2.3 - Quartis

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Uma análise das estatísticas descritivas da amostra é fundamental para resumirmos algumas informações sobre a população. Estas informações são utilizadas para tomada de decisão e formação de modelos estatísticos paramétricos. Definiremos como:

Mínimo: menor elemento da amostra;

Máximo: maior elemento da amostra;

Quartis (Q1, Q2 e Q3): São valores dados a partir do conjunto de observações ordenado em ordem crescente, que dividem a distribuição em quatro partes iguais. O primeiro quartil, Q1, é o número que deixa 25% das observações abaixo e 75% acima, enquanto que o terceiro quartil, Q3, deixa 75% das observações abaixo e 25% acima. Já Q2 é a mediana, deixa 50% das observações abaixo e 50% das observações acima.

Seja n o número total de elementos da amostra e calcule j(n+1)/4, para j=1,2 e 3. Desta forma Qj será um elemento entre Xk e Xk+1, onde k é o maior inteiro menor ou igual a j(n+1)/4 e será calculado da seguinte forma


\[Q_j=X_k+\left(\frac{j(n+1)}{4}-k\right)(X_{k+1}-X_k).\]

Podemos observar que quando $ k $ é um valor inteiro, o quantil será o próprio $ X_k $, isto é, $ Q_j = X_k $, onde $ k=\dfrac{j(n+1)}{4}, j=1,2,3 $.

Uma medida de disperção alternativa ao desvio padrão é a distância interquartil, definida como a diferença entre o terceiro e o primeiro quartis, ou seja,

$$d_q = Q_3 - Q_1.$$

Ele foi desenvolvido no âmbito da estatística a fim de avaliar o grau de espalhamento dos dados (dispersão).

Exemplo 2.3.1:

Considere uma amostra de 6 elementos com os seguintes valores: 7,1; 7,4; 7,5; 7,7; 7,8; 7,9.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Deste modo temos que (n+1)/4 = 7/4 = 1,75 e com isso k = 1, logo


\[Q_1=X_1+\left(\frac{n+1}{4}-k\right)(X_{k+1}-X_k)=7,1+(1,75-1)(7,4-7,1)=7,1+0,75(0,3)=7,325.\]

Também temos que 2(n+1)/4 = 14/4 = 3,5, com isso k = 3, logo


\[Q_2=X_3+\left(\frac{2(n+1)}{4}-k\right)(X_{k+1}-X_k)=7,5+(3,5-3)(7,7-7,5)=7,5+0,5(0,2)=7,6.\]

E, temos que 3(n+1)/4= 21/4 = 5,25, com isso k = 5, logo


\[Q_3=X_5+\left(\frac{3(n+1)}{4}-k\right)(X_{k+1}-X_k)=7,8+(5,25-5)(7,9-7,8)=7,8+0,25(0,1)=7,825.\]

Podemos utilizar o Action para o cálculo dos quartis. Os resultados são dados abaixo

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 Exemplo 2.3.2: 

Considere o Exemplo 2.1.3, calcule os quartis dos dados.

 clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo  

Primeiramente ordenamos os dados,  60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 72. 

Deste modo temos que (n+1)/4 = 9/4 = 2,25 e com isso k = 2, logo


\[Q_1=X_2+\left(\frac{n+1}{4}-k\right)(X_{k+1}-X_k)=65+(2,25-2)(67-65)=65+0,25(2)=65,5.\]

Também temos que 2(n+1)/4 = 18/4 = 4,5, com isso k = 4, logo


\[Q_2=X_4+\left(\frac{2(n+1)}{4}-k\right)(X_{k+1}-X_k)=68+(4,5-4)(69-68)=68+0,5(1)=68,5.\]

E, temos que 3(n+1)/4= 27/4 = 6,75, com isso k = 6, logo


\[Q_3=X_6+\left(\frac{3(n+1)}{4}-k\right)(X_{k+1}-X_k)=70+(6,75-6)(72-70)=70+0,75(2)=71,5.\]

Os mesmos podem ser calculados no Software Action

  

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.  

Exemplo 2.3.3:

Suponha que uma amostra dos comprimentos de 11 rolos de fio de aço cujos valores foram 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68, 66, 65, 71, 69.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

Os dados ordenados de forma crescente são: 60, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 77. Então temos que:

Mínimo = 60.

Máximo = 77.

Posição do Q1 = $ \displaystyle\frac{11+1}{4}=3 \Rightarrow Q_1=66 $ 

Logo, 25% das observações etão abaixo de 66 e 75% das observações estão acima de 66.

Posição do Q3 = $ \displaystyle 3\times\left(\frac{11+1}{4}\right)=9 \Rightarrow Q_3=71 $

Portanto, 75% das observações estão abaixo de 71 e 25% das observações estão acima de 71.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Exemplo 2.3.4:

Considere as medidas das alturas de 11 pacientes, dadas abaixo

Altura dos pacientes   
1,59 1,79 1,68 1,80
1,58 1,60 1,69 1,73
1,87 1,68 1,85  

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Ordenando os valores, temos que

\[1,58\leq 1,59\leq 1,60\leq 1,68\leq 1,68\leq 1,69\leq 1,73\leq 1,79\leq 1,80\leq 1,85\leq 1,87.\]

Desta forma, temos que o valor mínimo é 1,58, o valor máximo é 1,87. Dado que temos 11 observações, o calculo do primeiro quartil é:

$$\dfrac{1(n+1)}{4} = \dfrac{1(11+1)}{4} = 3 \Longrightarrow k = 3$$

$$Q_1=X_3+\left(\frac{n+1}{4}-3\right)(X_{4}-X_3)=X_3 = 1,60$$

Para o segundo quartil temos:

$$\dfrac{2(n+1)}{4} = \dfrac{(2(11+1)}{4} = 6 \Longrightarrow k = 6$$

$$Q_2=X_6+\left(\frac{2(n+1)}{4}-6\right)(X_{7}-X_6)=X_6  = 1,69$$

O terceiro quartil é dado por

$$\dfrac{3(n+1)}{4} = \dfrac{(3(11+1)}{4} = 9 \Longrightarrow k = 9$$

$$Q_3=X_9+\left(\frac{3(n+1)}{4}-9\right)(X_{10}-X_9)=X_9  = 1,80$$

Utilizando o software Action, temos os seguinte resultados.

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
 

Exemplo 2.3.5:

Considerando os valores diários de um retorno do índice S&P 500, ano de 2010. Encontre os coeficientes de assimetria e curtose. 

clique aqui para efetuar o download dos dados

Utilizando o Software Action temos os seguintes resultados

 

Observamos uma curtose alta de 1,35 e assimetria negativa de -0,28. Este é um fenômeno típico de dados financeiros, que são assimétricos e possuem caudas pesadas.

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O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

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