Início » Inferência » 4 - Intervalos de confiança » 4.1 - Intervalo de confiança para média

4.1.1 - Variância conhecida

Consideremos uma amostra aleatória simples X1,...,Xn obtida de uma população com distribuição Normal, com média μ e variância σ2 conhecida. Desta forma, a distribuição amostral da média também é Normal com média μ e variância σ2/n, ou seja

\[\overline{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).\]

Assim, temos que

\[\displaystyle Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1),\]

isto é, a variável Z tem distribuição Normal padronizada.

Consideremos que a probabilidade da variável Z tomar valores entre $ -Z_{\alpha/2} $ e $ Z_{\alpha/2} $ é (1-α). Os valores $ -Z_{\alpha/2} $ e $ Z_{\alpha/2} $ são obtidos na tabela da distribuição Normal conforme mostra a figura a seguir

Então, temos que

\[P[-Z_{\alpha/2}\leq Z\leq Z_{\alpha/2}]=(1-\alpha)\]

ou seja,

\[P\left[-Z_{\alpha/2}\leq \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\leq Z_{\alpha/2}\right]=(1-\alpha)\]

o que implica que

\[P\left[\overline{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X} +Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]=1-\alpha.\]

Com isso, o intervalo de confiança da média é dado por

\[IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\overline{X}+ Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).\]

Caso os dados não tenha distribuição normal, podemos aplicar o teorema central do limite e construir um intervalo de confiança aproximado.

Interpretação: Podemos afirmar que se pudermos repetir muitas vezes o experimento e coletarmos os dados, aproximadamente 100(1-α)% das vezes a média populacional estará no intervalo encontrado.

 

Exemplo 4.1.1.1: O projetista de uma indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar o tempo médio gasto para montar um determinado brinquedo. Lembrando que foi verificado que $ \overline{x} $= 19,9 e σ=5,73, construir um intervalo de confiança com (1-0,05) = 0,95 para μ.

Na tabela da distribuição normal padronizada, obtemos que Z0,025=1,96. Substituindo $ \overline{x}=19,9, n=36, \sigma=5,73 $ e $ Z_{0,025}=1,96 $ na fórmula para o intervalo de confiança, temos

\[19,9-1,96\frac{5,73}{\sqrt{36}}\leq\mu\leq 19,9+1,96\frac{5,73}{\sqrt{36}}\]

e, portanto,

$$(18,02 \leq \mu \leq 21,77)$$

Uma das principais interpretações do intervalo de confiança consiste em avaliar a incerteza que temos a respeito de estimarmos o parâmetro populacional $ \mu $ a partir de uma amostra aleatória de tamanho n (=36).