0,987 0,989
22 0,878 0,892 0,911 0,926 0,961 0,980 0,984 0,987 0,989
23 0,881 0,895 0,914 0,928 0,962 0,981 0,984 0,987 0,989
24 0,884 0,898 0,916 0,930 0,963 0,981 0,984 0,987 0,989
25 0,888 0,901 0,918 0,931 0,964 0,981 0,985 0,988 0,989
26 0,891 0,904 0,920 0,933 0,965 0,982 0,985 0,988 0,989
27 0,894 0,906 0,923 0,935 0,965 0,982 0,985 0,988 0,990
28 0,896 0,908 0,924 0,936 0,966 0,982 0,985 0,988 0,990
29 0,898 0,910 0,926 0,937 0,966 0,982 0,985 0,988 0,990
30 0,900 0,912 0,927 0,939 0,967 0,983 0,985 0,988 0,990
31 0,902 0,914 0,929 0,940 0,967 0,983 0,986 0,988 0,990
32 0,904 0,915 0,930 0,941 0,968 0,983 0,986 0,988 0,990
33 0,906 0,917 0,931 0,942 0,968 0,983 0,986 0,989 0,990
34 0,908 0,919 0,933 0,943 0,969 0,983 0,986 0,989 0,990
35 0,910 0,920 0,934 0,944 0,969 0,984 0,986 0,989 0,990
36 0,912 0,922 0,935 0,945 0,970 0,984 0,986 0,989 0,990
37 0,914 0,924 0,936 0,946 0,970 0,984 0,987 0,989 0,990
38 0,916 0,925 0,938 0,947 0,971 0,984 0,987 0,989 0,990
39 0,917 0,927 0,939 0,948 0,971 0,984 0,987 0,989 0,991
40 0,919 0,928 0,940 0,949 0,972 0,985 0,987 0,989 0,991
41 0,920 0,929 0,941 0,950 0,972 0,985 0,987 0,989 0,991
42 0,922 0,930 0,942 0,951 0,972 0,985 0,987 0,989 0,991
43 0,923 0,932 0,943 0,951 0,973 0,985 0,987 0,990 0,991
44 0,924 0,933 0,944 0,952 0,973 0,985 0,987 0,990 0,991
45 0,926 0,934 0,945 0,953 0,973 0,985 0,988 0,990 0,991
46 0,927 0,935 0,945 0,953 0,974 0,985 0,988 0,990 0,991
47 0,928 0,936 0,946 0,954 0,974 0,985 0,988 0,990 0,991
48 0,929 0,937 0,947 0,954 0,974 0,985 0,988 0,990 0,991
49 0,929 0,938 0,947 0,955 0,974 0,985 0,988 0,990 0,991
50 0,930 0,939 0,947 0,955 0,974 0,985 0,988 0,990 0,991

Exemplo 6.4.1: Considere novamente o Exemplo 6.1.1 sobre a medição de 10 peças.

1,90642 2,22488
2,10288 1,69742
1,52229 3,15435
2,61826 1,98492
1,42738 1,99568

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Vamos testar

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:  \ \hbox{os dados seguem uma distribuição normal} \ N(\mu,\sigma^2) \\  H_1: \ \hbox{os dados não seguem uma distribuição normal}  \end{array}\right.\]

Primeiramente, ordenamos os dados da amostra

x(1) 1,42738
x(2) 1,52229
x(3) 1,69742
x(4) 1,90642
x(5) 1,98492
x(6) 1,99568
x(7) 2,10288
x(8) 2,22488
x(9) 2,61826
x(10) 3,15435

Temos que $ \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2=2,392327 $ e

i n-i+1 an-i+1 x(n-i+1) x(i) an-i+1(x(n-i+1)-x(i))
1 10 0,5739 3,15435 1,42738 0,991108
2 9 0,3291 2,61826 1,52229 0,360684
3 8 0,2141 2,22488 1,69742 0,112929
4 7 0,1224 2,10288 1,90642 0,024047
5 6 0,0399 1,99568 1,98492 0,000429

Desta forma, segue que b = 1,484197 e, por fim, W é dado por

\[W=\frac{b^2}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}=\frac{2,217708}{2,392327}=0,927.\]

Pela regra de decisão do teste, Wcalculado = 0,927 > W(0,05;10) = 0,842, com o p-valor calculado por P[W > Wcalculado] = 0,4162 > α = 0,05. Assim, podemos afirmar com nível de significância de 5% que a amostra provém de uma população normal.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.


Exemplo 6.4.2: Avaliar a normalidade dos dados referente a medição de 10 peças.

8; 9; 10; 10; 10; 12; 12; 16; 19; 24

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Em seguida, calculamos $ \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=236 $ e a constante b:

i n-i+1 an-i+1 x(n-i+1) x(i) an-i+1(x(n-i+1)-x(i))
1 10 0,5739 24 8
9,1824
2 9 0,3291 19 9 3,2910
3 8 0,2141 16 10 1,2846
4 7 0,1224 12 10 0,2448
5 6 0,0399 12 10 0,0798
          b=14,0826

e por fim, W:

\[W=\frac{b^2}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}=\frac{14,0826^2}{236}=0,840.\]

Pela regra de decisão do teste, Wcalculado = 0,840 < W(0,05;10) = 0,842, com o p-valor calculado por P[W > Wcalculado] = 0,0443 < α = 0,05. Assim, podemos afirmar com nível de significância de 5% que a amostra não provém de uma população normal. Esse fato é confirmado pela aleatoriedade dos pontos em torno da reta.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.


 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.