2.4 - Tri-média

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Em muitas aplicações Estatísticas, uma certa parte dos valores extremos da amostra precisam ser descartados para que dessa forma uma análise da tendência central da amostra possa ser realizada. Nessas situações podemos utilizar a Tri-média (Média Truncada), uma medida simples de calcular além de ser um estimador surpreendentemente bom da média aritmética. Ela é considerada resistente e robusta, pois não é muito afetada por outliers. A inclusão da mediana ponderada dá uma forte ênfase ao centro, e ao mesmo tempo os quartis também trazem uma boa representação das bordas.

Para o calculo da Tri-média, escolhemos um percentual entre 5% e 25%. Então, ordenamos todas as observações da amostra do menor para o maior removemos o percentual de valores das duas extremidades.

Suponha que queremos calcular a Tri-média excluindo 10% dos maiores e menores elementos em uma amostra com 10 observações;

Neste caso, como temos 10 elementos, 10% de 10 é igual a um, ou seja, excluímos o menor e o maior elemento;

Portanto,

$$ Tri-média = \sum_{i=2}^9 \dfrac{X_{(i)}}{8}$$

Utilizar os quartis na fórmula fazem com que a tri-média seja mais representativa quanto à magnitude e centralidade dos dados que a mediana.

Exemplo 2.4.1:

Dando continuídade ao Exemplo 2.3.3, suponha que uma amostra dos comprimentos de 11 rolos de fio de aço cujos valores foram 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68, 66, 65, 71, 69.

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Os dados ordenados de forma crescente são: 60, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 77. Então temos que:

Mínimo = 60.

Máximo = 77.

Posição do Q1 = $ \displaystyle\frac{11+1}{4}=3 \Rightarrow Q_1=66 $ 

Posição do Q3 = $ \displaystyle 3\times\left(\frac{11+1}{4}\right)=9 \Rightarrow Q_3=71 $

Para calcular a Tri-média retiramos o maior e o menor valor do conjunto de dados e calculamos a média dos 9 restantes, então:

Tri-média = $ \displaystyle \frac{65+66+\ldots+72}{9}=68,56 $  

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
 

 

 

Exemplo 2.4.2:

Dando continuidade ao Exemplo 2.3.4, considere as medidas das alturas de 11 pacientes, dadas abaixo

Altura dos pacientes   
1,59 1,79 1,68 1,80
1,58 1,60 1,69 1,73
1,87 1,68 1,85  

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Ordenando os valores, temos que

\[1,58\leq 1,59\leq 1,60\leq 1,68\leq 1,68\leq 1,69\leq 1,73\leq 1,79\leq 1,80\leq 1,85\leq 1,87.\]

Desta forma, temos que o valor mínimo é 1,58, o valor máximo é 1,87. Para calcular a tri-média de 5% da amostra, retiramos o menor e o maior elemento da amostra e calculamos a média dos elementos restantes. Segue que a tri-média é dada por

\[Tri-média = \frac{1,59+1,60+1,68+1,68+1,69+1,73+1,79+1,80+1,85}{9}=1,7122\]

 O primeiro quartil é dado por 1,60 e o terceiro quartil é 1,80, enquanto que a assimetria e a curtose são dadas, respectivamente, por 0,1350 e -1,5489.

Utilizando o software Action, temos os seguinte resultados.

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Exemplo 2.4.3: 

Foi selecionado um lote da produção de 50 abraçadeiras industriais para verificar se os requisitos do cliente estavam sendo atendidos. Para isto, foi medido o diâmetro das 50 abraçadeiras e os valores encontram-se disponíveis na tabela abaixo

Diâmetros das abraçadeiras industriais
13,35 12,88 13,42 13,03 13,35 13,68 13,69 13,27 13,8 13,21
13,47 13,33 13,05 13,4 13,25 13,34 13,62 13,41 13,15 13,2
13,42 13,68 13,22 13,6 13,46 13,79 13,29 13,26 13,55 13,15
13,39 13,37 13,5 13,38 13,16 13,44 13,42 13,39 13,34 13,63
13,38 13,43 13,35 13,24 13,56 13,79 13,43 13,02 13,71 13,45

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Inicialmente, ordenamos os valores obtidos para o cálculo da tri-média

Temos que 6% de 50 é igual a 3. Desta forma excluímos os 3 menores e os 3 maiores elementos do conjunto de dados

Calculamos a média dos elementos restantes

$$Tri-média=13,395227$$

 

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