2.4.3 - Teste de Tendência e Linearidade

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O teste de tendência e linearidade, proposto por Leão, Aoki e Silva (2009) [14], testa a compatibilidade dos resultados das medições do laboratório com respeito ao valor de referência, para todos os pontos de medição. Neste caso, vamos utilizar a estatística de Wald, conforme Sen e Singer (2000) [13]. Para desenvolver o teste, foi considerado o seguinte modelo

$$y_{ijk}=\alpha_{i}+\beta_{i}x_{j}~\quad(2.4.3.1),$$

$$Y_{ijk}=y_{ijk}+e_{ijk}~,$$

em que, i=1,...,p, j=1,...,m, e k=1,...,ni. Dessa forma, temos que Yijk (valor observado) é sujeito ao erro de medição e assumimos que yijk satisfaz o relacionamento linear ultra-estrutural com o

valor verdadeiro xj (não observável). No modelo (2.4.3.1) temos que:

αi: representa a tendência aditiva do i-ésimo laboratório;
βi: representa a tendência multiplicativa do i-ésimo laboratório;
xj: representa o “verdadeiro” valor da característica a ser medida. Assumimos que
xj v.a.ind. ∼  $ N(\mu_{xj} , \sigma^2_{xj}) $;
$ \mu_{xj} $: representa o parâmetro de locação;
σxj: representa o parâmetro de escala e é considerado conhecido.
ϵijk: representa o erro aleatório na realização da k-ésima medição, no j-ésimo patamar pelo i-ésimo laboratório. Assumimos que
eijk v.a.ind. ∼  N(0, σ2ij);
σij: representa o parâmetro de escala e é considerado conhecido.
Consideramos ainda que xj é independente de eijk.

O objetivo desta análise é comparar a tendência aditiva (αi) e multiplicativa (βi) de cada laboratório (i) com o valor de referência, que neste caso, resulta em α = 0 e β = 1. Aqui, vamos considerar o primeiro dos p laboratórios como sendo o laboratório de referência, com isso, e considerando as premissas iniciais, temos que:

$$(\mbox{Referência})~Y_{1jk}=x_{j}+e_{1jk}~~\sim~~N(\mu_{x_j},~\sigma_{x_j}^2+\sigma_{1j}^2)\quad\mbox{para}~\left\{\begin{array}{l}j=1,\cdots,m\\k=1,\cdots,n_1\end{array}\right.$$

$$Y_{ijk}=\alpha_{i}+\beta_{i}x_{j}+e_{ijk}~\sim~N(\alpha_i+\beta_i\mu_{x_j},~\beta_i^2\sigma_{x_j}^2+\sigma_{ij}^2)~\quad\mbox{para}~\left\{\begin{array}{l}i=2,\cdots,p\\j=1,\cdots, m\\k=1,\cdots, n_i\end{array}\right.$$

Considerando o modelo proposto, testamos a competência do laboratório desenvolvendo os seguintes testes:

  • Hipótese 1: Vamos testar as seguintes hipóteses

\alpha_i\neq0~,~i=2, \cdots,p\end{array} \right.$$

Neste caso, estamos testando se a tendência aditiva do laboratório pode ser considerada nula.

  • Hipótese 2: Vamos testar as seguintes hipóteses

\beta_i\neq1~,~i=2,\cdots,p\end{array}\right.$$

Neste caso, estamos testando se a tendência multiplicativa do laboratório pode ser considerada igual a um.

  • Hipótese 3: Vamos testar as seguintes hipóteses

\alpha_i \neq0~\mbox{e}~\beta_i\neq1~,~i=2, \cdots, p\end{array} \right.$$

Neste caso, estamos testando se a tendência aditiva é nula e se a tendência multiplicativa pode ser considerada igual a um.

As estatísticas utilizadas para a realização dos testes são:

  • Teste 1:

$$Qw_{1i}=\frac{\widehat{\alpha}^2_i}{\upsilon_{\alpha_i \alpha_i}}\quad\text{para}~~i=2,\cdots, p.$$

  • Teste 2:

$$Qw_{2i}=\frac{(\widehat{\beta}_i - 1)^2}{\upsilon_{\beta_i\beta_i}}\quad\text{para}~~i=2,\cdots, p.$$

  • Teste 3:

$$Qw_{3i}=h_{3i}(\widehat{\mbox{\boldmath$\theta$}})^\top \left[\Upsilon_{ii} \right]^{-1}h_{3i}(\widehat{\mbox{\boldmath$\theta$}})$$

em que

$$h_{3i}(\widehat{\mbox{\boldmath$\theta$}})=\left(\begin{array}{l}\widehat{\alpha}_i\\\widehat{\beta}_i-1\end{array}\right)_{2\times1}~~~\text{e}~~~ \Upsilon_{ii}=\left(\begin{array}{l}\upsilon_{\alpha_i\alpha_i}\upsilon_{\alpha_i\beta_i}\\\upsilon_{\beta_i\alpha_i}\upsilon_{\beta_i \beta_i}\end{array}\right)\quad \text{para}~~i = 2, \cdots, p$$

Aqui, temos que, $ \widehat{\alpha}_i $ e $ \widehat{\beta}_i $ representam as estimativas de máxima verossimilhança associadas aos parâmetros $ \alpha_i $ e $ \beta_i $, respectivamente. Além disso, $ \upsilon_{\alpha_i\alpha_i} $ , $ \upsilon_{\alpha_i\beta_i} $ , $ \upsilon_{\beta_i\alpha_i} $ e $ \upsilon_{\beta_i \beta_i} $ são elementos da matriz inversa de informação de Fisher associados aos parâmetros $ \alpha_i $ e $ \beta_i. $

Independente do teste a ser realizado, conforme Sen e Singer (2000)  [13] (teorema 5.6.3, pág. 240), temos que, sob H0 a estatística $ Qw\sim\chi^2_1. $ Com isso, rejeitamos H0 se Qw ≥ qw, em que qw é um valor obtido da distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade e nível de significância $ \eta $. Portanto, se não   rejeitamos a hipótese H0, podemos dizer que a medição do laboratório é Qw-Satisfatório.

Podemos também calcular o p-valor, o qual é o menor valor para   o qual rejeitamos a hipótese H0. Este, é calculado por

$$P(Q_w\textgreater Q_{w_{obs}}).$$

 

Gráfico de tendência e linearidade

 

Em uma análise individual, vamos apresentar um gráfico com as tendências (tijk) de cada laboratório, para toda a faixa de medição. Aqui, definimos tendência como a diferença entre as medições do laboratório e o valor verdadeiro do motor, ou seja, tijk = Yijk − μxj. Além disso, ilustramos no gráfico, o intervalo de confiança de 99% para a tendência média, que é dado por

$$\left[\widehat{\overline{t}}_{ij}-2,575829\sqrt{\text{Var}(\widehat{\overline{t}}_{ij})}~; ~\widehat{\overline{t}}_{ij}+2,575829\sqrt{\text{Var}(\widehat{\overline{t}}_{ij})}\right]$$

no qual, $ \widehat{\overline{t}}_{ij}=\widehat{Y}_{ij}-\widehat{\mu}_{x_j}=\widehat{\alpha}_i+\widehat{\beta}_i\widehat{\mu}_{x_j}-\widehat{\mu}_{x_j} $ e $ \text{Var}(\widehat{\overline{t}}_{ij}) $ foi determinada por aproximação via método delta sobre $ \widehat{\overline{t}}_{ij} $ (ver, Sen e Singer [13] (2000) e ISO GUM [7] (2008)).

 

Exemplo 2.4.3.1:

O laboratório em um EP ensaiou o artefato, de acordo com uma logística descrita em procedimento. Vamos considerar o estudo de tendência e linearidade para o laboratório 1.

 

1200 2000 3000 3600 4400 5200 5600 6000 6400
8,89 15,84 26,84 31,41 37,19 44,35 47,49 49,92 50,92
8,83 15,80 26,61 31,31 37,12 44,35 47,33 49,76 50,74
8,86 15,80 26,86 31,40 37,24 44,28 47,56 49,98 50,89
8,85 15,79 26,85 31,40 37,17 44,31 47,60 49,90 50,84
8,88 15,81 26,92 31,50 37,32 44,40 47,79 49,96 50,94

Tabela 2.4.3.1: Medidas de Potência corrigida para cada faixa de rotação do laboratório 1.

1200 2000 3000 3600 4400 5200 5600 6000 6400
8,74 15,70 26,47 31,13 36,91 43,81 46,87 48,65 49,52

Tabela 2.4.3.2: Medidas de Potência corrigida para cada faixa de rotação do laboratório de referência.

Lab 1200 2000 3000 3600 4400 5200 5600 6000 6400
1 0,085 0,152 0,258 0,302 0,357 0,426 0,457 0,479 0,489

Tabela 2.4.3.3: Incerteza combinada da Potência corrigida para cada faixa de rotação do laboratório 1.

1200 2000 3000 3600 4400 5200 5600 6000 6400
0,123 0,221 0,373 0,439 0,518 0,614 0,656 0,681 0,692

Tabela 2.4.3.4: Incerteza combinada da Potência corrigida para cada faixa de rotação do laboratório de referência.

 

Rotação ni Média Desvio Padrão Amplitude
1200 5 8,86 0,025 0,062
2000 5 15,81 0,020 0,050
3000 5 26,81 0,121 0,311
3600 5 31,40 0,067 0,189
4400 5 37,21 0,075 0,199
5200 5 44,34 0,043 0,114
5600 5 47,55 0,165 0,452
6000 5 49,90 0,086 0,222
6400 5 50,87 0,082 0,205

Tabela 2.4.3.5: Estatística Descritiva para as medidas de potência corrigida para cada faixa de rotação do laboratório 1.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o exemplo.

Figura 2.4.3.1: Resultados do teste de Tendência e Linearidade obtidos pelo software Action.

Figura 2.4.3.2: Gráfico do teste de Tendência e Linearidade obtidos pelo software Action.

 

A partir dos resultados obtidos na Figura 2.4.3.1 e Figura 2.4.3.2, verificamos que o laboratório 1 não apresenta medições satisfatórias, pois no teste conjunto das tendências aditivas e multiplicativas (hipótese 3) rejeitamos H0, pois o p-valor=0,016 está abaixo do nível de significância de 0,05. Além disso, ao testarmos somente a hipótese de tendência aditiva nula, percebemos que não rejeitamos H0, pois o p-valor é igual a 0,714. Para a tendência multiplicativa, rejeitamos a hipótese H0 de tendência multiplicativa igual a 1, pois o p-valor é igual a 0,047 (considerando o nível de significância de 0,05). Portanto, o laboratório precisa avaliar melhor o seu sistema de medição, uma vez que apresenta linearidade significativa e um padrão de tendências positivas.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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