4.3 - Gráficos para Valores Individuais e Amplitudes Móveis

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Há muitas situações onde o tamanho amostral usado para o controle do processo é n = 1. Assim, por exemplo, na fabricação de aço, celulose e outros elementos químicos, o controle do processo é realizado retirando-se amostras de uma unidade para se medir por exemplo PH, viscosidade etc.

Como não é possível estimar a variabilidade através da amplitude ou do desvio padrão de cada amostra (eles não estão definidos para amostras de tamanho 1), usamos como estimativa da variabilidade a amplitude móvel de duas (ou mais) observações sucessivas.

 

Cálculo dos limites de controle para os gráficos I-MR

Para o Cálculo dos Limites de Controle usaremos as seguintes fórmulas:

  • Para os valores individuais (I):

$$LSC = \overline{X} + \left(\dfrac{3 \ast \overline{MR}}{d_{2}}\right) = \overline{X} + (E_2 \ast \overline{MR})$$

$$LC = \overline{X}$$

$$LIC = \overline{X} - \left(\dfrac{3 \ast \overline{MR}}{d_{2}}\right) = \overline{X} - (E_2 \ast \overline{MR})$$

  • Para as amplitudes móveis (MR):

$$LSC = D_4 \ast \overline{MR}$$

$$LC = \overline{MR}$$

$$LIC = D_3 \ast \overline{MR}$$

em que

$ \overline{MR} $ = Média das Amplitudes Móveis = $ \displaystyle\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}MR_{i} $

$ MR_{i} = |x_i - x_{i-1}| $    para i = 1, 2, ..., m

$ E_2 = \dfrac{3}{d_2}. $

Exemplo 4.3.1: 

Vamos construir os gráficos I-MR utilizando os dados da Tabela 4.3.1.

Tabela 4.3.1: Dados de viscosidade

Lote Viscosidade Amplitude Móvel
1 33,75 -
2 33,05 0,7
3 34 0,95
4 33,81 0,19
5 33,46 0,35
6 34,02 0,56
7 33,68 0,34
8 33,27 0,41
9 33,49 0,22
10 33,2 0,29
11 33,62 0,42
12 33 0,62
13 33,12 0,12
14 34,84 1,72
15 33,79 1,05
16 33,85 0,06
17 34,05 0,2
18 34,02 0,03
19 33,89 0,13
20 34,12 0,23
21 34,1 0,02
22 33,99 0,11
23 34,11 0,12
  $ \overline{X} $ = 33,75 $ \overline{MR} $ = 0,40

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Antes de construirmos os gráficos I-MR é importante realizamos um teste de normalidade para os dados, com isso não corremos o risco de encontrar resultados distorcidos.

Como o p-valor associado a estatística de Anderson-Darling é maior do que 0,05, dizemos que os dados seguem distribuição normal.

Dessa forma, podemos construir os gráficos I-MR para os dados do nosso exemplo.

OBS.: Caso os dados não sejam normais podemos utilizar a transformação de Box-Cox com o objetivo de encontrar normalidade. Se, mesmo transformados os dados não forem normais então uma opção é tirar a média móvel de cada duas observações e trabalhar com esses novos dados, pois a normalidade nesse caso é importante.

Utilizando o Apêndice obtemos os valores tabelados das constantes necessárias para o cálculo, assim para n = 2 temos, d2=1,128;  D3 = 0;  D4 = 3,267 e com o valor da constante d2 obtemos E2 = 3/d2 = 2,6596.

Aplicando as fórmulas obtemos:

  • Para os valores individuais (I):

$$LSC = 33,75 + (2,6596 \ast 0,40) = 34,82$$

$$LC = 33,75$$

$$LIC = 33,75 - (2,6596 \ast 0,40) = 32,68$$

  • Para as amplitudes móveis (MR):

$$LSC = 3,267 \ast 0,40 = 1,31$$

$$LC = 0,40$$

$$LIC = 0$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

Figura 4.3.1: Gráficos I-MR.

Podemos observar em ambos os gráficos que existe um ponto fora dos limites de controle. Notamos também que estes pontos desencadearam uma sequência nos valores médios observados em seguida, indicando a presença de uma causa especial de variação.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 4.3.2:

Neste exemplo vamos realizar um estudo de CEP usando as cartas de controle I-MR para dados referentes a gramatura de papéis.

Tabela 4.3.2: Dados de gramatura de papéis.

Lote  Gramatura (g/m2) Amplitude Móvel
1 88,20  -
2 88,90 0,70
3 90,50 1,60
4 90,30 0,20
5 90,00 0,30
6 90,20 0,20
7 91,20 1,00
8 91,00 0,20
9 91,50 0,50
10 91,40 0,10
11 91,30 0,10
12 90,20 1,10
13 91,40 1,20
14 89,90 1,50
15 90,20 0,30
16 90,10 0,10
17 90,80 0,70
18 91,40 0,60
19 91,30 0,10
20 89,00 2,30
21 90,70 1,70
22 89,50 1,20
23 91,20 1,70
24 90,50 0,70
25 90,60 0,10
  $ \overline{X} $ = 90,45 $ \overline{MR} $ = 0,75833

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Vamos verificar a normalidade dos dados através do teste abaixo.

Como o p-valor associado a estatística de Anderson-Darling é maior do que 0,05, podemos dizer que os dados seguem distribuição normal.

Dessa forma, podemos construir os gráficos I-MR para os dados do nosso exemplo.

Inicialmente calculamos os valores para $ \overline{X} $ e $ \overline{MR} $.

$$\overline{X} = 90,45$$

$$\overline{MR} = \dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}|x_i - x_{i-1}| = 0,75833$$

Utilizando o Apêndice temos, para n = 2, d2 = 1,128;  E2 = 3/d2 = 2,6595;  D3 = 0;  D4 = 3,267.

Aplicando as fórmulas obtemos:

  • Para os valores individuais (I):

$$LSC = \overline{X} + \left(\dfrac{3 \ast \overline{MR}}{d_{2}}\right) = \overline{X} + (E_2 \ast \overline{MR}) = 90,45 + \left(\dfrac{3 \ast 0,75833}{1,128}\right) = 92,468$$

$$LC = \overline{X} = 90,45$$

$$LIC = \overline{X} - \left(\dfrac{3 \ast \overline{MR}}{d_{2}}\right) = \overline{X} - (E_2 \ast \overline{MR}) = 90,45 - \left(\dfrac{3 \ast 0,75833}{1,128}\right) = 88,4358$$

  • Para as amplitudes móveis (MR):

$$LSC = D_4 \ast \overline{MR} = 3,267 \ast 0,758333 = 2,47747$$

$$LC = \overline{MR} = 0,75833$$

$$LIC = D_3 \ast \overline{MR} = 0,00 \ast 0,758333 = 0$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

Figura 4.3.2: Gráficos I-MR.

Verificamos no gráfico de amplitude móvel que todos os valores estão dentro dos limites de controle e apresentam um comportamento aleatório, indicando controle do processo estatístico. Porém, no gráfico de valores individuais a primeira observação se encontra fora do limite inferior de controle, sendo que os pontos subsequentes apresentam variação aleatória, o que pode indicar a presença de uma causa especial de variação no processo.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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