2.1 - Medidas de posição

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São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de frequência. As medidas de posições mais importantes são média aritmética, mediana e moda. Usaremos as seguintes notações:

x: valor de cada indivíduo da amostra.

$ \overline{x} $: média amostral.

n: tamanho amostral.

Média populacional

A média populacional é calculada somando-se todos os valores da população e dividindo o resultado pelo total de elementos da população. Numa população de $ N $ elementos, a média populacional é dada por

$ \displaystyle\mu=\frac{x_1+\ldots+x_N}{N} $

Média Amostral

A média amostral, aritmética, ou simplesmente média, é calculada somando-se os valores das observações da amostra e dividindo-se o resultado pelo número de valores. Assim, a média amostral é dada por

$ \displaystyle\overline{x}=\frac{x_1+\ldots+x_n}{n} $

Exemplo 2.1.1:

Uma amostra de 5 barras de aço foi retirada da linha de produção e seus comprimentos foram medidos. Os valores foram: 4,5; 4,6; 4,5; 4,4; 4,5.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

Desta forma, a média é dada por

$ \displaystyle\overline{x}=\frac{4,5+4,6+4,5+4,4+4,5}{5}=4,5 $

Podemos utilizar o Action para resolver este problema. O resultado obtido foi

 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 2.1.2:

Foram medidos os comprimentos de 5 leitos hospitalares e os valores (em metros) obtidos foram: 2,26; 2,30; 2,31; 2,28; 2,32.

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A média é então, dada por


\[\overline{X} = \frac{2,26 + 2,30 + 2,31 + 2,28 + 2,32}{5} = \frac{11,47}{5} = 2,294.\]

Utilizando o Action, temos que

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

 

Mediana

Para calcular a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o número de observações for ímpar, a mediana será a observação central. Se o número de observações for par, a mediana será a média aritmética das duas observações centrais. Notação: $ \tilde{X} $.

Exemplo 2.1.3:

Consideremos os seguintes dados correspondentes aos comprimentos de 8 rolos de fio de aço: 65, 72, 70, 72, 60, 67, 69, 68.

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Ordenando os valores temos: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 72. Como o número de observações é par, a mediana é dada pela média dos dois valores centrais que são 68 e 69, isto é,

$ \displaystyle\tilde{X}=\frac{68+69}{2}=68,5 $

Também resolvemos o problema utilizando o Action. Os resultados são mostrados a seguir

Informação Valor
Mediana 68,5

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Moda

A moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta a maior frequência.

Exemplo 2.1.4:

Considerando os dados do Exemplo 2.1.3 temos que sua moda é 72, pois este é o valor do conjunto de dados que aparece com maior frequência.

Exemplo 2.1.5:

Em um hospital, foram contabilizados o número de pessoas atendidas pela ortopedia durante os 30 dias de um mês. Os valores observados estão apresentados na tabela a seguir.

Número de pessoas atendidas pela ortopedia
119 118 125 115 107
128 133 133 121 101
118 143 126 117 141
109 135 115 115 119
131 116 115 124 134
140 129 129 115 119

 

A média dos dados é dada por:

$$\overline{X} = \dfrac{119+118+\cdots+115+119}{30}\approx 123$$

Portanto, temos em média aproximadamente 123 pessoas atendidas pela ortopedia, diariamente.

Para o calculo da mediana, inicialmente ordenamos os dados

Como n=30 é par, selecionamos as duas observações centrais e calculamos a média

$$\tilde{X} = \dfrac{119+121}{2} = 120$$

Portanto, metade das informações estão localizadas abaixo de 120 e a outra metade acima de 120.

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